Решение игры с платежной матрицей 2×2 аналитическим методом

Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru

©МатБюро - Решение задач по исследованию операций, ЭММ и другим предметам

Решение игры с платежной матрицей 2×2 аналитическим методом

ЗАДАНИЕ.   

Найти решение и цену игры, заданной следующей платежной матрицей:

         12    22

A =             

          32     2 

РЕШЕНИЕ.  

Попробуем найти седловую точку данной платежной матрицы. 

Найдем наилучшую стратегию первого игрока: минимальное число в каждой строке обозначим α_i . Получаем: α₁ =12, α₂ = 2. Выберем максимальное из этих значений α=12 - нижняя цена игры, стратегия А1.

Аналогично для второго игрока. Найдем максимальные значения выигрыша по столбцам: 

β₁ = 32,β₂ = 22 и минимальное из этих чисел β= 22 - верхняя цена игры, стратегия  В2.  

Так как верхняя и нижняя цены игры различны, игра не имеет решения в чистых стратегиях (седловой точки нет), цена игры находится в промежутке от 12 до 22 (между нижней и верхней ценой игры). 

Решим данную игру аналитическим методом.

Средний выигрыш первого игрока, если он использует оптимальную смешанную стратегию x^{* =}(x x₁^*, ₂^*) , а второй игрок – чистую стратегию, соответствующую первому столбцу

платежной матрицы, равен цене игры v:

12x₁^* +32x₂^* =v . 

Тот же средний выигрыш получает первый игрок, если второй игрок применяет стратегию, соответствующую второму столбцу платежной матрицы, то есть  22x₁^* +2x₂^* =v .

Учитывая, что x₁^* + =x₂^* 1 , получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии первого игрока и цены игры:

^12x₁^* +32x₂^* =v, 

22x₁^* + 2x₂^* =v,

 *                *

x₁ + =x₂       1.

Решаем эту систему и находим:

12x1* +32x2* = 22x1* + 2x2*, 

v= 22x₁^* + 2x₂^*,                  

 *                          *

x₁ = −1 x₂ .

^−10x₁^* +30x₂^* = 0, 

v= 22x₁^* + 2x₂^*,    

 *                          *

x₁ = −1 x₂ .

                                                                                  1

Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru

©МатБюро - Решение задач по исследованию операций, ЭММ и другим предметам

^− −(1 x₂^*)+3x₂^* = 0,

    *                  *

v= 22x₁ + 2x₂ ,         

 *                          *

x₁ = −1 x₂ .

4x2* =1,



v= 22x₁^* + 2x₂^*,

 *                          *

x₁ = −1 x₂ .

^x₁^* = 3/ 4, 

x₂^* =1/4,

 _v=17.

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании смешанной стратегии второго игрока, получаем, что при любой чистой стратегии первого игрока средний проигрыш второго игрока равен цене игры, то есть:

^12y₁^* + 22y₂^* =17, 

32y₁^* + 2y₂^* =17,

 *                 *

y₁ + =y₂       1.

12 1( −y₂^*)+ 22y₂^* =17,     

y₁^* + =y₂^* 1.

12−12y₂^* + 22y₂^* =17, 

y₁^* = −1 y₂^*.

y₂^* =1/ 2,

      

y₁^* =1/2.

Отсюда находим y₁*=1/2 , y₂*=1/ 2. 

                                                                                                                             *  3 1           * 1 1

Игра решена. Оптимальные смешанные стратегии X = ;  , Y = ;  , цена игры v=17.

                                                                                                                                  4 4             2 2

                                                                                  2