Решение неравенств методом интервалов.

0

Пусть графиком функции y=f(x) является некоторая гладкая кривая:

y=f(x)

Очевидно, что D(f)=E(f)=. Обратим свое внимание на значения аргумента x1 , x2 , x3 , x4 – в этих точках график функции пересекает ось Ох или касается её. Это – так называемые нули функции (ординаты этих точек равны 0, т.е. f(x1)= f(x2)= f(x3)= =f(x4) =0). Аналитически их можно найти, решая уравнение f(x)=0.

0

y=f(x)

Точки x1 , x2 , x3 , x4 разбивают область определения функции D(f) на промежутки знакопостоянства, т.е. промежутки, на которых функция имеет либо положительные значения (f(x)>0), либо отрицательные (f(x)<0). В нашем случае:

f(x)>0, при х(–; х1)(х2; х3) (х3; х4) и

f(x)<0, при х(х1; х2) (х4; +).

Опираясь на эту геометрическую иллюстрацию, мы можем вывести алгоритм решения неравенств, получивший название «метод интервалов».

Методом интервалов можно решить любое неравенство вида: f(x)  0. При решении придерживаются следующей схемы (перепишите её в тетрадь!):

Найти D(f);
Найти нули функции, решая уравнение f(x)=0;
Отметить на D(f) все полученные нули;
Определить знак функции на каждом полученном промежутке;
Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим знаком.

Проиллюстрируем данную схему на нескольких примерах.

Пример 1. Решите неравенство .

Решение. Под функцией f(x) следует понимать выражение в левой части неравенства. Это дробно-рациональная функция.
1) D(f)=, кроме х= – 4; 2 (данные значения обращают знаменатель в нуль) .

2) Найдем нули функции. Значение дроби равно нулю, если числитель этой дроби равен нулю, т.е. х= –1; 3; 7 – нули функции.
3) Обратите внимание, что точки разрыва функции (–4 и 2) всегда на числовой прямой будут пустыми (или «выколотыми»), а нули функции – в зависимости от знака неравенства (если знак неравенства строгий, то точки пустые, если нестрогий, то обычные).

–4

2

–1

3

7

■ на остальных промежутках (двигаемся от крайнего справа промежутка влево) знаки расставляются по правилу: знак по сравнению с предыдущим меняется, если показатель степени линейного множителя нечетный и не изменяется, если показатель степени линейного множителя четный. В нашем случае получается… (см.рис.).

(х–3) (х–7) (х+1)

(х–2) (х+4)

2

3

4

Вышеизложенный метод определения знаков на интервалах по сути опирается на понятие «кратных» корней. Если Вам этот термин не знаком, то можно воспользоваться другим способом:

–4

2

–1

3

7

■ выбирая из каждого промежутка любое значение, подставляют в формулу, задающую данную функцию и определяют по полученной комбинации знак функции на каждом промежутке:

Как Вы можете убедиться – результат расстановки знаков такой же, как в предыдущем способе.

5) Запишем ответ, выбрав промежутки соответствующие знаку неравенства. В нашем случае, знаку «» соответствуют промежутки со знаком «+». Важно не забыть х=3

–4

2

–1

3

7

Ответ: х[–1; 2) и{3}и[7; +).

Пример 2. Решите неравенство .

Решение. Перенесем все в левую часть неравенства: .

1) D(f)=, кроме х= – 1; 1, где f(x)= ;

2) Нулей функции нет, т.к. дискриминант квадратного трехчлена отрицательный;

3)

– 1

1

4) Ответ: х(–1; 1).

Пример 3. Решите неравенство sinx + cos(2x) >1.

Решение. Перепишем неравенство в виде: sinx >1 – cos(2x). Используя формулы половинного аргумента, получим: sinx >2sin2x или 2sin2x – sinx<0.

1) D(f)=, где f(x)=2sin2x – sinx;

3) Расставим полученные нули функции на числовой прямой:

0

Учитывая периодичность функции y=sinx, достаточно ограничиться отрезком длиной 2;

4) Расставим знаки на полученных промежутках;

5) Запишем ответ: