Разработка урока по математике «Производная и её практическое применение» /деловая игра/

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 9» Артемовского городского округа Разработка урока  по математике «Производная и её практическое применение»  /деловая  игра/ Учитель Ходова С.В. 2 г. Артём Цели урока: Обучающие:  обобщение   и   систематизация   знаний     учащихся   по   теме «Производная»   (основные   формулы   и   правила   дифференцирования, применение производной к исследованию функции, нахождению наибольшего и   наименьшего   значения   функции,   физический   и   геометрический   смысл производной). Развивающие:  содействовать   развитию   мыслительных   операций:   анализ, синтез, обобщение, развитие умений применять знания на практике, находить оптимальные решения, развитие уверенности в своих силах, настойчивости, умения   преодолевать   трудности,   добиваться   намеченной   цели,   умения работать в коллективе, умения самооценки и взаимооценки.  Воспитательные:  воспитание   познавательного   интереса   к   математике, собираться с мыслями и принимать решения,   содействовать формированию творческой деятельности учащихся, воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы, воспитание умения не растеряться в проблемных ситуациях. Задачи урока:  возбуждение и поддержание интереса к предмету;  воспитание ответственного отношения к учению;  вовлечение учащихся в творческую, поисковую деятельность. Тип урока: урок обобщения, систематизации знаний, умений и навыков. Вид урока:  деловая игра Формы обучения: фронтальная, индивидуальная, групповая. Метод обучения – исследовательский метод. 3 Структура урока: 1. Организационный этап: проверка готовности к уроку. 2.   Постановка   цели   и   задач   урока.   Мотивация   учебной   деятельности обучающихся. 3. Актуализация прежних знаний. 4. Работа в группах. На уроке, учащиеся объединяются в пять групп по три человек. Каждая группа получает письмо от организации с заданием.  5. Защита учащимися у доски своих ответов и расчётов. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция. В процессе ответа у доски учащиеся отвечают на вопросы учеников других групп. 6. Рефлексия (подведение итогов занятия). 7. Анализ и содержание итогов работы, формирование выводов по изученному материалу. Ход урока 1. Организационный этап: проверка готовности к уроку. 2. Нам всем кажется, что в повседневной жизни мы великолепно обходимся без математики. Не правда, ли? Но это совсем не так. Сегодня на уроке мы убедимся в этом. Начинаем   деловую   игру   по   теме   «Производная   и   её   практическое применение». Сегодня Ваш класс – научно­расчётный центр. Вы сотрудники этого центра. Центр имеет 5отделов: отдел транспорта, отдел архитектуры, отдел   экономики,   поисковый   отдел   и   отдел   экономической   теории.   Вам предстоит защитить теоретические знания по теме «Производная», показать умения и навыки применять теоретические знания к решению практических задач. 4 В   научно­расчётный   центр   пришли   письма   от   различных   организаций, которые хотят получить ответы и расчёты на интересующие их вопросы. Вы должны дать полные, обоснованные ответы и расчёты, которые потом будут отправлены   заказчикам.   Выступающим   можно   задавать   вопросы   по   теме, помогать искать наилучшие варианты ответов. 3. Прежде чем раздать Вам письма, давайте вспомним: Чему равна производная суммы? Чему равна производная степенной функции у = х3 ? В чём заключается геометрический смысл производной? В чем заключается механический смысл производной? Производная от скорости по времени есть…? Что можно сказать о производной в точке экстремума? В каком случае функция возрастает на некотором промежутке? В каком случае функция убывает на некотором промежутке? Если в точке х0  производная меняет знак с плюса  на минус, то х0  есть точка…? Если в точке х0  производная меняет знак с минуса на плюс, то х0  есть точка…? 4. Работа в группах. Сейчас я раздам письма, которые Вы проработаете в своем отделе, после чего   представитель   от   каждого   отдела   у   доски   даст   расчёты   и  ответы   на вопросы в письмах. 1. Отдел транспорта. Уважаемые сотрудники научно­расчётного центра! 5 На трассе Артем­Владивосток произошла авария. Для выяснения степени виновности водителя нам необходимо знать: а)   в   течении   какого   времени   осуществлялось   торможение   до   полной остановки машины? б) сколько метров двигалась машина с начала торможения? в) чему равно ускорение в любой момент времени? Нами установлено, что тормозной путь определяется по формуле:  S  (t) =120t­10t3, где t (c), S (м) С уважением сотрудники транспортной полиции г. Артема. 2. Отдел архитектуры. Уважаемые сотрудники научно­расчётного центра! Строительная фирма просит Вас помочь в решении следующей проблемы. Нам необходимо провести мост через реку. Мост имеет форму параболы у(х) = рх2. Каким надо сделать уклон насыпи к мосту, чтобы переход с моста на шоссе был плавным? Пролет моста имеет длину L=20 м., стрела провеса f=0,5 м. Предлагаем чертёж нашей работы:                                                                                                                                   Х                                                                                      У                                                                О                                      L=20 м                                                                                                 f=0,5 м                                                                                                                         α 6 Заранее Вам благодарны. 3. Отдел экономики. Уважаемые сотрудники научно­расчётного центра! В зоомагазинах используют аквариумы, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда, для содержания в них рыб, змей, мышей, хомяков, свинок, ящериц. На завод по изготовлению стеклянной тары обращаются с просьбой изготовить большое количество аквариумов с квадратным дном объёмом 500 л.   С   целью   экономии   стекла,   просим   Вас   рассчитать   при   какой   стороне основания площадь поверхности аквариума (без крышки) будет наименьшей? С уважением сотрудники  завода по изготовлению стеклянной тары. 4. Отдел поиска. Уважаемые сотрудники научно­расчётного центра! Исследователи   поверхности   суши   и   подводного   пространства   океана запустили ракету, которая перемещалась по закону у(х) =3х­х3. Чтобы сделать необходимые выводы, нам надо знать: а) траекторию движения ракеты; б) где ракета летит под водой; в) где ракета летит над водой; г) в какой точке ракета достигает максимальной высоты и чему она равна; д) в какой точке ракета погружается на максимальную глубину и чему она равна; е) в каких точках ракета входит и выходит из воды. 7 В нашей просьбе просим не отказать.    5. Отдел экономической теории. Уважаемые сотрудники научно­расчётного центра! Наш   цементный   завод   по   договору   должен   ежедневно   поставлять строительной   фирме   не   менее  20  т.  цемента.  Производственные   мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день. При каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид: К=­х3+98х2+200х. Удельные затраты составляют     . С уважением сотрудники цементного завода. 5. Защита учащимися у доски своих ответов и расчётов.  Отдел транспорта. Ответ: Воспользуемся механическим смыслом производной: производная от координаты по времени есть скорость, то есть S'(t)= V(t)=(120t­10t3)' = 120­30t2.  Так как машина остановилась, то V(t)=0. Имеем: 120­30t2 =0; t=±2 (с). t=­2 не удовлетворяет условию задачи, значит в течении 2 секунд осуществлялось торможение до полной остановки машины. Найдём путь, пройденный машиной за 2 с.: S (t) = 120t ­ 10t3; S (2) =120*2­10*23  =160 (м), значит с начала торможения машина двигалась 160 м.       Производная от скорости по времени есть ускорение, значит: a (t)=(120­30t2)'= ­ 60*t Отдел архитектуры. Ответ: 8 Направление подхода к мосту должно совпадать с направлением касательной в конце моста. Нам необходимо найти угловой коэффициент касательной к графику функции  у(х) = рх2 в точке (10;0,5).  Парабола проходит через эту точку, значит, её координаты удовлетворяют уравнению у(х) = рх2, то есть 0,5=р102, откуда р = 0,005.  Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции  y=f(x)   в   точке   х=х0  равно   угловому   коэффициенту   касательной   к   графику функции в точке х0, то есть  f '(x0)=k=tg α. Имеем: у'(х) = (рх2)'=(0,005х2)'=0,01х у'(10)=0,01*10=0,1 k=tg  =0,1α a = arctg 0,1. Отдел экономики. Ответ:                         Пусть сторона квадрата основания будет х дм.  х€(0;+∞)                                      V=x2h, следовательно h=                 Sпол = Sбок+Sосн = 4xh+x2 = +x2                                               Если аквариум вмещает 500 л воды, то объём равен 500 дм3.        х                               Sпол = +x2 =  +x2  ,    S'=2х­  На промежутке (0;+∞) критических точек нет, а стационарная только одна при х=10. Заметим, что при х<10 S'<0, а при х>10, S' >0. Значит, х=10 – точка минимума на  заданном промежутке, а поэтому в этой точке функция достигает своего наименьшего  значения. Следовательно, сторона квадрата, служащего основанием аквариума, равна 10  дм. Отдел поиска. Ответ: Нас просят найти траекторию движения ракеты. Для этого надо построить график функции у (х) =3х­х3. Проведём исследование данной функции: 1. D (у) = R, так как у ­ многочлен. 2. Найдём точки пересечения графика с осями координат: с осью ОУ:  х=0, у=0        (0;0) с осью ОХ:  у=0, х=0 или х = ± 3. у' (х) = (3х­х3)'=3­3х 4. у' (х) =0; х=±1       (0;0), ( ;0), (­ ;0) 9 5.           ­                +               ­                             ­1              1                    х 6.   х у'(х) у(х) (­∞;­1) ­ ­1 0 ­2 min (­1;1) + 1 0 2 max (1;+∞) ­ воздуха вода Отдел экономической теории. Ответ: К=­х3+98х2+200х. Удельные затраты составят  =­х2+98х+200 Наша задача сводится  к отысканию  наибольшего  и  наименьшего значения  функции  У= ­х2+98х+200. На промежутке [20;90]. У'=­2х+98 ­2х+98=0,   х=49 ­ критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке. У (20)=1760   У (49)=2601      У (90)=920. Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности.   6. Рефлексия (подведение итогов занятия). Выставление оценок. 10 7. Анализ и содержание итогов работы, формирование выводов по изученному материалу. Сегодня   мы   выяснили,   зачем   нужно   изучать   производную,   где   можно использовать   знания,   связанные   с   производной   в   жизни.   Не   зря   Н.И. Лобачевский сказал: «… нет ни одной области в математике, которая когда­ либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…». С помощью производной можно находить:  скорость, ускорение;  исследовать   функции   на   монотонность   и   экстремумы   и   строить   их графики;  находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке;  решать   задачи   на   нахождение   наибольших   и   наименьших   значений величин;  находить уравнение касательной к графику функции.