Решение логарифмических уравнений.

МАОУ «СОШ №12»
Шкода Л.И.

При решении любого логарифмического уравнения необходимо либо находить область определения выражения (О.Д.З.), содержащегося под знаком логарифма или в его основании, либо после решения уравнения делать проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение.
( Выражение, стоящее под знаком логарифма, может быть только положительным. Основание логарифма может быть только положительным и не равным 1).

Памятка.

log 2 (2x – 1) = 3
По определению логарифма перейдем к равенству:
2 3 = 2х – 1; 8 = 2х – 1; 2х= 9; х = 4,5
Проверка: x=4,5
log2 (2·4,5 – 1) =3
log2 ( 9 -1) =3
log2 ( 9 -1) =3
log2 8 =3
3=3 (верно).
Ответ: 4,5

Решить уравнение

2 log х 9 = 4
log х 9 = 𝟒 𝟐 𝟒𝟒 𝟒 𝟐 𝟐𝟐 𝟒 𝟐 ; log х 9 =2
О.Д.З. X > 0 ; X ≠ 1
По определению логарифма перейдем к равенству: x2 =9; x= ±√9; x1 = - 3; x2 =3.
- 3 ∄ О.Д.З. ; 3 ∃ О.Д.З.
Ответ: 3.

Решить уравнение

По определению логарифма перейдем к выражению:
(2+х) 2 = 2х2 +3х -2
4 +4х +х2 =2х2 +3х -2; -х2 +х +6 =0
D= 1 - 4·(-1)·6 = 25
X1 = −𝟏+𝟓 −𝟐 −𝟏𝟏+𝟓𝟓 −𝟏+𝟓 −𝟐 −𝟐𝟐 −𝟏+𝟓 −𝟐 = - 2
X2 = −𝟏−𝟓 −𝟐 −𝟏𝟏−𝟓𝟓 −𝟏−𝟓 −𝟐 −𝟐𝟐 −𝟏−𝟓 −𝟐 = 3
-2 не ∈ (0,5 ; + ∞)
3 ∈ (0,5 ; + ∞)
Ответ: 3

D(loga) =R+ ; 10X – 8>0; 10X > 8; X >0, 8.
lg log2 (10X - 8) = 560=1
log2 (10X - 8) = 10 1 =10
10X – 8 =2 10= 1024; 10X=1024 + 8 =1032
Х = 𝟏𝟎𝟑𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑𝟐𝟐 𝟏𝟎𝟑𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟑𝟐 𝟏𝟎 =103, 2; 103,2 > 0,8; 103,2 ∈D(loga)
Ответ: 103,2

По определению логарифма.log56 lg log2 (10X - 8) =0

1. 5 log 0,5 (2x – 3) =10
2. 3 log 8 (11-x) =2
3. log 0,25 (3x+2) = - 3
4. log 𝟑 𝟒 𝟑𝟑 𝟑 𝟒 𝟒𝟒 𝟑 𝟒 𝟐𝒙 −𝟏 𝒙+𝟐 𝟐𝟐𝒙𝒙 −𝟏𝟏 𝟐𝒙 −𝟏 𝒙+𝟐 𝒙𝒙+𝟐𝟐 𝟐𝒙 −𝟏 𝒙+𝟐 =1
5. log x 16 = 4
6. log x-4 36 = 2
7. log x-2 9 =1
8. log x 0,04 = -2
9. log 0,8log2 log5 2x = 0
10. log 1,5log5 log2 4x = 0
11. log πlog2 log2 4x = 0
12.lg log3 log2 5x = 0

Решить самостоятельно.По определению логарифма.

1. 1,625
2. 6.25
3. 13
4. 2
5. 2
6. 10
7. 11
8. 5
9. 12,5
10. 8
11. 3
12. 1,6

Ответы. Решение по определению

Проверка: x=34,5
2log8(2X – 5) =4
2log8(2·34,5 – 5) =4
2log864 =4
22 =4
4=4 (верно) Ответ: 34,5

Использование основного логарифмического тождества.

log9 3 5x – 5 =2

92 = 3 5x – 5 решаем показательное уравнение, уравниваем основания. (32)2 = 3 5x – 5 ; 34 = 3 5x – 5 ;
4 =5х -5 5х = 9 х = 1,8
3 5x – 5 >0 ( как показательная функция )
Ответ: 1,8.

Решить уравнение

По определению логарифма перейдем к выражению:

2 log 16 (10x +4) = 5 2 log 24 (10x +4) = 5
2 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 log 2 (10x +4) = 5 2 log 2 𝟒 𝟏𝟎𝒙+𝟒 𝟒𝟒 𝟒 𝟏𝟎𝒙+𝟒 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒙𝒙+𝟒𝟒 𝟒 𝟏𝟎𝒙+𝟒 = 5
𝟒 𝟏𝟎𝒙+𝟒 𝟒𝟒 𝟒 𝟏𝟎𝒙+𝟒 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒙𝒙+𝟒𝟒 𝟒 𝟏𝟎𝒙+𝟒 = 5; решаем иррациональное уравнение
( 𝟒 𝟏𝟎𝒙+𝟒 𝟒𝟒 𝟒 𝟏𝟎𝒙+𝟒 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒙𝒙+𝟒𝟒 𝟒 𝟏𝟎𝒙+𝟒 ) 4 = 54 10x+4=625;
10x = 621; x=62,1
Проверка: х =62,1
2 log 16 (10·62.1 +4) = 5
2 log 16 625 = 5
2 log 2 5 = 5
5=5 (верно) Ответ: 62,1.

Решить уравнение, используя основное тождество

1. log 4 2 2x+5 =4
2. log 81 3 2x-1 = 2
3. lg 0,1 5x-6 = 3
4. log √𝟕𝟕 49 2 - x = 10
Использовать основное логарифмическое тождество:
5. 6 log216 (3x+4) = 4
6. 3 log9 (2x+6) = 6
7. 2 log8 (2x - 3) = 5
8. 3 log81 (8x+8) = 4

Решить по определению логарифма сведением к показательному уравнению или применяя основное тождество.

1. 1,5
2. 4,5
3. 0,6
4. - 0,5
5. 20
6. 15
7. 64
8. 31

Ответы. Сведение к показательному и основное тождество.

1. log 6 (4 – x) = log 6 (10 + x)
2. log 5 (-2x + 3) = log 5 (-3x + 1)
3. log 2 (3x – 12) = log 2 (3 + x)
4. log 0,6 (x2 + 7x) = log 0,6 (2x + 42)
5. log 2022 (28 – 11x) = 0,5 log 2022 36
6. log 5 (0,25 – 0,2x) = 3log 5 0,5
7. 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 log 3 (x + 10) = log 3 (x - 2)
8. 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 log 3 (8 - x) = log 3 (x +4)
9. log 0,2 (2x -3) + log 0,2 7 = log 0,2 25
10. log 3 (4x -5) = log 3 2 + log 3 x
11. log 4 (x -2) + log 4 (x + 4) = log 4 64
12. log 2,5 (x +1) + log 2,5 (x + 2) = log 2,5 2,5

Решить методом потенцирования

1. -3
2. -2
3. 7,5
4. 7
5. 2
6. 0,625
7. 6
8. -1
9. 3,5
10. 2,5
11. 5
12. 0

Ответы. Метод потенцирования.

1. lg(2x – 2)= 1 + lg(x-9)
2. log 5 6x = 2 + log 5 (x – 19)
3. log 3 (x – 2) = 4 + log 3 (x – 10)
4. log 2 (2x+6) = 5 + log 2 x
5. log 0,3 (7x+5) - log 0,3 3 = log 0,3 4
6. log π (5x-7) - log π 5 = log π 21
7. ln (2x -6) – ln 2 = ln 3
8. log 5 (10x) - 2 = log 5 (x – 6)
Найти абсциссу точек пересечения графиков (пояснение: приравнять правые части выражений для « y» и решить полученное уравнение).
9. y = log 2 (x+1,5) и y = log 2 1- log 2 x
10. y = log 3 (2x -1) и y =2 - log 3 (x+1)
11. y = log 3 (2 -х) и y = - log 9 𝟏 𝟐𝟓 𝟏𝟏 𝟏 𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝟏 𝟐𝟓
12. y = log 3 (x -2) и y =3 - log 3 (x+4)

Решить методом потенцирования, используя свойства логарифмов.

1. 11
2. 25
3. 10,1
4. 0,2
5. 1
6. 22,4
7. 6
8. 10
___________________
9. Х= 0,5
10. Х = 2
11. Х= - 3
12. Х= 5

Ответы на задания на метод потенцирования, с использованием свойств логарифмов.

Метод подстановки (введение новой переменной).

О.Д.З. или D(loga) =R+ значит Х >0.
Обозначим log 3 X =y получим квадратное уравнение y 2 – y - 2 =0 D =(-1)2 -4·1·(-2) =9>0 (два корня) y1 = 𝟏+ 𝟗 𝟐 𝟏𝟏+ 𝟗 𝟗 𝟗𝟗 𝟗 𝟏+ 𝟗 𝟐 𝟐𝟐 𝟏+ 𝟗 𝟐 =2; y2 = 𝟏− 𝟗 𝟐 𝟏𝟏− 𝟗 𝟗 𝟗𝟗 𝟗 𝟏− 𝟗 𝟐 𝟐𝟐 𝟏− 𝟗 𝟐 = -1
log 3 X =2 или log 3 X = - 1
Х1 = 32 = 9 > 0 Х2 = 3 -1 = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 >0
в ответ больший корень Ответ: 9.

Решить уравнениеlog3 2 X – log 3 X - 2 = 0 (в ответ больший корень)

1. log 2 2 x – log 2x 3 -4 =0 (в ответ произведение корней).
2. log 3 2 x – log 3 x 2 =3 (в ответ произведение корней).
3. log 5 2 x – 2 log 5x -3 =0 (в ответ больший корень).
4. lg 2 x = 3 – 2 lg x (в ответ меньший корень).
5. log 4 2 x – log 4 √x -1,5 =0 (в ответ произведение корней).
6. log 2 2 x – 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 log 3 x 4 =3 (в ответ произведение корней).
7. 2 lg 2 x – 4 lg x + 2 =0
8. -2log 6 2 x + 2 log √6 x +6 =0 (в ответ больший корень).

Решить примеры на введение новой переменной и сведение к квадратному уравнению.

1. 8
2. 9
3. 125
4. 0,001
5. 4
6. 4
7. 0,1
8. 216

Ответы на задания Сведение к квадратному уравнению.

Метод приведения к одному основанию

D(loga) =R+ значит Х >0. Приведем первое и второе слагаемое к основанию 2.
𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝐗 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟏𝟔 𝐥𝐥𝐨𝐨𝐠𝐠 𝟐𝟐 𝐗𝐗 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝐗 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟏𝟔 𝐥𝐥𝐨𝐨𝐠𝐠𝟐𝟐𝟏𝟏𝟔𝟔 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝐗 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟏𝟔 + 𝐥𝐨𝐠𝟐𝐗 𝐥𝟎𝐠𝟐𝟒 𝐥𝐥𝐨𝐨𝐠𝐠𝟐𝟐𝐗𝐗 𝐥𝐨𝐠𝟐𝐗 𝐥𝟎𝐠𝟐𝟒 𝐥𝐥𝟎𝟎𝐠𝐠𝟐𝟐𝟒𝟒 𝐥𝐨𝐠𝟐𝐗 𝐥𝟎𝐠𝟐𝟒 + log 2 X =7
𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝐗 𝟒 𝐥𝐥𝐨𝐨𝐠𝐠 𝟐𝟐 𝐗𝐗 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝐗 𝟒 𝟒𝟒 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝐗 𝟒 + 𝐥𝐨𝐠𝟐𝐗 𝟐 𝐥𝐥𝐨𝐨𝐠𝐠𝟐𝟐𝐗𝐗 𝐥𝐨𝐠𝟐𝐗 𝟐 𝟐𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟐𝐗 𝟐 + log 2 X =7
log2X +2 log2X +4 log2X = 28
7 log2X =28; log2X=4; X=24 =16
16>0 Ответ: 16.

Приведение к одному основанию.log16 X+log4X+log2X =7

1. log 27 64 = log 3 (5x -14)
2. log 32 243 = log 2 (4x -7)
3. log 2 x - log 0,5 x = 4
4. 2 log 4 x + 3 log 8 x = log 2 25
5. log 4 (2-x) =log1625
6. log 3 (12+x) =log81 16
7. log 16 625 = log 4 (5x -3)

Примеры на приведение к одному основанию.

1. 3,6
2. 2,5
3. 4
4. 5
5. - 3
6. - 10
7. 5,6

D(loga) =R+ значит Х >0. Прологарифмируем левую и правую часть по основанию 3.

log3(X log3X) =log381
log3X· log3X = 4 lo
Log3 2 X = 4;g3 log3X=2 и log3X= -2
Х= 32 = 9X ХХ Х= 3 -2 = 𝟏 𝟗 𝟏𝟏 𝟏 𝟗 𝟗𝟗 𝟏 𝟗 Х
Ответ: 𝟏 𝟗 𝟏𝟏 𝟏 𝟗 𝟗𝟗 𝟏 𝟗 ; 9.
81

Логарифмирование обеих частейX log3X =81

1. 5 1-4x = 7 ( В ответе указать номер промежутка, куда попадает корень)
1) (0,25; +∞); 2) ( - ∞; 0,25); 3) ( -0,5; -0,25); 4) ( - ∞; - 0,25).
2. 10 х+2 = 200 ( В ответе указать номер промежутка, куда попадает корень)
1) (0; 1); 2) ( 1; 2 ); 3) ( 2; 3 ); 4) ( 3; 4 ).
3. 2 0,5х = 5 ( В ответе указать номер промежутка, куда попадает корень)
1) ( 1; 2 ); 2) ( 2; 3 ); 3) (3; 4 ); 4) ( 4; 5 ).
4. 3 2-3x = 8 ( В ответе указать номер промежутка, куда попадает корень)
1) (1; +∞); 2) ( - ∞; -1); 3) ( - 1; 1); 4) ( 0,2; +∞).
5. 7 2х = 4 ( В ответе указать номер верного ответа)
1) 2; 2) log 7 2; 3) log 49 2; 4) log 4 7.
6. 0,3 2х = 8 ( В ответе указать номер верного ответа)
1) log 0,3 √𝟖𝟖; 2) log 0,3 2; 3) log 8 0,3; 4) log 8 4.
7. 6 1-x =8 ( В ответе указать номер промежутка, куда попадает корень)
1) ( 1; +∞); 2) ( - ∞; 1); 3) ( - 1; 1); 4) ( - 2; - 1).
8. 2 х = 10 ( В ответе указать номер промежутка, куда попадает корень)
1) ) ( - ∞; 3).; 2) ) ( 4; +∞); 3) ( 3 ; 4 ); 4) ) ( - ∞; 2)/

Решить примеры на логарифмирование обеих частей

1. 2
2. 1
3. 4
4. 3
5. 2
6. 1
7. 2
8. 3

Ответы на примеры по логарифмированию обеих частей.

Функционально-графический метод решения логарифмических уравнений.

Построение на одном чертеже графиков заданных функций и нахождение абсцисс точек пересечения этих графиков.

Решить логарифмические уравнения функционально-графическим методом.

1. 3
2. 2
3. 2
4. 4
5. 3

Ответы на логарифмические уравнения по функционально-графическому методу.