Разработка олимпиадных заданий по математике 10 класс

Школьный этап Всероссийской  олимпиады по математике   10 класс (Время – 90 минут) 1.  (1 балл) Докажите, что   3 n  3 2 n  5 n  3  при любом натуральном  п делится 2. 3. 4. 5. 6. 7. на 3. (2 балла) Построить график функции  . y  2x 3x   (3 балла) При каких значениях параметра k четыре точки A(0; k), B(1; 2 – k), C(2; k), D(k; 7k – 6) различны и лежат на графике квадратного трехчлена? (4   балла)  В   трапеции  ABCD  длина   основания  AD  равна   ,   а   длина 22 основания  BC  равна 2 . Угол  A = 15°,  D = 30°. Найдите длину боковой стороны AB. (5 баллов) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится   3,  а   в   остатке   7.  Если   из  суммы   квадратов   цифр   этого   числа вычесть   произведение   его   цифр,   то   в   результате   получится   данное двузначное число. Найти это число. (6   баллов)  Служившему   воину   дано   вознаграждение   за   первую   рану   1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки, за четвертую – 8 копеек   и   т.д.   по   исчислению   нашлось,   что   воин   получил   всего вознаграждения 655 руб. 35 копеек. Спрашивается число его ран. (7 баллов) Три подруги были в белом, красном и голубом платьях. Их туфли были   так   же   трех   цветов.   Только   у   Тамары   цвета   платья   и   туфель совпадали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг. Методические рекомендации Критерии оценивания работы в 7 классе. Максимальное количество баллов –28 баллов. 1). Баллы 1 балл 0 баллов 2). Баллы 2 балла 1 балл 0 баллов 3). Баллы 3 балла 2 балл 1 балл 0 баллов 4). Баллы 4 балла 2 балла 1 балл 0 баллов 5). Баллы 5 баллов 3 балла 2 балла 1 балл 0 баллов 6). Баллы 6 баллов 4 балла 2 балла 1 балл 0 баллов 7). Баллы 7 баллов 5 балла 3  балла В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен неверный ответ. Критерии Критерии Получен верный ответ, решение обосновано. Получен неверный ответ. В решении имеются незначительные неточности (не менее  2х) Получен неверный ответ. Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован. В решении есть ошибка, что привело к неверному ответу, но ход рассуждений  правильный. Получен неверный ответ. Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован или рассуждения содержат  ошибки. Получен неверный ответ, но в решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца 2 балл 0 баллов В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует 1. (1 балл) Докажите, что   при любом натуральном п делится на Ответы и решения 3 n  2 n3  3n5  3. Решение.   n n3  2 3 n3n5  3 2 n3  n(n3nn6  2  n(3)1  2  )1n2   )1n)(1n(3)1n)(1n(n   3)1n(3)1n(n)1n(      , т.к. первое слагаемое 2. 3. –   это   произведение   трех   последовательных   натуральных   чисел,   т.е.   оно кратно 3, а второе слагаемое содержит множитель 3, значит и вся сумма кратна 3. (2 балла) Построить график функции  . y  Решение.  x x   2 3 x   13  3 x  1 1  x 3 2x 3x    (3 балла) При каких значениях параметра k четыре точки A(0; k), B(1; 2 – k), C(2; k), D(k; 7k – 6) различны и лежат на графике квадратного трехчлена? Решение.  Заметим, что точки A и C имеют разные абсциссы, но одинаковые ординаты. Следовательно, если через них проходит график квадратного трехчлена, то вершина параболы графика лежит ровно посередине между  A  и  C, т.е. в точке (0 + 2)/2 = 1. Квадратный трехчлен с вершиной в точке 1 имеет вид . Напишем условия, что он проходит через точки A, B, C, D: xa (  2)1  p 1) A:  2) B:  )10(a  2 )11(a  2  k pa p k  k2 k2 p p 3) C:  4) D: )12(a  2  k pa p k ( ka  2 )1  p k 7 6 ( ka  2 )1  k p 7 6 Подставим второе условие в первое:  a  )k2(  2k2 a k . Подставим p = 2 – k и a = 2k – 2 в четвертое условие:  )1k)(2k2(   2  6k7)k2( )1k)(2k2(   2  8k8 )1k( , при    1k 2  4 (корень k = 1 не подходит, в этом случае точки B и D совпадают). Далее,   или k = 3. )1k(  2  4 k 1 Ответ: 1; 3.   (4   балла)  В   трапеции  ABCD  длина   основания  AD  равна   4. ,   а   длина 22 . Угол  A = 15°,  D = 30°. Найдите длину боковой основания  BC  равна стороны AB. Решение.  B B 2 C C 15° 15° A A 30° 30° K K D D Проведем BK параллельно CD. Заметим KD || BC, KB || DC, следовательно, KBCD  параллелограмм   и  KD  =  BC  = .  AD  –   секущая   параллельных 2 прямых BK и CD, следовательно AKB =ADC = 30°.  Далее   найдем   длину   отрезка  AK  =  AD  –  KD =  22 .   Боковую  2  2 сторону AB теперь можно найти по теореме синусов для треугольника ABK: . При этом ABK = 180° – AKB – BKA = 180° – 30°– 15° ΑΚ ΑΒΚ  ΑΒ  ΑΚΒ sin sin = 135°.  И  sin 135° =  22 . Теперь можно найти AB, она получается равной 1. 5. Ответ: 1. (5 баллов) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится   3,  а   в   остатке   7.  Если   из  суммы   квадратов   цифр   этого   числа вычесть   произведение   его   цифр,   то   в   результате   получится   данное двузначное число. Найти это число. Решение. Пусть а – цифра десятков, b – цифра единиц в числе, тогда число запишем .   Составим   по   условиям   задачи   систему   уравнений как   ab  a10  b a10 2  a    b 2  a(3  b ab ,7)b .b a10   Из первого уравнения следует, что  . Так как а – цифра, то b делится 1a  2 7 b 6. на 7 без остатка и может принимать два значения: 0 или 7. В первом случае a = 1, а число 10 делится на 1 без остатка. Во втором случае a = 3, а число 37 является решением второго уравнения, то есть является и решением задачи. Ответ: 37. (6   баллов)  Служившему   воину   дано   вознаграждение   за   первую   рану   1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки, за четвертую – 8 копеек   и   т.д.   по   исчислению   нашлось,   что   воин   получил   всего вознаграждения 655 руб. 35 копеек. Спрашивается число его ран. Решение.  1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n = 65535  – это сумма геометрической прогрессии, где а1  = 1,  а2  = 2, и т.д. Таким образом,  q  = 2. Формула суммы геометрической прогрессии S n    q1b 1  q1 n  . 65535 n  )1 2(  12 n 2;  1 65535 n 2;  65536 n 2;  16 n;2  .16 7. Ответ: 16. (7   баллов)  Три   подруги   были   в   белом,   красном   и   голубом   платьях.   Их туфли были так же трех цветов. Только у Тамары цвета платья и туфель совпадали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг. Решение. Имя Белое платье Красное платье Голубое платье Тамара  Лида  Валя  Ответ: у Тамары были красные туфли и платье, у Вали – белые туфли и голубое платье, у Лиды – белое платье и голубые туфли. ­ + + ­ + ­ Туфли  Красные  Голубые  Белые