Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа. Основные тригонометрические тождества

Тема «Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа. Основные тригонометрические тождества»

Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической.

Окружность делится на 4 четверти. Если угол  , то его откладывают против часовой стрелке, если угол  , то его откладывают по часовой стрелке.

Угол принято измерять в градусах, кроме этого так же используют радианную меру измерения углов.

Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Радианная и градусная меры углов связаны соотношением:

 радиан

Поэтому угол в .

Пример №1: выразите в радианной мере величины углов: а) 45⁰, б) 72⁰.

а) используем формулу

  (слово радиан можно не писать).

б) используем формулу

  (слово радиан можно не писать).

Ответ: а) , б)

Пример №2: выразите в градусной мере величины углов: , .

а) используем формулу

 .

б) используем формулу

 .

Ответ: а) , б)

Вспомним, что такое синус, косинус, тангенс, котангенс. Изобразим прямоугольный треугольник.

Синус угла α - это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла α - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла α - это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла α  - это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Знаки по четвертям синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Связь между тригонометрическими функциями одного угла

Синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла связаны между собой. Всякая связь между выражениями задаётся в математике формулами. В тригонометрии формул - колоссальное количество. Но здесь мы рассмотрим самые основные. Эти формулы так и называются: основные тригонометрические тождества. Вот они:

sin²x + cos²x = 1. Это выражение называют ещё тригонометрической единицей.

tgx =

ctgx =

Из этих основных тождеств вытекают ещё три вспомогательных тождества:

Пример 3. Найти значение sin x, если х - острый угол, а cos x=0,8.

Решение:

Ищем формулу, где имеются синус и косинус. Вот она эта формула:

sin²x + cos²x = 1

Подставляем сюда известную величину, а именно, 0,8 вместо косинуса:

sin²x + 0,8² = 1

Считаем, как обычно:

sin²x + 0,64 = 1

sin²x = 1 - 0,64

sin²x = 0,36

Корень из 0,36 будет ±0,6, т.е.

sinx = +0,6 или sinx=-0,6.

Какой же ответ верный, или верны оба значения? Внимательно прочитаем задание. Если х - острый угол, то синус, косинус острого угла должны быть положительными, т.е. значение sinx = - 0,6, не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: sinx = 0,6