Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс
Оценка 4.9

Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс

Оценка 4.9
Мероприятия
docx
математика
10 кл
29.09.2018
Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс
Р а з р аб о т к а о л и м п и а д н ы х з а д а н и й по м а т е м а т и к е 10 класс
Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике 10 класс.docx
Школьный этап Всероссийской  олимпиады по математике   10 класс (Время – 90 минут) 1.  (1 балл) Докажите, что   3 n  3 2 n  5 n  3  при любом натуральном  п делится 2. 3. 4. 5. 6. 7. на 3. (2 балла) Построить график функции  . y  2x 3x   (3 балла) При каких значениях параметра k четыре точки A(0; k), B(1; 2 – k), C(2; k), D(k; 7k – 6) различны и лежат на графике квадратного трехчлена? (4   балла)  В   трапеции  ABCD  длина   основания  AD  равна   ,   а   длина 22 основания  BC  равна 2 . Угол  A = 15°,  D = 30°. Найдите длину боковой стороны AB. (5 баллов) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится   3,  а   в   остатке   7.  Если   из  суммы   квадратов   цифр   этого   числа вычесть   произведение   его   цифр,   то   в   результате   получится   данное двузначное число. Найти это число. (6   баллов)  Служившему   воину   дано   вознаграждение   за   первую   рану   1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки, за четвертую – 8 копеек   и   т.д.   по   исчислению   нашлось,   что   воин   получил   всего вознаграждения 655 руб. 35 копеек. Спрашивается число его ран. (7 баллов) Три подруги были в белом, красном и голубом платьях. Их туфли были   так   же   трех   цветов.   Только   у   Тамары   цвета   платья   и   туфель совпадали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг. Методические рекомендации Критерии оценивания работы в 7 классе. Максимальное количество баллов –28 баллов. 1). Баллы 1 балл 0 баллов 2). Баллы 2 балла 1 балл 0 баллов 3). Баллы 3 балла 2 балл 1 балл 0 баллов 4). Баллы 4 балла 2 балла 1 балл 0 баллов 5). Баллы 5 баллов 3 балла 2 балла 1 балл 0 баллов 6). Баллы 6 баллов 4 балла 2 балла 1 балл 0 баллов 7). Баллы 7 баллов 5 балла 3  балла В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен неверный ответ. Критерии Критерии Получен верный ответ, решение обосновано. Получен неверный ответ. В решении имеются незначительные неточности (не менее  2х) Получен неверный ответ. Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован. В решении есть ошибка, что привело к неверному ответу, но ход рассуждений  правильный. Получен неверный ответ. Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован или рассуждения содержат  ошибки. Получен неверный ответ, но в решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца 2 балл 0 баллов В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует 1. (1 балл) Докажите, что   при любом натуральном п делится на Ответы и решения 3 n  2 n3  3n5  3. Решение.   n n3  2 3 n3n5  3 2 n3  n(n3nn6  2  n(3)1  2  )1n2   )1n)(1n(3)1n)(1n(n   3)1n(3)1n(n)1n(      , т.к. первое слагаемое 2. 3. –   это   произведение   трех   последовательных   натуральных   чисел,   т.е.   оно кратно 3, а второе слагаемое содержит множитель 3, значит и вся сумма кратна 3. (2 балла) Построить график функции  . y  Решение.  x x   2 3 x   13  3 x  1 1  x 3 2x 3x    (3 балла) При каких значениях параметра k четыре точки A(0; k), B(1; 2 – k), C(2; k), D(k; 7k – 6) различны и лежат на графике квадратного трехчлена? Решение.  Заметим, что точки A и C имеют разные абсциссы, но одинаковые ординаты. Следовательно, если через них проходит график квадратного трехчлена, то вершина параболы графика лежит ровно посередине между  A  и  C, т.е. в точке (0 + 2)/2 = 1. Квадратный трехчлен с вершиной в точке 1 имеет вид . Напишем условия, что он проходит через точки A, B, C, D: xa (  2)1  p 1) A:  2) B:  )10(a  2 )11(a  2  k pa p k  k2 k2 p p 3) C:  4) D: )12(a  2  k pa p k ( ka  2 )1  p k 7 6 ( ka  2 )1  k p 7 6 Подставим второе условие в первое:  a  )k2(  2k2 a k . Подставим p = 2 – k и a = 2k – 2 в четвертое условие:  )1k)(2k2(   2  6k7)k2( )1k)(2k2(   2  8k8 )1k( , при    1k 2  4 (корень k = 1 не подходит, в этом случае точки B и D совпадают). Далее,   или k = 3. )1k(  2  4 k 1 Ответ: 1; 3.   (4   балла)  В   трапеции  ABCD  длина   основания  AD  равна   4. ,   а   длина 22 . Угол  A = 15°,  D = 30°. Найдите длину боковой основания  BC  равна стороны AB. Решение.  B B 2 C C 15° 15° A A 30° 30° K K D D Проведем BK параллельно CD. Заметим KD || BC, KB || DC, следовательно, KBCD  параллелограмм   и  KD  =  BC  = .  AD  –   секущая   параллельных 2 прямых BK и CD, следовательно AKB =ADC = 30°.  Далее   найдем   длину   отрезка  AK  =  AD  –  KD =  22 .   Боковую  2  2 сторону AB теперь можно найти по теореме синусов для треугольника ABK: . При этом ABK = 180° – AKB – BKA = 180° – 30°– 15° ΑΚ ΑΒΚ  ΑΒ  ΑΚΒ sin sin = 135°.  И  sin 135° =  22 . Теперь можно найти AB, она получается равной 1. 5. Ответ: 1. (5 баллов) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится   3,  а   в   остатке   7.  Если   из  суммы   квадратов   цифр   этого   числа вычесть   произведение   его   цифр,   то   в   результате   получится   данное двузначное число. Найти это число. Решение. Пусть а – цифра десятков, b – цифра единиц в числе, тогда число запишем .   Составим   по   условиям   задачи   систему   уравнений как   ab  a10  b a10 2  a    b 2  a(3  b ab ,7)b .b a10   Из первого уравнения следует, что  . Так как а – цифра, то b делится 1a  2 7 b 6. на 7 без остатка и может принимать два значения: 0 или 7. В первом случае a = 1, а число 10 делится на 1 без остатка. Во втором случае a = 3, а число 37 является решением второго уравнения, то есть является и решением задачи. Ответ: 37. (6   баллов)  Служившему   воину   дано   вознаграждение   за   первую   рану   1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки, за четвертую – 8 копеек   и   т.д.   по   исчислению   нашлось,   что   воин   получил   всего вознаграждения 655 руб. 35 копеек. Спрашивается число его ран. Решение.  1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n = 65535  – это сумма геометрической прогрессии, где а1  = 1,  а2  = 2, и т.д. Таким образом,  q  = 2. Формула суммы геометрической прогрессии S n    q1b 1  q1 n  . 65535 n  )1 2(  12 n 2;  1 65535 n 2;  65536 n 2;  16 n;2  .16 7. Ответ: 16. (7   баллов)  Три   подруги   были   в   белом,   красном   и   голубом   платьях.   Их туфли были так же трех цветов. Только у Тамары цвета платья и туфель совпадали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг. Решение. Имя Белое платье Красное платье Голубое платье Тамара  Лида  Валя  Ответ: у Тамары были красные туфли и платье, у Вали – белые туфли и голубое платье, у Лиды – белое платье и голубые туфли. ­ + + ­ + ­ Туфли  Красные  Голубые  Белые

Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс

Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс

Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс

Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс

Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс

Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс

Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс

Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс

Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс

Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.