Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс
Оценка 4.8

Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс

Оценка 4.8
Мероприятия
docx
математика
11 кл
29.09.2018
Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс
Р а з р аб о т к а о л и м п и а д н ы х з а д а н и й по м а т е м а т и к е 11 класс
Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике 11 класс.docx
Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике  11 класс 1. (5 баллов) Решите уравнение:  (Время 90 минут) 2 х  4х2   9  2 х 9 2  х х4  3 2 х 2  х 9 2. (6 баллов) Найдите значение выражения:  cos 260  sin 260  sin 130  cos 160  . 3. (6 баллов) В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны   2см,   3см   и   4см,   вписана   окружность   радиуса   1,2см.   Найдите площадь четырехугольника. 4. (7   баллов)  Найдите   все   значения   параметра  а,   при   которых   корни   положительны.   В   ответе   записать уравнения    a  ax2  03 a  x2 2  количество   целых   значений   параметра,   удовлетворяющих   условию . a  10 5. (7 баллов) Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать   операции   только   двух   видов:   снимать   300   долларов   или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет? 6. (9 баллов) В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3, а каждые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, которое делится на 17 или на 23. Определите, какая цифра может стоять на последнем месте? Ответ обосновать! Методические рекомендации Критерии оценивания работы в 11 классе. Максимальное количество баллов – 40 баллов. 1) Баллы 5 баллов 3 балла 2 балла 1 балл 0 баллов Баллы 6 баллов 4 балла 2 балла 1 балл 0 баллов Баллы 7 баллов 5 баллов 3 балла 1 балл 0 баллов Баллы 9 баллов 6 баллов 3 балла 1 балл 0 баллов Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует 2), 3) Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Выполнены  алгебраические (геометрические) преобразования. В задаче 3 сделан чертеж. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует 4), 5)  Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Выполнены  алгебраические (геометрические) преобразования.  Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует 6) Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ.  Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует Решения и ответы Задание 1. (5 баллов)  Решите уравнение:                                                    2 х  2 х  4  9  2 х 9 2  х 4 х  3 х 2 2  х 9 Решение. ОДЗ: все значения переменной, кроме 3 и ­3.  Преобразуем данное уравнение к виду  х   ,4 2 4 х  2 2 2 х х 4 2 х   х 4  2 ,2   2 х х 4 4    2 4 2 х х 4 ,4 ,0 .3 х х ,4 ;4 2 х         2 х 2 х х х х      Ответ: 0; 4. Задание 2.(6 баллов) Найдите значение выражения  соs260ºsin130ºcos160º. Решение. соs260ºsin130ºcos160º=cos(270º­10º)sin(180º­50º)cos(180º­20º)=sin10ºsin50ºcos20º=  =0,5(cos40º­cos60º)cos20º = 0,5∙(cos40º­ 0,5)cos20º = 0,25∙(2cos40º ­1)cos20º=  =0,25∙(2cos40ºcos20º­cos20º)=0,25∙(cos20º+cos60º­cos20º)=0,25cos60º=0,25∙0,5=0,125. Ответ: 0,125. Задание 3.(6 баллов) В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны  2см, 3см и 4см, вписана окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь четырехугольника. Решение: Площадь   четырехугольника   найдем   по   формуле  S  =  p  ∙  r,   где  p  –   полупериметр четырехугольника,  r – радиус вписанной окружности. Так как в четырехугольник вписана окружность, то сумма противоположных сторон равна, т.е. 2 + 4 = 3 + х, где х – четвертая сторона. Отсюда  х = 3см. Тогда p =  ½ (2 + 3 + 3 + 4) = 6см. По условию r = 1,2 см. Таким образом, S = 6 ∙ 1,2 = 7,2 см². Ответ: 7,2 см2. Задание 4. (7 баллов) Найдите  все значения параметра а, при которых корни уравнения  (а – 2)х2 – 2ах + а + 3 = 0 положительны. В ответе записать количество целых значений  параметра, удовлетворяющих условию |а| ≤ 10. Решение: Заметим, что заданное уравнение не для всех значений а является квадратным. При а = 2 это уравнение первой степени ­4х + 5 = 0, которое имеет положительный корень х = 1,25. Следовательно, значение а = 2 удовлетворяет условию задачи. При а ≠ 2 данное уравнение является квадратным. Чтобы корни рассматриваемого уравнения были положительны, необходимо выполнение условий .   3;  à  ;2      х 1 х 1 2 х 2 а   а 2  а 3   а 2  х 2  ,0 ;0 Кроме того, нужно  чтобы дискриминант исходного уравнения  D = (2а)2 – 4(а – 2)(а + 3) = 4(6 – а)  был неотрицательным. Получим  а(­∞;6]. Общая   часть   полученных   интервалов  а  ∈  (­∞;­3)  ∪  (2;6].  Учитывая   значение  а   =   2, полученное при рассмотрении линейного уравнения, находим окончательно  а  (­∞;­3)  ∪ [2;6]. Условию  |а|   ≤   10  соответствует  а  [­10;10].  Выпишем   целые   значения   параметра  а, удовлетворяющие полученному решению и указанному условию: {­10; ­9; ­8; ­7; ­6; ­5; ­4; 2; 3;4; 5; 6} – таких значений оказалось двенадцать. Ответ: 12. Задание   5.  (7   баллов)    Петин   счет   в   банке   содержит   500   долларов.   Банк   разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?  Решение: Поскольку 300 и 198 делятся на 6, Петя сможет снять лишь сумму, кратную 6 долларам. Максимальное число, кратное 6 и не превосходящее 500, ­ это 498.  Докажем,   что   снять   498   долларов   возможно.   Произведем   следующие   операции:   500­ 300=200, 200+198=398, 398­300=98, 98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6 долларов.  Проделав аналогичную процедуру 16 раз, Петя снимет 96 долларов. Затем он может снять 300, положить 198 и снова снять 300. В результате у него будет 498 долларов.  Задание 6. (9 баллов) В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3, а каждые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, которое делится на 17 или на  23.  Определите, какая цифра может стоять на последнем месте? Ответ обосновать! Решение: Двузначные числа, делящиеся на 17 ­ это 17,  34,  51,  68,  85. Двузначные числа, делящиеся на 23 ­ это  23,  46,  69,  92. По   условию   задачи   выписываем   после   цифры   3   такую   цифру,   чтобы   образовавшееся двузначное число делилось на 23 или на 17. Это может быть только цифра 4 (т.к. 34 делится на 17, других  двузначных  чисел, где цифра десятков 3, делящихся на 17 или 23, нет). После цифры 4 может быть только 6, а после 6 может быть  9 или 8. Рассмотрим   первый   случай,   когда   после   цифры   6   запишем   цифру   9.   Тогда   получим последовательность   34692 34692 34692….   Замечаем,   что   цифры   с   периодом   Т   =   5, повторяются. Всего цифр по условию задачи 2007, значит 2007 : 5 = 401 (остаток 2). Поэтому в этом случае на последнем месте будет стоять вторая цифра из периода – это цифра 4. Рассмотрим   второй   случай,   когда   после   цифры   6   запишем   цифру   8,   тогда   получим 3468517, а дальше ряд обрывается, т.к. нет двузначного числа, делящегося на 17 или 23, где цифра десятков равна 7. Но эта цепочка цифр может заканчивать последовательность 346992 34692 …..34685 17 и тогда на последнем месте будет цифра 7. │ │ │ │ │ Ответ: 4 или 7.

Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс

Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс

Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс

Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс

Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс

Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс

Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс

Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс

Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс

Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс