РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ

РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ 1. На доске записаны числа от 1 до 1 миллиона. Какая цифра стоит на 2015 месте? Р е ш е н и е . 1..9 – 9 цифр, 10…99 – 90*2 = 180 цифр, 100…999 – 900 ∙   3 = 2700 цифр. То есть   искомая   цифра   входит   в  трехзначное   число.  Посчитаем,  сколько   цифр   осталось   для составления трехзначных  чисел: 2015 – 180 – 9 = 1826. 1824  цифры  понадобится, чтобы записать 608 чисел: с числа 100 по 707 включительно. Следующее число 708. Вторая цифра этого числа – искомая. Значит, это 0.  2. Из числа 12345678910111213…5657585960 вычеркните 100 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим. Р е ш е н и е . В рассматриваемом числе 9 + 51 ∙   2 = 111 цифр. После вычеркивания 100 цифр,   должно   остаться   11.   Будем   вычеркивать   цифры   так,   чтобы   слева   оставались наибольшие цифры (желательно 9). Вычеркиваем: 12345678 – 8 цифр, осталось: 9 1011121314151617181 – 19 цифр, теперь остается: 99 2021222324252627282 – 19 цифр, теперь остается: 999 3031323334353637383 – 19 цифр, теперь остается: 9999 4041424344454647484 – 19 цифр, теперь остается: 99999 5051525354555655 – 16 цифр, окончательно остается: 99999785960 3. Записана сумма двух чисел: 68791+245194. Вычеркните четыре цифры из этой записи так, чтобы получилась наименьшая сумма. При этом из каждого числа нужно вычеркнуть хотя бы по одной цифре. Чему равна получившаяся сумма?  О т в е т . 2865.  4. Сложили 111 тысяч, 111 сотен и 111 единиц. Какое число получили?  О т в е т . 122211. 5. Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.  Р е ш е н и е . Произведение целых чисел равно 1, если модули их всех равны 1. Сумма равна 0, если +1 и –1 поровну (т. е. по 11). Но в этом случае произведение равно –1.   6. Произведение цифр трёхзначного числа равно 4. Найдите все такие числа. О т в е т . 411, 141, 114, 122, 212, 221. 7. Найдите все натуральные числа, которые в 7 раз больше своей последней цифры.О т в е т . Такое число одно – 35. 8. [4] Как при помощи только пяти цифр 5, знаков арифметических действий и скобок представить каждое из чисел от 0 до 10 включительно?  Р е ш е н и е . Например: 0 = (5 – 5) * (5 + 5 + 5)  1 = 5 : 5 + (5 – 5) * 5  2 = (5 + 5) : 5 + 5 – 5  3 = (5 * 5 – 5 – 5) : 5  4 = 5 – 5 : 5 + 5 – 5  5 = 5 + (5 – 5) * (5 + 5)  6 = 5 + 5 : 5 + 5 – 5  7 = 5 + 5 : 5 + 5 : 5  8 = 5 + (5 + 5 + 5) : 5  9 = (5 * 5 – 5) : 5 + 5  10 = 5 + 5 + (5 – 5) * 5  9. Изобразите числа 7; 23; 28; 100  только одинаковыми  цифрами 2, 3, 5, 9,  применяя различные арифметические действия. Р е ш е н и е . 7 = 2 ∙  2 ∙  2 – 2 : 2 = 3 + 3 + 3 : 3 = 5 + (5 + 5) : 5 = 9 – (9 + 9) : 9 23 = 22 + 2 : 2 = 3 ∙  3 ∙  3 – (3 + 3 : 3) = 5 ∙  5 – (5 + 5) : 5 = (99 + 99 + 9) : 9 28 = 22 + 2 ∙  2 + 2 = 3 ∙  3 ∙  3 + 3 : 3 = 55 – 5 ∙  5 – (5 + 5) : 5 = 9 + 9 + 9 + + 9 : 9 100 = (222 – 22) : 2 = 33 ∙  3 + 3 : 3 = 5 ∙  5 ∙  5 – 5 ∙  5 = 99 + 9 : 9 10. Какое число нужно поставить вместо * в последовательности 7; 17; 37; 77; *; 317; …?  Р е ш е н и е .  Каждое   сложенное   число   равно   удвоенному   предыдущему,   сложенному   с числом 3, поэтому вместо * следует поставить число 157. 11. Расставьте   числа   1,   1,   2,   2,   3,   3,   4,   4   в   таком   порядке,   чтобы   между   единицами оказалась одна цифра, между двойками – две, между тройками – три, а между четвёрками – четыре цифры.  О т в е т . 41312432. 12. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 26. Найдите уменьшаемое. Р е ш е н и е . Пусть а – уменьшаемое, b – вычитаемое, c – разность. Тогда a – b = c, то есть a = b + c. По условию задачи a + b + c = 26, то есть 2a = 26, следовательно, а = 13.13. Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры. Сколько страниц в этой книге?  Р е ш е н и е .   500   страниц.   На   страницы   от   1   до   9   нужно   9   цифр,   с   10   по   99­ю   (90 двузначных  чисел) – 90 ∙   2 = 180  цифр.   Остаётся  1392 – 9 – – 180 = 1203  цифры на трёхзначные номера страниц. 1203 : 3 = 401 страницу можно пронумеровать. Начинаем с 100­ й, последняя – 500­я. 14.  Цифра десятков в записи некоторого двузначного числа втрое больше числа единиц. Если эти  цифры  переставить,  получится  число, меньше  данного на 36. Найдите  исходное число.  О т в е т . 62. Числа­кандидаты: 93, 62, 31. 15.  Найдите наименьшее четырёхзначное число, у которого сумма цифр больше, чем у любого меньшего числа?  О т в е т . 1999. 16. Сколько   раз   к   наибольшему   однозначному   числу   надо   прибавить   наибольшее двузначное число, чтобы получить наибольшее трёхзначное. Р е ш е н и е .   9   –   наибольшее   однозначное   число,   99   –   наибольшее   двузначное,   999   – наибольшее трехзначное. Пусть прибавить нужно х раз. Тогда 9 + 99х = 999, откуда х = 10. 17. Шофёр, взглянув на счётчик своей машины, увидел число 15951. Он обратил внимание, что количество километров, пройденных машиной, читается одинаково как слева направо, так и справа налево. Ровно через 2 часа счётчик показал новое число, которое тоже в обе стороны читалось одинаково. С какой скоростью ехал эти два часа шофёр?  Р е ш е н и е . 1­я (т. е. и 5­я) цифра измениться не могла,  а 2­я (т. е. и 4­я) должна была. Таким образом, машина прошла либо 16061, либо 16161 км. Т. е. скорость 55 км/ч или 110 км/ч. РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ 18.  Я задумал число. Если к нему прибавить 24, потом сумму умножить на 9, затем из произведения вычесть 76 и полученную разность разделить на 19, то получится число 23. Какое число я задумал?  О т в е т . 33.  Решаем  задачу  с конца (арифметический способ): 1) 23 ∙  19 = 437; 2) 437 + 76 = 513; 3) 513 : 9 = 57; 4) 57 – 24 = 33. Можно решить задачу и с помощью уравнения (алгебраический способ): ((х + 24) ∙  9 – 76) : 19 = 23.19. Алёша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алёша? Р е ш е н и е . Решаем задачу с конца: ((2 ∙  7 + 6) : 4 ∙  3) – 5 = 10. 20. Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович вступили в бой с великанами. Получив по три удара богатырскими палицами, великаны обратились в бегство. Больше всего ударов   нанёс   Илья   Муромец   –  7,  меньше   всех   Алёша   Попович   –  3.  Сколько   всего   было великанов?  Р е ш е н и е . Было нанесено (3 + 7 + х) : 3 ударов. Отсюда х = 2, х = 5 или х = 8. Так как по условию 3 < х < 7, то х = 5. Всего 15 ударов, значит, 5 великанов. 21.  В двадцатиэтажном доме испорчен лифт: он может либо подниматься на 8 этажей вверх, либо спускаться на 13 этажей вниз. Можно ли с помощью лифта попасть с 20­го этажа на первый?  О т в е т . Нет. Можно ехать единственным способом: 20 – 7 – 15 – 2 – 10 – 18 – 5 – 13, а с 13­го этажа уехать нельзя. 22. Вычислите с помощью распределительного закона умножения: 25  72 + 14  18 + 43  36.  Р е ш е н и е . 25  72 + 14  18 + 43  36 = 36  (25  2 + 7 + 43) = 36  100 = = 3600.   23. Найдите значение выражения: 26 ∙  25 – 25 ∙  24 + 24 ∙  23 – 23 ∙  22 ++ 22 ∙  21 – 21 ∙  20 + 20 ∙  19 – 19 ∙  18 + 18 ∙  17 – 17 ∙  16 + 16 ∙  15 – 15 ∙  14.  Подсказка. 240. Группируем по два – распределительное свойство. 24. Не выполняя вычислений, найдите частное: (454  889 – 435) : (454 + 889  453). Р е ш е н и е :   (454    889   –   435)   :   (454   +   889    453)  =   ((453   +   1)    889  –   435)   :   : (454 + 889  453) = (453  889 + 889 – 435) : (454 + 889  453) = (453  889 + + 454) : (454 + 889  453) = 1.   25. Вычислите: О т в е т . 0.26. Вычислите: 34034034 ? 434343 – 43043043 ? 343434.  Р е ш е н и е . 34034034 ? 434343 – 43043043 ? 343434 =  = 34 ∙  43 ∙  (1001001 ∙  10101 – 1001001 ∙  10101) = 34 ∙  43 ∙  0 = 0. 27. Вычислите: 89089089089 ? 7373 – 73073073073 ? 8989.  Р е ш е н и е . Имеем  89 ? 1001001001 ? 73 ? 1001 – 73 ? 1001001001 ? 89 ? ? 1001 = 0. 28. Вычислите:  О т в е т .  29. Вычислите:  Р е ш е н и е .      30. Сократите дробь:    О т в е т .  31. Сократите дробь:    О т в е т .  32. Найдите дробь со знаменателем 19, которая больше   но меньше     О т в е т .  33. Расставьте   скобки   в   записи   7    9   +   12   :   3   –   2   так,   чтобы   значение   полученного выражения было равно: а) 23; б) 75. Ответ. а) (7  9 + 12) : 3 – 2; б) 7  9 + 12 : (3 – 2).34. Найдите сумму: 1 + 2 + 3 + ... + 111.  Р е ш е н и е . Всего 111 чисел. Разбиваем на 55 пар по 112 (1 + 111 = 2  + + 110 = ...). Число 56 – без пары. Таким образом, 55 ∙  112 + 56 = 55 ∙  113  + + 1 = 6216. 35. Найдите сумму: 7 + 9 + 11 + ... + 205.  Р е ш е н и е . Найдем количество слагаемых в этой сумме. Если бы сложение начиналось с 1 и складывались бы все натуральные числа по порядку, то их бы было 205. Однако сложение начинается с 7 (нет первых 6 чисел, то есть остается 205 – 6 = 199) и ведется через одно, начиная с нечетного и заканчивая нечетным, то есть нечетных слагаемых в сумме на одно больше, а именно: (199 + 1) : 2 = 100. Разобьем слагаемые на пары: 7 + 205 = 9 + 203 = … = 212. Таких пар 50. Это означает, что искомая сумма равна 212 ∙  50 = 10600.