Рациональные уравнения из материалов ЕГЭ профильного уровня.

Рациональные уравнения из материалов ЕГЭ  профильного уровня.

1. а)  Решите уравнение

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Сделаем замену возведём обе части в квадрат

тогда Имеем:

Вернемся к исходной переменной. Если то

Если то

б)  Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку В силу неравенств

и

из найденных корней уравнения заданному отрезку принадлежат только числа и

Ответ: а) б)

2. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  При условии отбросим знаменатели, затем применим формулу разности квадратов:

По условию подходят только x = −5, x = 3,

б)  Заметим, что Кроме того,

Последнее неравенство верно, т. к. следовательно, подходит только x = 3.

Ответ: а) б) x = 3.

3.

а)  Решите уравнение

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Сделаем замену тогда Имеем:

Вернемся к исходной переменной. Если то

Если то

б)  Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку В силу неравенств

из найденных корней уравнения заданному отрезку принадлежат только числа и

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

519425

а) б)

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.

Классификатор алгебры: Рациональные уравнения

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.2 Рациональные уравнения

4.

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Внесем число 2 в скобки и обозначим Заметим, что а значит, уравнение записывается в виде откуда или Далее при условии имеем:

б)  Заметим, что Подходят и 2.

Ответ: а) б) 2.

5.

а)  Решите уравнение

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Пусть тогда Имеем:

Вернемся к исходной переменной. Если то

Если то

б)  Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку Положительные корни не могут лежать в этом отрезке. Число –5 лежит в нем. Корень тоже лежит в этом отрезке в силу цепочки соотношений:

Ответ: а) б)

6. По­строй­те гра­фик функ­ции и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точкуРе­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние для функ­ции:

(при).

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли, что гра­фик нашей функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции с вы­ко­ло­той точ­кой

По­стро­им гра­фик функ­ции (см. ри­су­нок).

За­ме­тим, что пря­мая про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат и будет иметь с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку толь­ко тогда, когда будет про­хо­дить через вы­ко­ло­тую точку Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты этой точки в урав­не­ние пря­мой и найдём ко­эф­фи­ци­ент

Ответ: 4.

7. Со­кра­ти­те дробь

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но раз­де­лим мно­го­член на од­но­чле­ны в стол­бик:

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Раз­ло­жим чис­ли­тель на мно­жи­те­ли, ис­поль­зуя метод груп­пи­ров­ки:

8.Источник: Банк заданий ФИПИ

Источник: Банк заданий ФИПИ

 По­строй­те гра­фик функ­ции и най­ди­те все зна­че­ния k, при ко­то­рых пря­мая имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку.

За­да­ние 23 № 311827

Ре­ше­ние.

Рас­кры­вая мо­ду­ли, по­лу­ча­ем, что при функ­ция при­ни­ма­ет вид при функ­ция при­ни­ма­ет вид а при функ­ция при­ни­ма­ет вид

Гра­фик функ­ции изоб­ражён на ри­сун­ке.

Пря­мая имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку при при­над­ле­жа­щем мно­же­ству

Ответ:  

Решить самостоятельно.

1.    По­строй­те гра­фик функ­ции И опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

 2. При каких по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях пря­мая имеет с па­ра­бо­лой ровно одну общую точку? Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты этой точки и по­строй­те дан­ные гра­фи­ки в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Ответы и решения.

1. Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Гра­фик функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку па­ра­бо­лы с вы­ко­ло­той точ­кой

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку при и

 Ответ: −1; 3.

2. Ре­ше­ние.

Найдём абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния:

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

По усло­вию по­это­му нам под­хо­дит зна­че­ние

Под­ста­вив па­ра­метр в урав­не­ние, найдём ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

Ко­ор­ди­на­та на­хо­дит­ся путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты в любое из урав­не­ний, на­при­мер, в пер­вое:

Те­перь, зная можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок).

Ответ: (2; 0).

Скачано с www.znanio.ru

Критерии проверки:

Ответ: а) б) 2.

563297

а) б) 2.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 356.

Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Уравнения высших степеней

Методы алгебры: Введение замены, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.1 Квадратные уравнения