Рабочая программа по элективному курсу «Рациональные и иррациональные алгебраические задачи»

для 11 класс

Пояснительная записка

Современный этап развития  цивилизации характеризуется выходом математики на одно из ведущих мест в системе научных знаний и их приложений в практике- в производстве, управлении и  в социально-экономической практике. Эту одну из современных черт научно-технической революции принято называть математизацией знаний. Математические методы расширили область своего применения Тем самым мы приходим к тому, что при углублённом образовании должна быть адекватным, но доступным образом отражена математизация знаний. Это достигается соответствующим определением  содержания математического образования.

Курс «Рациональные и иррациональные алгебраические задачи» систематизирует и упорядочивает, закрепляет и углубляет знания, умения и навыки учащихся в области элементарной алгебры. Закрепление и углубление знаний учащихся, полученных в курсе алгебры основной школы, основывается на систематизации задач в соответствии с типами выражений, функций, фигурирующих в задачах (рациональных и иррациональных, алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических) и, на методах решения задач (переход к следствиям, равносильные преобразования, методы замены и разложения, функциональные методы, геометрические интерпретация, графическая интерпретация.

Основной целью изучения курса является:

1. Систематизация и углубление знаний, закрепление и упрочнение умений, необходимых для продолжения образования в вузах с повышенными требованиями к математическому образованию выпускников средней школы.
2. Получение общего представления об элементарной алгебре и применяемых в ней методах как о составляющей всей математики как науки.
3. Развитие логической и методологической (в узком смысле) культуры, составляющей существенный компонент культуры мышления, рассматриваемый в рамках общей культуры.
4. Овладение общими приемами организации действий: планированием, осуществлением плана, анализом и выражение результатов действий.
5. Получение представления об универсальном характере математических методов, о тесной взаимосвязи элементарной алгебры с высшей математикой: арифметикой, алгеброй, математическим анализом; о единстве математики в целом.
6. Развитие внутренней мотивации  поисковой активности в предметной деятельности, формирование устойчивого и осознанного интереса к ней.

При изучении курса «Рациональные и иррациональные алгебраические задачи » перед учащимися ставятся следу­ющие конкретные задачи:

Ø  - получение знаний об основных логических и содержатель­ных типах алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, совокупностей с рациональными, иррациональ­ными функциями/выражениями; овладение навыками со­ответствующих алгебраических преобразований выраже­ний и логических преобразований алгебраических задач;

Ø  - овладение логическими, аналитическими, графическими методами решения алгебраических задач с изучаемыми классами выражений и функций;

Ø  — освоение методов решения и исследования вычислитель­ных и логических задач с параметрами;

Ø  — получение конкретного представления о взаимосвязях высшей математики (арифметики, алгебры, математиче­ского анализа) с элементарной алгеброй на основе исполь­зования методов высшей математики при исследовании и решении алгебраических задач.

Планируемые результаты освоения учебного предмета

Предметные знания. Алгебраические задачи: уравнения, нера­венства с переменными, системы, совокупности. Множества решений. Следование и равносильность задач.

Общее понятие задачи с параметрами. Суждения существо­вания и всеобщности, кванторы. Логические задачи с парамет­рами. Координатная интерпретация задач с параметрами.

Многочлены и действия над ними. Деление с остатком, алгоритмы деления. Теорема Безу. Разложимые многочлены. Кратные корни. Число корней многочлена. Система и теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Фор­мула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Многочлены низших степеней (от второй до четвертой). Поиск корней и разложений. Теоремы Виета для квадратичных и кубических многочленов (уравнений). Формула Кардано— Тарталья,

Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. Методы замены и разложения. Метод интервалов, Метод эквивалентных переходов. Метод сведения к системам. Метод оценок. Использование монотонности. Схемы решения задач с модулями. Неравенства с двумя переменными — координат­ная интерпретация. Метод областей.

Уравнения и системы с несколькими переменными. Основ­ные методы решения рациональных алгебраических систем с двумя переменными: подстановка, исключение переменных, замена, разложение, использование симметричности и ограни­ченности, оценок и монотонности. Системы с тремя перемен­ными — основные методы.

Алгебраические задачи с параметрами. Основные методы решения и исследования: аналитический и координатный (метод «Оха»).

История алгебры как науки о выражениях и уравнениях (Кардано, Виет, Декарт, Ферма, Эйлер и др.).

Предметные  умения, которыми должны овладеть учащиеся по изучении данного курса:

- умение проводить логически грамотные преобразования выражений и эквивалентные  преобразования алгебраических задач (уравнений, неравенств, систем, совокупностей);

- умение   использовать   основные   методы   при   решении       алгебраических задач с различными классами функций (рациональными и иррациональными алгебраическими), в том числе: методы замены,  разложения, подстановки, эквивалентных преобразований, использования симмет­рии, однородности, оценок, монотонности;

- умение понимать и правильно интерпретировать задачи с параметрами, логические и кванторные задачи; умение применять изученные методы исследования и решения задач с параметрами: аналитический и координатный.

Общеинтеллектуальные умения:

- умение анализировать различные задачи и ситуации, вы­делять главное, достоверное в той или иной информации;

- владение логическим, доказательным стилем мышления, умение логически обосновывать свои суждения;

- умение конструктивно подходить к предлагаемым заданиям;

- умение планировать и проектировать свою деятельность, проверять и оценивать ее результаты.

Общекультурные компетенции:

- понимание элементарной математики как неотъемлемой части математики, методы которой базируются на многих разделах математики высшей;

- понимание роли элементарной математики в развитии математики, роли математиков в развитии современной элементарной математики;

- восприятие математики как развивающейся фундамен­тальной науки, являющейся неотъемлемой составляющей науки, цивилизации, общечеловеческой культуры во вза­имосвязи и взаимодействии с другими областями мировой культуры.

Учебно-тематический план

Содержание учебного предмета

Тема 1. Рациональные алгебраические системы.

   Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.

   Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

   Однородные системы уравнений с двумя переменными.

   Замена переменных в системах уравнений.

   Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга-Гаусса о представлении симметричных многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).

   Система Виета и симметрические системы с двумя переменными.

   Метод разложения при решении систем уравнений.

   Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.

   Оценка значений переменных.

   Сведение уравнений к системам.

    Системы с тремя переменными. Основные методы.

   Системы Виеты с тремя переменными.

Тема 2. Иррациональные алгебраические задачи.

Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие алгебраических и арифметических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

   Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

   Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.

   Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.

   Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.

   Освобождение от кубических радикалов.

   Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.

   Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.

   Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

   «Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.

   Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

   Замена при решении иррациональных неравенств.

   Использование монотонности и оценок при решении неравенств.

    Уравнения с модулями. Раскрытие модулей – стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.

   Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

   Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

   Иррациональные алгебраические системы. Основные проблемы.

   Смешанные системы с двумя переменными.

Тематическое планирование