Урок геометрии по теме "Правильные многогранники"

Урок геометрии по теме "Правильные многогранники"   Цель урока: Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками. Задачи урока:  Обучающие:      1.Ввести понятие правильного многогранника.      2.Рассмотреть свойства правильных многогранников. Развивающие:      1.Формирование пространственных представлений учащихся.      2.Формирование умения обобщать, систематизировать, видеть закономерности.      3.Развитие монологической речи учащихся. Воспитательные:      1.Формирование интереса к предмету.      2. Показать связь геометрии и природы. План урока: 1. Организационный момент. 2. Актуализация знаний. 3. Введение нового понятия, изучение правильных выпуклых многогранни­ ков. 4. Формула Эйлера (исследовательская работа класса). 5. Правильные многогранники на картинах великих художников. 6. Правильные многогранники в природе (сообщение учащегося). 7. Правильные многогранники в архитектуре. 8.Решение задач. 9.Подведение итога урока. 10. Домашнее задание. Технологическая карта урока «Понятие многогранника»  Дидактическая цель:  создать условия для осознания и осмысления учащимися блока новой учебной информации о многогранниках,   их   видах,   основных   элементов средствами системно­деятельностного   подхода при   использовании  ИКТ Тип урока: изучение нового материала и первичного закрепления Цели : 1. Предметные: 1. знать определения многогранника, виды многогранников, элементы  многогранников. 2. уметь находить элементы многогранника,  определять вид многогранник 2. Метапредметные: 1. Познавательные: 1. уметь ставить цели и находить пути решения 2. уметь анализировать текст учебника, вести самостоятельный поиск, отбор информации,   ее преобразование,  выделять главное,  сравнивать, обобщать, анализировать, проводить аналогию, 2. Коммуникативные: 1. уметь формулировать и аргументировать собственные суждения 2. уметь слушать учителя и других учащихс 3. Регулятивные: 1. уметь оценивать результаты своей деятельности, 2. уметь выполнять задания в соответствии с заданными правилами  и времене 4. Личностные:       1. уметь точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, 2. уметь развивать интеллектуальные способности в процессе решения задач. Методы:  частично­поисковый, проблемного изложения. Формы организации познавательной деятельности: индивидуальная.  парная, групповая Этапы урока Организационный момент Актуализация субъектного опыта учащихся. Деятельность учителя Приветствие, Деятельность обучающихся Настраиваются Формирование УУД мотивационная   беседа, проверка   готовности   к на проверяют   урок   , уроку Учитель   посмотреть готовность своего   рабочего места Отвечают на вопросы учителя,   предлагает на   Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в и устной   уметь аргументировать   собственные   суждения,   формулировать   форме, уметь   геометрические   тела   и ответить на вопросы: записывают количество  Сколько   лишних тел? лишних   тел   в зачётку. слушать учителя и других учащихся  Познавательные:уметь   ориентироваться   в   своей системе   знаний: отличать   новое   от   уже   известного   с  Почему лишние?   они помощью учителя,уметь ставить цели и находить пути решения Личностные: уметь   точно   и   грамотно   излагать   свои мысли в устной речи Целеполагание   и проблематизация Задают вопросы:   учащимся   на Отвечают вопросы учителя, находят   ответ   в учебнике   на   стр.   уметь практические   ставить   новые   цели, Регулятивные:   преобразовывать познавательные; Познавательные: уметь ставить цели и находить пути решения задачи в      Почему объединили оставшиеся   тела   в одну группу? 60, формулируют занятия, тему    Чем они похожи?  Как   можно   их составляют   план работы. Изучение   нового материала   одним назвать словом? 1. Предлагает 1)   Работают   с ребятам объединиться   учебником, в находят   ответы   Предметные: уметь многогранника,  определять вид многогранника Познавательные: уметь анализировать текст учебника, элементы находить творческие группы, группе каждой   на   поставленные вопросы. вести   самостоятельный   поиск,   отбор   информации,   ее   сравнивать, преобразование,   выделять   главное, раздаёт геометрические Конспектируют в зачётку тела,   с   помощью учебника   ответить Выполняют задание, на   ряд   вопросов: ­выделить работают учебником,   основные элементы многогранника, заполняют зачётку. ­ занести в таблицу зачётных   книжек Выполняют задание,   проводить   аналогию,   выполнять   анализировать, обобщать,  Регулятивные: уметь соответствии с заданными правилами  и временем Коммуникативные:   уметь   работать   в   паре   и с группе, уметь уважительно относиться к точке зрения задания   в   других Личностные: уметь   развивать   интеллектуальные способности в процессе решения задач полеченные сведения. записывают определение   в 2. К   предложенным зачётку. многогранникам добавляет один, ещё   предлагает   их   сравнить, Первичное закрепление выяснить,   чем   они отличаются.  3. Предлагает сравнить   два выпуклых многогранника, найти   различие, дать определение. Подводит   итог, Выполняют предлагает закончить работу творческих групп,   задание. перейти к работе в парах и   выполнить   творческое задание 1. Охарактеризовать (выпуклый, его   невыпуклый; правильный, неправильный)   модели   конструировать Предметные: умение многогранников из палочек и пластилина  Познавательные: уметь   устанавливать   причинно­ следственные связи.   Регулятивные: уметь   контролировать   и   оценивать процесс и результаты своей деятельности. 2. Сказать,   какое   это будущее архитектурное сооружение   или часть строения Организует   деятельность по   контролю   усвоения Считают   свои плюсы. Личностные: самоопределение.Регулятивные: уметь оценивать результаты своей деятельности  приобретенных   знаний (сосчитать   количество плюсов, заработанных на занятии). ­ Давайте подведём итог Отвечают   на нашей работы на уроке. ­   Вспомним,   какую   цель вопросы учителя. мы с вами ставили? ­ Достигли цели? и   Контроль оценка результатов  деятельности Подведение итогов   учебного занятия  Рефлексия учебной деятельности ­ Какая тема урока была? Организует рефлексию и самооценку   учениками Делают самооценку собственной   учебной Коммуникативные: умение  с достаточной   полнотой и точностью выражать свои мысли. Информация   о домашнем задании деятельности Задаёт   и   комментирует домашнее задание Записывают домашнее задание Ход урока Тема нашего урока “Правильные выпуклые многогранники Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока “ Правильные выпуклые многогранники”. Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам  ­ удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши. Многогранник   –   это   такое   тело,   поверхность   которого   состоит   из   конечного   числа   плоских   многоугольников. Многогранник называется правильным, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, т.е. является выпуклым, и все его грани есть равные правильные многоугольники. Простой подсчет суммы углов при вершине правильного многогранника показывает, что   существуют только пять правильных многогранников. Форму правильных тел, по­видимому, подсказала древним грекам сама природа: 1) Кристаллы поваренной соли имеют форму куба; 2) Правильная форма алмаза – октаэдра; 3) Кристаллы пирита – додекаэдра. Важным   свойством   правильных   многогранников   является   существование     для   каждого   из   них   вписанного   и описанного   шаров   (сфер)   таких,     что     поверхность   вписанного   шара   касается   центра   каждой   грани     правильного многогранника,  а поверхность описанного шара проходит через  все  его  вершины.  Центры  этих шаров совпадают между собой и с центром соответствующего многогранника.   Два понятия в формулировке темы урока вам знакомы, многогранники и выпуклые.  Дайте определение многогранника Какой многогранник называется выпуклым? Нами   уже   использовались   словосочетания   «правильные   призмы»   и   «правильные   пирамиды».   Оказывается,   новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? Послушайте внимательно определение.     Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Может показаться, что вторая часть определения является лишней и достаточно сказать, что выпуклый многогранник называется   правильным,  если   его   грани  являются   правильными   многогранниками   с  одним  и  тем   же   числом  сторон. Достаточно ли этого на самом деле? Посмотрите   на   многогранник.   (Демонстрируется   модель   многогранника,   который   получается   из   двух   правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью). Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет!) Посмотрим на его грани ­ правильные треугольники. Посчитаем число рёбер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых – четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник, действительно, не является правильным. Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его частях. Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники. Правильный тетраэдр  составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Куб (гексаэдр) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Частный случай параллелепипеда и призмы.   Правильный   октаэдр  составлен   из   восьми   равносторонних   треугольников.  Каждая   вершина   октаэдра   является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240°. Правильный икосаэдр    составлен из двадцати равносторонних треугольников.  Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°. Правильный додекаэдр  составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: «эдра» ­ грань «тетра» ­ 4 «гекса» ­ 6 «окта» ­ 8 «икоса» ­ 20 «додека» ­ 12 Вам необходимо запомнить названия этих многогранников, уметь охарактеризовать каждый из них и доказать, что других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет. Правильные многогранники иногда называют платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» ­ огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных   многогранников.   Тетраэдр   олицетворял   огонь,   поскольку   его   вершина   устремлена   вверх,   как   у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества ­ твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации. Исследовательская работа «Формула Эйлера» Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов Платоновых тел и занесём результаты в таблицу. Анализируя таблицу №  1,  возникает вопрос: «Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?»  По­ видимому, нет. Например, в столбце «грани» казалось бы просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается (8 + 2 ¹ 12, 12 + 2 ¹ 20). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает  (от  4  до  8,  от  6  до  20),  а то и убывает  (от  8  до  6,  от  20  до  12).  В столбце  «рёбра» закономерности тоже не видно. Правильный  многогранник Число граней вершин рёбер Тетраэдр Октаэдр Икосаэдр Гексаэдр Додекаэдр 4 8 20 6 12 4 6 12 8 20 6 12 30 12 30   и граней вершин (Г + В) Можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Заполните четвертый столбец Г+В (число граней плюс число вершин). Вот теперь закономерности может не заметить только “слепой”. Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 ”, т.е. Г + В = Р + 2. Запишите в тетрадь. Итак, мы вместе сделали открытие, мы “открыли” формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь   открыта   Эйлером   (1752),   имя   которого   с   тех   пор   она   носит.   Формула   Эйлера   верна   для   любых   выпуклых многогранников. Запомните эту формулу. Хотя действительно “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.  О том, как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях учёные, нам расскажет Ф.И. (сообщение учащегося). Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине “Тайная вечеря” изобразил И.Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.  Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471­1528) в известной гравюре “Меланхолия”, на переднем плане также изобразил додекаэдр. Правильные   многогранники   встречаются   так   же   и   в   живой   природе.   Например,   скелет   одноклеточного   организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По­видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80­х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие   всех   природных   процессов,   идущих   на   планете.   Лучи   этого   кристалла,   а   точнее,   его   силовое   поле, обуславливают икосаэдро­додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.      Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро­додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников,   называемых   авторами   узлами,   обладают   рядом   специфических   свойств,   позволяющих   объяснить некоторые   непонятные   явления.   Здесь   располагаются   очаги   древнейших   культур   и   цивилизаций:   Перу,   Северная Монголия,   Гаити,   Обская   культура   и   другие.   В   этих   точках   наблюдаются   максимумы   и   минимумы   атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох­Несс, Бермудский треугольник.  Дальнейшие   исследования   Земли,   возможно,   определят   отношение   к   этой   научной   гипотезе,   в   которой,   как   видно, правильные многогранники занимают важное место. Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус   не   может   быть   совершенно   круглым,   как   считалось   ранее.   Чтобы   установить   его   форму,   брали   различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень ­ икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Подходит к концу урок, подведём итоги. Что нового вы узнали сегодня на уроке? Дома:  № 72 – 75 склеить модели правильных многогранников на выбор Технологическая карта  Дидактическая цель:  создать условия для осознания и осмысления учащимися блока новой учебной информации о многогранниках,   их   видах,   основных   элементов средствами системно­деятельностного   подхода при   использовании  ИКТ Тип урока: изучение нового материала и первичного закрепления Цели по содержанию: 2. Предметные: 3. знать определения многогранника, виды многогранников, элементы  многогранников. 4. уметь находить элементы многогранника,  определять вид многогранника 5. уметь  конструировать модели многогранников из палочек и пластилина 3. Метапредметные: 2. Познавательные: 3. уметь ставить цели и находить пути решения 4. уметь анализировать текст учебника, вести самостоятельный поиск, отбор информации,   ее преобразование,  выделять главное,  сравнивать, обобщать, анализировать, проводить аналогию, 5. уметь устанавливать причинно­следственные связи. 3. Коммуникативные: 3. уметь формулировать и аргументировать собственные суждения 4. уметь слушать учителя и других учащихся, 5. уметь работать в паре и группе 4. Регулятивные: 3. уметь оценивать результаты своей деятельности, 4. уметь выполнять задания в соответствии с заданными правилами  и времене 5. Личностные:       3. уметь точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, 4. уметь развивать интеллектуальные способности в процессе решения задач.   Методы:  частично­поисковый, проблемного изложения. Формы организации познавательной деятельности: индивидуальная.  парная, групповая Ход урока Этапы урока Деятельность учителя Деятельность обучающихся Формирование УУД Организационный момент Приветствие,   мотивация, проверка   готовности   к Настраиваются   урок   на , уроку проверяют готовность своего   рабочего места Отвечают на   Учитель   предлагает посмотреть на геометрические   тела   и   вопросы учителя, записывают ответить на вопросы:  Сколько   лишних количество лишних   тел   в Актуализация субъектного опыта учащихся. Целеполагание   и проблематизация Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной и   формулировать   форме, уметь   аргументировать   собственные   суждения, слушать учителя и других учащихся  Познавательные:  уметь   ориентироваться   в   своей   уметь системе   знаний: отличать   новое   от   уже   известного   с помощью учителя,  уметь ставить цели и находить пути решения Личностные: уметь   точно   и   грамотно   излагать   свои мысли в устной речи Регулятивные:   преобразовывать   ставить   новые   цели, практические задачи уметь в       на тел? зачётку.  Почему   они лишние? Задают   учащимся Отвечают   вопросы:  Почему вопросы учителя, находят   ответ   в познавательные; объединили оставшиеся   тела   в учебнике   на   стр. 60, формулируют Познавательные: уметь ставить цели и находить пути решения одну группу?  Чем они похожи? занятия, тему   составляют   план  Как   можно   их одним назвать   работы. Изучение   нового материала словом? 4. Предлагает ребятам объединиться   в находят   ответы на   поставленные творческие группы, 1)   Работают   с учебником,   находить Предметные: уметь многогранника,  определять вид многогранника Познавательные: уметь анализировать текст учебника, вести   самостоятельный   поиск,   отбор   информации,   ее элементы     каждой раздаёт группе вопросы. Конспектируют в преобразование, обобщать,   выделять   главное,   сравнивать,   проводить   аналогию,   анализировать, геометрические тела,   с   помощью зачётку Выполняют учебника   ответить на   ряд   вопросов: задание, работают   ­выделить основные элементы учебником, заполняют     выполнять задания   в  Регулятивные: уметь соответствии с заданными правилами  и временем Коммуникативные:   уметь   работать   в   паре   и с группе, уметь уважительно относиться к точке зрения других Личностные: уметь   развивать   интеллектуальные способности в процессе решения задач многогранника, ­ занести в таблицу зачётку. Выполняют зачётных   книжек полеченные задание, записывают сведения. 5. К   предложенным определение   в зачётку. многогранникам добавляет   ещё один, их   предлагает сравнить,   выяснить,   чем   они отличаются.  6. Предлагает сравнить   два выпуклых многогранника, найти   различие, дать определение. Первичное Подводит   итог,Выполняют Предметные: умение   конструировать   модели следственные многогранников из палочек и пластилина  Познавательные: уметь   устанавливать   причинно­ связиРегулятивные: уметь контролировать   и   оценивать   процесс   и   результаты своей   деятельностиКоммуникативные: управление поведением   партнёра   –   контроль,   коррекция,   оценка действий партнёра. закрепление закончить предлагает работу творческих групп,   задание. перейти к работе в парах и   выполнить   творческое задание: 3. Сконструировать модель многогранника   из палочек пластилина.   и 4. Охарактеризовать его   (выпуклый, невыпуклый; правильный, неправильный) 5. Сказать,   какое   это будущее архитектурное сооружение   или часть строения и   Контроль оценка результатов  деятельности Подведение итогов   учебного занятия  Рефлексия учебной деятельности Информация   о домашнем задании Организует   деятельность по   контролю   усвоения Считают   свои плюсы. Личностные: самоопределение.Регулятивные: уметь оценивать результаты своей деятельности  приобретенных   знаний (сосчитать   количество плюсов, заработанных на занятии). ­ Давайте подведём итог Отвечают   на нашей работы на уроке. ­   Вспомним,   какую   цель вопросы учителя. мы с вами ставили? ­ Достигли цели? ­ Какая тема урока была? Организует рефлексию и самооценку   учениками Делают самооценку учебной собственной   деятельности Задаёт   и   комментирует Записывают домашнее задание домашнее задание Коммуникативные: умение  с достаточной   полнотой и точностью выражать свои мысли.