Разбор заданий ОГЭ и ЕГЭ на вычисление вероятностей событий

Цели мастер-класса:
- Ознакомить учителей с основными принципами и методами вычисления вероятности событий.
- Проанализировать задание № 10 ОГЭ по математике и задание № 5 ЕГЭ по базовой математике на вычисление вероятности событий.
- Поделиться эффективными методами преподавания вероятностных задач.
- Обсуждение стратегий обучения и подготовки учащихся.

-

Задания направлены на математические ситуации в повседневной жизни. Такие задачи приходится решать на вокзалах, в банках, в магазинах, при вызове такси и во время ремонта квартиры. Задание является несложным, так как основано на использовании жизненных наблюдений и здравого смысла.
Примерное время выполнения учащимся задания от 3 до 10 минут, с учетом уровня изучения математики в данном учебном заведении, знаний и умений самого выпускника и его психологической готовности к сдаче экзамена.

Вероятность – это мера возможности наступления события.
Обозначается буквой P.

СЛУЧАЙНОЕ -


НЕВОЗМОЖНОЕ -


РАВНОВОЗМОЖНЫЕ -



ДОСТОВЕРНОЕ -

событие, которое может произойти, а может и не произойти.

событие, которое в данных условиях (опыте) не может произойти.

события, любое из которых не обладает никаким преимуществом появляться чаще при многократных испытаниях

событие, которое при данных условиях всегда произойдет

∙

Справочный материал

Вероятность определяется как отношение числа m исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных исходов n.

Схема решения задач:
Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события. Убедиться, что они равновозможные.
Найти общее число элементарных событий - n
Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, и найти их число m
Найти вероятность события А по формуле

8 - вероятность и статистика

15 - умение находить вероятности случайных событий в опытах с равновозможными элементарными событиями

Умение оперировать понятиями: случайный опыт (случайный эксперимент), элементарное событие (элементарный исход) случайного опыта, случайное событие, вероятность события;
умение находить вероятности случайных событий в опытах с равновозможными элементарными событиями;
умение решать задачи методом организованного перебора и с использованием правила умножения;
умение оценивать вероятности реальных событий и явлений,
понимать роль практически достоверных и маловероятных событий в окружающем мире и в жизни.

Кодификатор ОГЭ 2025 г

Проверяемые требования к предметным результатам базового уровня освоения основной образовательной программы основного общего образования

Задание 10 ОГЭ требует:
• Определить вероятность события.
• Применить формулы на конкретном примере.

Задача 1. У бабушки 25 чашек: 3 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1) Количество всех событий группы: n =?
n = 25 чашек;
2) Благоприятное событие А ?
чашки с синими цветами;
3) Количество благоприятных событий: m=?
m = 25 - 3=22 чашки;

Задача 2. В фирме такси в данный момент свободно 12 машин: 2 чёрных, 6 жёлтых и 4 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

1) Количество всех событий группы: n =?
n = 12 такси;
2) Благоприятное событие А ?
жёлтое такси;
3) Количество благоприятных событий: m=?
m = 6 такси;

Задача 3. На экзамене 50 билетов, Яша не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.


1) n = 50,
2) m = 50 - 3 = 47 билетов;

Задача 4. Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 9 с машинами и 11 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Саша. Найдите вероятность того, что Саше достанется пазл с машиной.

1) n = 20 пазлов,
2) m = 9 пазлов с машиной;

Задача 5. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,12. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение:
1) 1 – 0,12 = 0,88.
Ответ: 0,88

Задача 6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Всего спортсменов: n = 4 + 7 + 9 + 5 = 25

A= {последний из Швеции},

A= {фонарик исправен}

Задача 7. В среднем из 1000 фонариков, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что купленный фонарик окажется исправным.

Задача 8. В магазине канцтоваров в продаже 100 ручек: 37 красных, 8 зелёных, 17 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка окажется красной или чёрной.

1) Число синих ручек = числу чёрных ручек = (100 - (37 + 8+ 17)) = 19 ручек

Задание 5 ЕГЭ заключается в:
• Определении вероятности событий.
• Применении методов для нахождения нужной вероятности.

1. На борту самолёта 14 мест расположены рядом с запасными выходами и 23 места — за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Г. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Г. достанется удобное место, если всего в самолёте 100 мест.

2. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

3. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 60 докладов: первые два дня — по 12 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?



4. Фабрика выпускает сумки. В среднем из 125 сумок, поступивших в продажу, 5 сумок имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется без дефекта.

0,65

0,24

0,0036

0,25

0,6

0,92

На борту самолёта 24 места рядом с запасными выходами и 26 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Б. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Б. достанется удобное место, если всего в самолёте 200 мест.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Список к экзамену состоит из 50 вопросов. Студент не выучил 4. Чему равна вероятность того, что ему попадётся выученный вопрос?

В таксопарке проходит акция, что на заказ подъедет ближайшая машина. Свободно 20 машин: 5 премиум-класса, 2 комфорт, а остальные эконом. Найди вероятность того, что приедет машина эконом-класса.

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 15 из Испании, 23 из Италии, остальные — из Португалии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найди вероятность того, что спортсменка, выступающая второй, окажется из Португалии.

На автовокзале два кассовых аппарата. Исправность каждого аппарата не зависит от исправности другого. Каждый кассовый аппарат может быть неисправен с вероятностью 0,06.
Вычисли вероятность того, что одновременно два аппарата неисправны.

Незнание формулы;
Связаны с неумением внимательно читать: ученики иногда не видят частицу «не»;
Путаются, если в условии сказано, что порядок определяется жеребьевкой и при решении задачи совсем неважно каким по счету должен выступать спортсмен;
Вычислительные.

Полезные рекомендации:
• Внимательно читайте условие задачи.
• Используйте схемы и диаграммы для наглядности.
• Практикуйтесь на разных примерах.

1. Игровые методы - настольные игры, карточные или компьютерные игры для демонстрации принципов вероятности в действии. Ролевые игры (статистики и аналитики), чтобы решить конкретные задачи.

2. Визуализация - деревья решений: учить строить деревья решений, чтобы показать путь к различным исходам и их вероятностям.

3. Практические примеры - из реальной жизни: применяйте вероятностные задачи к реальным ситуациям, таким как спортивные события, игры, страхование и медицина.
- Эксперименты: Проводите простые эксперименты, например, бросание кубиков или подбрасывание монет, чтобы собрать данные и обсуждать вероятности.

4. Групповая работа - работа в группах над решением вероятностных задач, обсуждения по методам решения задач, что способствует обмену знаниями и идеями, помогает находить лучшие решения вместе.

5. Пошаговые объяснения - метод «от простого к сложному»: начните с простых задач и постепенно увеличивайте их сложность, объясняя каждый шаг. - Система пошаговых инструкций: создайте четкие инструкции для решения различных типов вероятностных задач.

6. Контроль знаний - тестирование, проверочные работы для закрепления и проверки понимания тем.

7. Программные средства - онлайн-тесты, обучающие платформы для практики, видеоуроки по решению задач.

Использование этих методов поможет сделать изучение вероятности более интерактивным и увлекательным, а также закрепить понимание основных задач.

Вероятность – ключевой элемент в математике.
• Необходимо знать ключевые понятия и основные формулы для решения задач.
• Систематическая работа над задачами,
практика – залог успеха на ОГЭ и ЕГЭ.