Разработка заданий для школьного тура олимпиады. 11 класс

Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике  11 класс 1. (5 баллов) Решите уравнение:  (Время 90 минут) 2 х  4х2   9  2 х 9 2  х х4  3 2 х 2  х 9 2. (6 баллов) Найдите значение выражения:  cos 260  sin 260  sin 130  cos 160  . 3. (6 баллов) В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны   2см,   3см   и   4см,   вписана   окружность   радиуса   1,2см.   Найдите площадь четырехугольника. 4. (7   баллов)  Найдите   все   значения   параметра  а,   при   которых   корни   положительны.   В   ответе   записать уравнения    a  ax2  03 a  x2 2  количество   целых   значений   параметра,   удовлетворяющих   условию . a  10 5. (7 баллов) Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать   операции   только   двух   видов:   снимать   300   долларов   или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет? 6. (9 баллов) В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3, а каждые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, которое делится на 17 или на 23. Определите, какая цифра может стоять на последнем месте? Ответ обосновать! Методические рекомендации Критерии оценивания работы в 11 классе. Максимальное количество баллов – 40 баллов. 1) Баллы 5 баллов 3 балла 2 балла 1 балл 0 баллов Баллы 6 баллов 4 балла 2 балла 1 балл 0 баллов Баллы 7 баллов 5 баллов 3 балла 1 балл 0 баллов Баллы 9 баллов 6 баллов 3 балла 1 балл 0 баллов Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует 2), 3) Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Выполнены  алгебраические (геометрические) преобразования. В задаче 3 сделан чертеж. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует 4), 5)  Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Выполнены  алгебраические (геометрические) преобразования.  Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует 6) Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ.  Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует Решения и ответы Задание 1. (5 баллов)  Решите уравнение:                                                    2 х  2 х  4  9  2 х 9 2  х 4 х  3 х 2 2  х 9 Решение. ОДЗ: все значения переменной, кроме 3 и ­3.  Преобразуем данное уравнение к виду  х   ,4 2 4 х  2 2 2 х х 4 2 х   х 4  2 ,2   2 х х 4 4    2 4 2 х х 4 ,4 ,0 .3 х х ,4 ;4 2 х         2 х 2 х х х х      Ответ: 0; 4. Задание 2.(6 баллов) Найдите значение выражения  соs260ºsin130ºcos160º. Решение. соs260ºsin130ºcos160º=cos(270º­10º)sin(180º­50º)cos(180º­20º)=sin10ºsin50ºcos20º=  =0,5(cos40º­cos60º)cos20º = 0,5∙(cos40º­ 0,5)cos20º = 0,25∙(2cos40º ­1)cos20º=  =0,25∙(2cos40ºcos20º­cos20º)=0,25∙(cos20º+cos60º­cos20º)=0,25cos60º=0,25∙0,5=0,125. Ответ: 0,125. Задание 3.(6 баллов) В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны  2см, 3см и 4см, вписана окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь четырехугольника. Решение: Площадь   четырехугольника   найдем   по   формуле  S  =  p  ∙  r,   где  p  –   полупериметр четырехугольника,  r – радиус вписанной окружности. Так как в четырехугольник вписана окружность, то сумма противоположных сторон равна, т.е. 2 + 4 = 3 + х, где х – четвертая сторона. Отсюда  х = 3см. Тогда p =  ½ (2 + 3 + 3 + 4) = 6см. По условию r = 1,2 см. Таким образом, S = 6 ∙ 1,2 = 7,2 см². Ответ: 7,2 см2. Задание 4. (7 баллов) Найдите  все значения параметра а, при которых корни уравнения  (а – 2)х2 – 2ах + а + 3 = 0 положительны. В ответе записать количество целых значений  параметра, удовлетворяющих условию |а| ≤ 10. Решение: Заметим, что заданное уравнение не для всех значений а является квадратным. При а = 2 это уравнение первой степени ­4х + 5 = 0, которое имеет положительный корень х = 1,25. Следовательно, значение а = 2 удовлетворяет условию задачи. При а ≠ 2 данное уравнение является квадратным. Чтобы корни рассматриваемого уравнения были положительны, необходимо выполнение условий .   3;  à  ;2      х 1 х 1 2 х 2 а   а 2  а 3   а 2  х 2  ,0 ;0 Кроме того, нужно  чтобы дискриминант исходного уравнения  D = (2а)2 – 4(а – 2)(а + 3) = 4(6 – а)  был неотрицательным. Получим  а(­∞;6]. Общая   часть   полученных   интервалов  а  ∈  (­∞;­3)  ∪  (2;6].  Учитывая   значение  а   =   2, полученное при рассмотрении линейного уравнения, находим окончательно  а  (­∞;­3)  ∪ [2;6]. Условию  |а|   ≤   10  соответствует  а  [­10;10].  Выпишем   целые   значения   параметра  а, удовлетворяющие полученному решению и указанному условию: {­10; ­9; ­8; ­7; ­6; ­5; ­4; 2; 3;4; 5; 6} – таких значений оказалось двенадцать. Ответ: 12. Задание   5.  (7   баллов)    Петин   счет   в   банке   содержит   500   долларов.   Банк   разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?  Решение: Поскольку 300 и 198 делятся на 6, Петя сможет снять лишь сумму, кратную 6 долларам. Максимальное число, кратное 6 и не превосходящее 500, ­ это 498.  Докажем,   что   снять   498   долларов   возможно.   Произведем   следующие   операции:   500­ 300=200, 200+198=398, 398­300=98, 98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6 долларов.  Проделав аналогичную процедуру 16 раз, Петя снимет 96 долларов. Затем он может снять 300, положить 198 и снова снять 300. В результате у него будет 498 долларов.  Задание 6. (9 баллов) В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3, а каждые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, которое делится на 17 или на  23.  Определите, какая цифра может стоять на последнем месте? Ответ обосновать! Решение: Двузначные числа, делящиеся на 17 ­ это 17,  34,  51,  68,  85. Двузначные числа, делящиеся на 23 ­ это  23,  46,  69,  92. По   условию   задачи   выписываем   после   цифры   3   такую   цифру,   чтобы   образовавшееся двузначное число делилось на 23 или на 17. Это может быть только цифра 4 (т.к. 34 делится на 17, других  двузначных  чисел, где цифра десятков 3, делящихся на 17 или 23, нет). После цифры 4 может быть только 6, а после 6 может быть  9 или 8. Рассмотрим   первый   случай,   когда   после   цифры   6   запишем   цифру   9.   Тогда   получим последовательность   34692 34692 34692….   Замечаем,   что   цифры   с   периодом   Т   =   5, повторяются. Всего цифр по условию задачи 2007, значит 2007 : 5 = 401 (остаток 2). Поэтому в этом случае на последнем месте будет стоять вторая цифра из периода – это цифра 4. Рассмотрим   второй   случай,   когда   после   цифры   6   запишем   цифру   8,   тогда   получим 3468517, а дальше ряд обрывается, т.к. нет двузначного числа, делящегося на 17 или 23, где цифра десятков равна 7. Но эта цепочка цифр может заканчивать последовательность 346992 34692 …..34685 17 и тогда на последнем месте будет цифра 7. │ │ │ │ │ Ответ: 4 или 7.