Разработка урока "Решение показательных неравенств"

Алгебра и начала анализа
10 класс

Показательные неравенства

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя школа №4 г.Снежное Донецкой Народной Республики

Учитель математики
Вершанская Людмила Вадимовна

Решение показательных неравенств

π 𝑥 π π 𝑥 𝑥𝑥 π 𝑥 − π 2𝑥 π π 2𝑥 2𝑥𝑥 π 2𝑥 ≥0

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя школа №4 г.Снежное Донецкой Народной Республики

Базовые теоретические сведения

Свойства степеней
𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 ∙ 𝑎 𝑚 𝑎𝑎 𝑎 𝑚 𝑚𝑚 𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛+𝑚 𝑎𝑎 𝑎 𝑛+𝑚 𝑛𝑛+𝑚𝑚 𝑎 𝑛+𝑚
𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 : 𝑎 𝑚 𝑎𝑎 𝑎 𝑚 𝑚𝑚 𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛−𝑚 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−𝑚 𝑛𝑛−𝑚𝑚 𝑎 𝑛−𝑚
𝑎 𝑛 𝑚 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑚 𝑚𝑚 𝑎 𝑛 𝑚 = 𝑎 𝑛∙𝑚 𝑎𝑎 𝑎 𝑛∙𝑚 𝑛𝑛∙𝑚𝑚 𝑎 𝑛∙𝑚
𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 𝑏𝑏 𝑏 𝑛 𝑛𝑛 𝑏 𝑛 = 𝑎∙𝑏 𝑛 𝑎∙𝑏 𝑎𝑎∙𝑏𝑏 𝑎∙𝑏 𝑎∙𝑏 𝑛 𝑛𝑛 𝑎∙𝑏 𝑛
𝑎 0 𝑎𝑎 𝑎 0 0 𝑎 0 =1
𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =𝑎𝑎

Формула
перехода
𝑛 𝑎 𝑚 𝑛𝑛 𝑛 𝑎 𝑚 𝑎 𝑚 𝑎𝑎 𝑎 𝑚 𝑚𝑚 𝑎 𝑚 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑚 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 𝑎 𝑚 𝑛

Для отрицательного
показателя степени

𝑎 −𝑛 𝑎𝑎 𝑎 −𝑛 −𝑛𝑛 𝑎 −𝑛 = 1 𝑎 𝑛 1 1 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 1 𝑎 𝑛 = 1 𝑎 𝑛 1 𝑎 1 𝑎 1 1 𝑎 𝑎𝑎 1 𝑎 1 𝑎 1 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 1 𝑎 𝑛
𝑎 𝑏 −𝑛 = 𝑏 𝑎 𝑛

Базовые теоретические сведения:определение возрастающей (убывающей) функции

х

у

х1

х2

f(x2)

f(x1)

х1

х2

х

у

х1

х2

f(x2)

f(x1)

х1

х2

f(x2)

f(x1)

f(x2)

f(x1)

убывающая

возрастающая

xx

Базовые теоретические сведения:графики показательной функции 𝑦𝑦= 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛

x

y

x

y

1

1

y= 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛

y= 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛

x1 < x2
f(x1) > f(x2)

x1 < x2
f(x1) < f(x2)

При 0 < a < 1
f(x)

При a > 1
f(x)

4 𝑥 4 4 𝑥 𝑥𝑥 4 𝑥 > 4 5 4 4 5 5 4 5

1 4 𝑥 1 4 1 4 1 1 4 4 1 4 1 4 1 4 𝑥 𝑥𝑥 1 4 𝑥 > 1 4 5 1 4 1 4 1 1 4 4 1 4 1 4 1 4 5 5 1 4 5

Оформление решения

Т. к. функция 𝑦𝑦= 4 𝑡 4 4 𝑡 𝑡𝑡 4 𝑡 , то
𝑥>5;

5

𝑥𝑥𝜖𝜖 5; +∞ 5; +∞ 5; +∞ .

Ответ:

𝑥𝑥𝜖𝜖 5; +∞ 5; +∞ 5; +∞ .

4 𝑥 4 4 𝑥 𝑥𝑥 4 𝑥 > 4 5 4 4 5 5 4 5 ;

Т. к. функция 𝑦𝑦= 1 4 𝑡 1 4 1 4 1 1 4 4 1 4 1 4 1 4 𝑡 𝑡𝑡 1 4 𝑡 ,то
𝑥<5;

5

Ответ:

Решение элементарных неравенств

а) 3 𝑥 3 3 𝑥 𝑥𝑥 3 𝑥 <81;
б) 1 3 𝑥 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 𝑥 𝑥𝑥 1 3 𝑥 > 1 27 1 1 27 27 1 27 ;
в) 5 𝑥 5 5 𝑥 𝑥𝑥 5 𝑥 >125;
г) 0,2 𝑥 0,2 0,2 0,2 0,2 𝑥 𝑥𝑥 0,2 𝑥 ≤0,04;


д) 3 2𝑥−4 3 3 2𝑥−4 2𝑥𝑥−4 3 2𝑥−4 ≤27;
е) 2 3 3𝑥+6 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 3𝑥+6 3𝑥𝑥+6 2 3 3𝑥+6 > 4 9 4 4 9 9 4 9 ;

𝑥𝑥𝜖𝜖 −∞;3, 5 −∞;3, 5 5 5 −∞;3, 5

8 𝑥−3 8 𝑥−3 8 𝑥−3 8 8 𝑥−3 𝑥𝑥−3 8 𝑥−3 8 𝑥−3 < 3 4 2−𝑥 3 3 4 2−𝑥 4 2−𝑥 4 4 2−𝑥 2−𝑥𝑥 4 2−𝑥 3 4 2−𝑥 ;

8 𝑥−3 2 8 8 𝑥−3 2 𝑥−3 2 𝑥𝑥−3 𝑥−3 2 2 𝑥−3 2 8 𝑥−3 2 < 4 2−𝑥 3 4 4 2−𝑥 3 2−𝑥 3 2−𝑥𝑥 2−𝑥 3 3 2−𝑥 3 4 2−𝑥 3 ;

2 3(𝑥−3) 2 2 2 3(𝑥−3) 2 3(𝑥−3) 2 3(𝑥𝑥−3) 3(𝑥−3) 2 2 3(𝑥−3) 2 2 3(𝑥−3) 2 < 2 2(2−𝑥) 3 2 2 2(2−𝑥) 3 2(2−𝑥) 3 2(2−𝑥𝑥) 2(2−𝑥) 3 3 2(2−𝑥) 3 2 2(2−𝑥) 3 ;

Т. к. функция 𝑦𝑦= 2 𝑡 2 2 2 2 𝑡 𝑡𝑡 2 𝑡 ,то
3(𝑥−3) 2 3(𝑥𝑥−3) 3(𝑥−3) 2 2 3(𝑥−3) 2 < 2(2−𝑥) 3 2(2−𝑥𝑥) 2(2−𝑥) 3 3 2(2−𝑥) 3 ;

2 9 13 9 9 13 13 9 13

Т. к. функция 𝑦𝑦= 3 𝑡 3 3 3 3 𝑡 𝑡𝑡 3 𝑡 ,то

4

Ответ:

РАССЫПАЛОСЬ РЕШЕНИЕ

Пусть 3 𝑥 3 3 𝑥 𝑥𝑥 3 𝑥 =𝑡𝑡, тогда

Нули: 𝑡 1 𝑡𝑡 𝑡 1 1 𝑡 1 =2; 𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 =3

2

3

+

-

+

𝑡<2, 𝑡>3; 𝑡<2, 𝑡>3; 𝑡𝑡<2, 𝑡<2, 𝑡>3; 𝑡𝑡>3; 𝑡<2, 𝑡>3; 𝑡<2, 𝑡>3;

𝑥< log 3 2 , 𝑥>1. 𝑥< log 3 2 , 𝑥>1. 𝑥𝑥< log 3 2 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 2 2 log 3 2 , 𝑥< log 3 2 , 𝑥>1. 𝑥𝑥>1. 𝑥< log 3 2 , 𝑥>1. 𝑥< log 3 2 , 𝑥>1.

𝑥𝑥𝜖𝜖 −∞; log 3 2 −∞; log 3 2 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 2 2 log 3 2 −∞; log 3 2 ∪ 1; +∞ 1; +∞ 1; +∞ .

Ответ:

𝑥𝑥𝜖𝜖 −∞; log 3 2 −∞; log 3 2 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 2 2 log 3 2 −∞; log 3 2 ∪ 1; +∞ 1; +∞ 1; +∞ .

Пусть 5 𝑥 5 5 𝑥 𝑥𝑥 5 𝑥 =𝑡𝑡, тогда

Нули: 𝑡 1 𝑡𝑡 𝑡 1 1 𝑡 1 =−5; 𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 =1

-5

1

+

-

+

𝑡≤−5, 𝑡≥1; 𝑡≤−5, 𝑡≥1; 𝑡𝑡≤−5, 𝑡≤−5, 𝑡≥1; 𝑡𝑡≥1; 𝑡≤−5, 𝑡≥1; 𝑡≤−5, 𝑡≥1;

Ответ:

𝑥𝑥𝜖𝜖 0; +∞) 0; +∞) 0; +∞) .

Решить

Пусть 3 𝑥 3 3 𝑥 𝑥𝑥 3 𝑥 =𝑡𝑡 , тогда

Нули: 𝑡 1 𝑡𝑡 𝑡 1 1 𝑡 1 =3, 𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 =1

1

3

+

+

-

Ответ:

Решить

Ответ: в) 𝑥𝑥𝜖𝜖 −∞;0 −∞;0 −∞;0 ∪ 1; +∞ 1; +∞ 1; +∞

г) 𝑥𝑥𝜖𝜖 0; +∞ 0; +∞ 0; +∞

4 𝑥 4 4 𝑥 𝑥𝑥 4 𝑥 > 1 64 1 1 64 64 1 64 ;
1 3 𝑥 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 𝑥 𝑥𝑥 1 3 𝑥 ≤ 1 81 1 1 81 81 1 81 ;
5 6 𝑥 2 5 6 5 6 5 5 6 6 5 6 5 6 5 6 𝑥 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 5 6 𝑥 2 ≥ 6 5 4𝑥−5 6 5 6 5 6 6 5 5 6 5 6 5 6 5 4𝑥−5 4𝑥𝑥−5 6 5 4𝑥−5 ;
4 5−2𝑥 4 4 5−2𝑥 5−2𝑥𝑥 4 5−2𝑥 ≤0,25;
4 𝑥 4 4 𝑥 𝑥𝑥 4 𝑥 −12∙ 2 𝑥 2 2 𝑥 𝑥𝑥 2 𝑥 +32≥0;
3∙ 3 2𝑥 −28∙ 3 𝑥 +9≤0

7 𝑥 7 7 𝑥 𝑥𝑥 7 𝑥 < 1 49 1 1 49 49 1 49 ;
0,1 𝑥 0,1 0,1 𝑥 𝑥𝑥 0,1 𝑥 >0,001;
3 7 𝑥 2 3 7 3 7 3 3 7 7 3 7 3 7 3 7 𝑥 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 3 7 𝑥 2 ≤ 7 3 4𝑥−21 7 3 7 3 7 7 3 3 7 3 7 3 7 3 4𝑥−21 4𝑥𝑥−21 7 3 4𝑥−21 ;
0,4 2𝑥+1 0,4 0,4 2𝑥+1 2𝑥𝑥+1 0,4 2𝑥+1 >0,16;
7∙ 7 2𝑥 7 7 2𝑥 2𝑥𝑥 7 2𝑥 −8∙ 7 𝑥 7 7 𝑥 𝑥𝑥 7 𝑥 +1<0;
9∙ 9 𝑥 +26∙ 3 𝑥 −3<0

I вариант

II вариант

Домашнее задание: прочесть §13 , повторить базовые теоретические
сведения, решить №229, №231(1;2), №233(3;4)