Разбор 23 задания ОГЭ

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=20, CD=48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим треугольник AOB, он равнобедренный, так как AO=OB – как радиусы окружности. OM – расстояние от точки O до хорды AB, то есть, OM┴AB, получаем, что OM – высота и медиана (AM=MB) треугольника AOB. Так как AB=20, то AM=10. Найдем длину AO из прямоугольного треугольника AMO по теореме Пифагора: 𝐴𝐴𝑂𝑂= 24 2 + 10 2 24 2 + 10 2 24 2 24 24 2 2 24 2 + 10 2 10 10 2 2 10 2 24 2 + 10 2 = 676 676 676 676 =26
Также это означает, что OC=OD=AO=26. Рассмотрим прямоугольный треугольник OCH (OH – расстояние от точки O до хорды CD) со стороной CH=CD:2=24. По теореме Пифагора находим длину OH: 𝑂𝑂𝐻𝐻= 26 2 − 24 2 26 2 − 24 2 26 2 26 26 2 2 26 2 − 24 2 24 24 2 2 24 2 26 2 − 24 2 = 100 100 100 100 =10.
Ответ: 10

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB =16, CD = 30, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 15.


Ответ: 8

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.

РЕШЕНИЕ: рассмотрим треугольник АВС, по теореме о сумме углов треугольника, найдем угол А: ∠А=180°− 71°+79° 71°+79° 71°+79° =30°.
По теореме синусов получаем: ВС sin А ВС ВС sin А sin А sin sin А А sin А ВС sin А =2𝑅𝑅. Подставим все значения в формулу и найдем ВС. 𝐵𝐵𝐶𝐶=2𝑅𝑅 sin 𝐴 sin sin 𝐴 𝐴𝐴 sin 𝐴 =2∙8∙ 1 2 1 1 2 2 1 2 =8.
Ответ: 8

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 63° и 87°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 11.



Ответ: 11

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=14.

РЕШЕНИЕ: ∠KBP=90° (по условию). Прямоугольный треугольник KPB с гипотенузой PK вписан в окружность. Следовательно, PK является диаметром окружности. (по теореме об описанной окружности).
KP=BH=14


Ответ: KP=14

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK=11.

Ответ: 11

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=4, AC=8.

Решение: Сделаем построение, проведен радиус BO, который будет перпендикулярен стороне AB, так как AB – касательная к окружности по условию задачи.
Введем обозначение OB = OC = r – радиусы окружности. Тогда отрезок AO = AC-OC = 8-r . Выразим квадрат радиуса BO = r из прямоугольного треугольника ABO по теореме Пифагора, получим следующее выражение:
𝐵𝑂 2 𝐵𝐵𝑂𝑂 𝐵𝑂 2 2 𝐵𝑂 2 = 𝐴𝑂 2 𝐴𝐴𝑂𝑂 𝐴𝑂 2 2 𝐴𝑂 2 − 𝐴𝐵 2 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 2 2 𝐴𝐵 2 , 𝐵𝑂 2 𝐵𝐵𝑂𝑂 𝐵𝑂 2 2 𝐵𝑂 2 = 8−𝑟 2 8−𝑟 8−𝑟𝑟 8−𝑟 8−𝑟 2 2 8−𝑟 2 − 4 2 4 4 2 2 4 2 = 𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟 2 2 𝑟 2 −16𝑟𝑟+60.
Так как BO=r, получаем уравнение:
𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟 2 2 𝑟 2 = 𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟 2 2 𝑟 2 −16𝑟𝑟+60.
r= 3,75
И диаметр окружности равен: 2·3,75=7,5.
Ответ: 7,5.

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 3, AC = 9.


Ответ: 8

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 3,6, а AB=8.

РЕШЕНИЕ: Пусть точка О – центр окружности. Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно треугольник ABO – прямоугольный. По теореме Пифагора, найдем сторону AO:
𝐴𝐴𝑂𝑂= 𝐴𝐵 2 + 𝑂𝐵 2 𝐴𝐵 2 + 𝑂𝐵 2 𝐴𝐵 2 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 2 2 𝐴𝐵 2 + 𝑂𝐵 2 𝑂𝑂𝐵𝐵 𝑂𝐵 2 2 𝑂𝐵 2 𝐴𝐵 2 + 𝑂𝐵 2 = 8 2 + (1,8) 2 8 2 + (1,8) 2 8 2 8 8 2 2 8 2 + (1,8) 2 (1,8) (1,8) 2 2 (1,8) 2 8 2 + (1,8) 2 = 67,24 67,24 67,24 67,24 =8,2.
Следовательно, длина стороны AC равна
AC = CO + AO = 1,8 + 8,2 = 10

Ответ: 10

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 7,5, а AB = 2.


Ответ: 4,25

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK=6, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим четырехугольник PKBC.
PKBC вписан в окружность, следовательно, сумма противоположных углов четырехугольника равна 180, т.е. ∠PKB+∠BCP=180°, а ∠PKB+∠AKP=180° (т.к. это смежные углы). Следовательно, ∠AKP=∠BCP.
Рассмотрим треугольники ABC и AKP.
∠AKP=∠BCP, ∠A - общий, тогда эти треугольники подобны, по двум углам.

Следовательно, 𝐾𝑃 𝐵𝐶 𝐾𝐾𝑃𝑃 𝐾𝑃 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐾𝑃 𝐵𝐶 = 𝐴𝐾 𝐴𝐶 𝐴𝐴𝐾𝐾 𝐴𝐾 𝐴𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐾 𝐴𝐶 = 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝑃𝑃 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝑃 𝐴𝐵 (из определения подобных треугольников).

𝐾𝑃 𝐵𝐶 𝐾𝐾𝑃𝑃 𝐾𝑃 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐾𝑃 𝐵𝐶 = 6 1,5𝐵𝐶 6 6 1,5𝐵𝐶 1,5𝐵𝐵𝐶𝐶 6 1,5𝐵𝐶

𝐾𝐾𝑃𝑃= 6𝐵𝐶 1,5𝐵𝐶 6𝐵𝐵𝐶𝐶 6𝐵𝐶 1,5𝐵𝐶 1,5𝐵𝐵𝐶𝐶 6𝐵𝐶 1,5𝐵𝐶 = 6 1,5 6 6 1,5 1,5 6 1,5 =4

Ответ: KP = 4

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 36, а сторона AC в 1,8 раза больше стороны BC.


Ответ: 20

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=36, а сторона BC в 1,8 раза меньше стороны AB.

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим четырехугольник PKBC.
PKBC вписан в окружность, следовательно, сумма противоположных углов четырехугольника равна 180, т.е. ∠PKB+∠BCP=180°, а ∠PKB+∠AKP=180° (т.к. это смежные углы). Следовательно, ∠AKP=∠BCP.
Рассмотрим треугольники ABC и AKP.
∠AKP=∠BCP, ∠A - общий, тогда эти треугольники подобны, по двум углам.

Следовательно, 𝐾𝑃 𝐵𝐶 𝐾𝐾𝑃𝑃 𝐾𝑃 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐾𝑃 𝐵𝐶 = 𝐴𝐾 𝐴𝐶 𝐴𝐴𝐾𝐾 𝐴𝐾 𝐴𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐾 𝐴𝐶 = 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝑃𝑃 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝑃 𝐴𝐵 (из определения подобных треугольников).

𝐾𝑃 𝐵𝐶 𝐾𝐾𝑃𝑃 𝐾𝑃 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐾𝑃 𝐵𝐶 = 36 1,8𝐵𝐶 36 36 1,8𝐵𝐶 1,8𝐵𝐵𝐶𝐶 36 1,8𝐵𝐶

𝐾𝐾𝑃𝑃= 36𝐵𝐶 1,8𝐵𝐶 36𝐵𝐵𝐶𝐶 36𝐵𝐶 1,8𝐵𝐶 1,8𝐵𝐵𝐶𝐶 36𝐵𝐶 1,8𝐵𝐶 = 36 1,8 36 36 1,8 1,8 36 1,8 =20

Ответ: KP = 20

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 30, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.


Ответ: 25

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и  BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=14, DC=42, AC=52.

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим треугольники ABM и DMC, ∟AMB = ∟DMC (как вертикальные), ∟MAB = ∟MCD (как накрест лежащие при AB‖CD, и секущей AC). Следовательно треугольники ABM и DMC – подобны по двум углам.
Значит:
𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐶 = 𝑀𝐵 𝐷𝑀 𝑀𝑀𝐵𝐵 𝑀𝐵 𝐷𝑀 𝐷𝐷𝑀𝑀 𝑀𝐵 𝐷𝑀 = 𝐴𝑀 𝑀𝐶 𝐴𝐴𝑀𝑀 𝐴𝑀 𝑀𝐶 𝑀𝑀𝐶𝐶 𝐴𝑀 𝑀𝐶 ; 14 42 14 14 42 42 14 42 = 52−𝑀𝐶 𝑀𝐶 52−𝑀𝑀𝐶𝐶 52−𝑀𝐶 𝑀𝐶 𝑀𝑀𝐶𝐶 52−𝑀𝐶 𝑀𝐶 ; 1 3 1 1 3 3 1 3 = 52−𝑀𝐶 𝑀𝐶 52−𝑀𝑀𝐶𝐶 52−𝑀𝐶 𝑀𝐶 𝑀𝑀𝐶𝐶 52−𝑀𝐶 𝑀𝐶 .
MC=3·(52-MC)
MC=156-3MC
MC+3MC=156
4MC=156
MC=39


Ответ: 39

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и  BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=15, DC=30, AC=39.



Ответ: 26

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=17, AC=51, NC=32.

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим треугольники ABC и MBN.
∟B - общий.
∟BAC = ∟BMN (т.к. соответственные углы, при MN ‖ AC и секущей - AB). Следовательно, эти треугольники подобны по первому признаку подобия.
Тогда по определению подобных треугольников: 𝑀𝑁 𝐴𝐶 𝑀𝑀𝑁𝑁 𝑀𝑁 𝐴𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑀𝑁 𝐴𝐶 = 𝐵𝑁 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝑁𝑁 𝐵𝑁 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝑁 𝐵𝐶 , BC=BN+NC=BN+32.
Следовательно: 17 51 17 17 51 51 17 51 = 𝐵𝑁 𝐵𝑁+32 𝐵𝐵𝑁𝑁 𝐵𝑁 𝐵𝑁+32 𝐵𝐵𝑁𝑁+32 𝐵𝑁 𝐵𝑁+32
51·BN=17·(BN+32)
51·BN-17·BN=544
34·BN=544
BN=16
Ответ: BN=16

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=11, AC=44, NC=18.


Ответ: 6

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

РЕШЕНИЕ: Высоту BH можно найти из формулы площади прямоугольного треугольника 𝑆𝑆= 1 2 1 1 2 2 1 2 ∙𝐴𝐴𝐶𝐶∙𝐵𝐵𝐻𝐻, где AC – гипотенуза прямоугольного треугольника, равная (в соответствии с теоремой Пифагора)
𝐴𝐴𝐶𝐶= 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 𝐴𝐵 2 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 2 2 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐶 2 2 𝐵𝐶 2 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 = 324+576 324+576 324+576 324+576 = 900 900 900 900 =30 .
Следовательно 𝑆𝑆= 1 2 1 1 2 2 1 2 ∙30∙𝐵𝐵𝐻𝐻=15∙𝐵𝐵𝐻𝐻.
Также площадь прямоугольного треугольника равна
𝑆𝑆= 1 2 1 1 2 2 1 2 ∙𝐴𝐴𝐵𝐵∙𝐵𝐵𝐶𝐶= 1 2 1 1 2 2 1 2 ∙18∙24=216.
Приравнивая эти площади, получаем:
15·BH = 216
BH = 14,4
Ответ: 14,4

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=6, AC=24.

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим треугольники ABC и ABH. ∠A – общий, ∠AHB=∠ABC=90°. Следовательно, эти треугольники подобны (по двум углам).
Тогда 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 𝐴𝐻 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐻𝐻 𝐴𝐻 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐻 𝐴𝐵
𝐴𝐵 24 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 24 24 𝐴𝐵 24 = 6 𝐴𝐵 6 6 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 6 𝐴𝐵
𝐴𝐵 2 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 2 2 𝐴𝐵 2 =144
𝐴𝐴𝐵𝐵=12

Ответ: 12

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=42, BC=14, CF:DF=4:3.

Решение: проведем диагональ BD трапеции ABCD, которая пересекает прямую EF в точке O.
По условию CF:DF=4:3, пусть CF=4x, DF=3x, тогда: CD=CF+DF=4x+3x=7x.
Прямая EF‖AD, EF‖BC, значит сторону AB делит в тех же отношениях: BE=4y, AE=3y, AB=7y.
Рассмотри треугольники BCD и OFD. ∟D – общий, ∟BCD=∟OFD (соответственные при BC‖EF и секущей CD). Следовательно треугольники подобны по двум углам.
Из подобия следует: 𝑂𝐹 𝐵𝐶 𝑂𝑂𝐹𝐹 𝑂𝐹 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝑂𝐹 𝐵𝐶 = 𝐹𝐷 𝐶𝐷 𝐹𝐹𝐷𝐷 𝐹𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐹𝐷 𝐶𝐷 ; 𝑂𝐹 14 𝑂𝑂𝐹𝐹 𝑂𝐹 14 14 𝑂𝐹 14 = 3𝑥 7𝑥 3𝑥𝑥 3𝑥 7𝑥 7𝑥𝑥 3𝑥 7𝑥 ; 𝑂𝑂𝐹𝐹= 14∙3𝑥 7𝑥 14∙3𝑥𝑥 14∙3𝑥 7𝑥 7𝑥𝑥 14∙3𝑥 7𝑥 =6
Рассмотри треугольники ABD и BEO. ∟B – общий, ∟BAD=∟BEO (соответственные при AD‖EF и секущей AB). Следовательно треугольники подобны по двум углам.
Из подобия следует: 𝑂𝐸 𝐴𝐷 𝑂𝑂𝐸𝐸 𝑂𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝑂𝐸 𝐴𝐷 = 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐵𝐸𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐵𝐸 𝐴𝐵 ; 𝑂𝐸 42 𝑂𝑂𝐸𝐸 𝑂𝐸 42 42 𝑂𝐸 42 = 4𝑦 7𝑦 4𝑦𝑦 4𝑦 7𝑦 7𝑦𝑦 4𝑦 7𝑦 ; 𝑂𝑂𝐸𝐸= 42∙4𝑦 7𝑦 42∙4𝑦𝑦 42∙4𝑦 7𝑦 7𝑦𝑦 42∙4𝑦 7𝑦 =24
Найдем EF:
EF=OF+EO=6+24=30
Ответ: 30

Проведем BH || CD. По условию CF:DF=4:3, пусть CF=4x, DF=3x, тогда: CD=CF+DF=4x+3x=7x.
Прямая EF‖AD, EF‖BC, значит сторону AB делит в тех же отношениях: BE=4y, AE=3y, AB=7y.
Найдем сторону AH.
AH = AD - BC = 42 - 14 = 28Рассмотри ∆EBK ∞ ∆ABH (∟B - общий, ∟BEK=∟BAH – соответственные).EK = BKAH   BHEK = 4x28  7xEK = 28 ∙ 4 / 7 = 16EF = EK + KF = 16 + 14 = 30
Ответ: 30

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD=36.

Решение. Проведем в трапеции две высоты AH1 и DH. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD с ∟HCD=180°-135°=45° . Следовательно, треугольник CHD также равнобедренный со сторонами CH=HD и основанием CD. Пусть сторона DH=x, соответственно, CH=x. Тогда по теореме Пифагора получим: 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 = 36 2 36 36 2 2 36 2
𝑥𝑥=18 2 2 2 2
То есть AH1 = DH = 18√2 . Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором известен один катет и ∠𝐵𝐵=60°. Так как синус угла B – это отношение противолежащего катета на гипотенузу AB, то можно записать,

sin 𝐵 sin sin 𝐵 𝐵𝐵 sin 𝐵 = 𝐴𝐻1 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐻𝐻1 𝐴𝐻1 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐻1 𝐴𝐵

𝐴𝐴𝐵𝐵=18 2 2 2 2 ∙ 2 3 2 2 3 3 3 3 3 2 3 =12 6 6 6 6

Ответ: 12√6.