Расстояния и углы в многогранниках.

№1

№2

Решение.
Диагональ грани прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов двух его измерений (по теореме Пифагора в п/у  ADD1):
АD12 = AD2 + DD12
АD12 = AD2 + AA12
АD12 = 122 + 52 = 132
АD1 = 13

№3

Решение.
Угол AC1C найдем из п/у  AСС1, в котором известен катет СС1 = АА1 = 17, а катет АС найдем по теореме Пифагора в п/у  AВС:
АС2 = AВ2 + ВС2
AC2 = 152 + 82 = 172
AC = 17. Значит  AСС1 − р/б,  AC1C = 45.

№4

№5

№6

Решение.
Рассмотрим п/у  AD1D,
в котором известен катет
DD1 = 30, а катет AD является большей диагональю в правильном шестиугольнике
и равен 60.
tgAD1D = AD : DD1 = 60 : 30 = 2

№7

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 20. Найдите угол СВЕ. Ответ дайте в градусах.

Решение.
Рассмотрим п/у  СВЕ,
в котором известен катет
ВС = 20, а катет ВЕ является большей диагональю в правильном шестиугольнике
и равен 40.
cosСВЕ = ВС : ВЕ = 20 : 40 = 0,5
СВЕ = 60

№9

Решение.
Рассмотрим п/у  В1ВD,
в котором катет
BB1 = 12 – 6 = 6, а катет
BD2 = AD2 + AB2 = 32 + 62 = 45
DB12 = DB2 + BB12 = 45 + 36 = 81
DB1 = 9.

№10

Решение.
Рассмотрим п/у DD2В2,
в котором катет
DD2 = 5, а катет B2D22 = A2D22 + A2B22
B2D22 = 62 + 22 = 40
DB22 = DD22 + B2D22 = 25 + 40 = 65.

№11

Решение.
Рассмотрим п/у DD2С2,
в котором катет
DD2 = 5, а катет
D2С2 = 3
DС22 = DD22 + D2С22
DС22 = 25 + 9 = 34.

№12

Рассмотрим п/у  B2СМ,
в котором катет
МС = 12,
а катет
B2М2 = B2C22 + C2М2 =
= 32 + (6 – 2)2 = 25
B2C2 = B2M2 + MC2 =
= 25 + 122 = 169
B2C = 13.

№13

Рассмотрим п/у  А2С1М, в котором катет
МС1 = 14 – 12 = 2,
а катет
А2М2 = A2D22 + D2М2 =
= 122 + 142 = 340
A2C12 = A2M2 + MC12 =
= 340 + 4 = 344.