Решение различных задач на движение

Решение текстовых задач о совместном движении нескольких объектов

Основу модели задачи на движение составляет связь трех параметров движения: скорости объекта, времени, затраченного на преодоление пути и пройденного объектом расстояния за обозначенное время; эта связь определяется формулой   и ее следствиями .

Задача на совместное движение нескольких объектов предполагает в решении обязательный учет движения объектов относительно друг друга и рассматривается в зависимости от ситуации движения.

При движении нескольких объектов немаловажную роль играет факт наличия прямо пропорциональной и обратно пропорциональной зависимости между параметрами движения:

Задачи на движение трех объектов

При решении задач на движение трех объектов, рассматриваются возможные пары объектов и, тем самым, решение сводится к использованию общих методов движение двух объектов.

Два охотника вышли навстречу друг другу из леса с двух сторон поляны и оказались на расстояние 450 м друг от друга. Один шёл со скоростью 70 м/мин, другой - 80 м/мин. Собака одного из охотников побежала навстречу к другому. Добежав до него, она вернулась к хозяину, а потом снова бросилась к его другу. Так она продолжала свой бег, пока охотники не встретились. Определите: какое расстояние она пробежала, если бегала со скоростью 12 км/час?

Решение:

Собака находится в пути все время, пока охотники движутся навстречу друг другу.

Скорость сближения охотников 70 + 80 =150 м/мин

Время сближения 450:150 = 3 минуты

Скорость собаки 12 км/ч = 12000 : 60 = 200 м/мин

Путь собаки 200·3 = 600м

Ответ: 600м

Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого – третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Ситуация на трассе на момент начала движения третьего объекта указана на чертеже.

Пусть скорость третьего велосипедиста х км/ч причем х >15, тогда время, потраченное третьем велосипедистом на «догон» второго велосипедиста , на «догон» первого велосипедиста . Составим уравнение на основе разности времен:

Уравнение приводится к виду:

Корни уравнения: 25 и . Второй корень не удовлетворяет условию х > 15.

Ответ: 25 км/ч

Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе с постоянными скоростями в одном направлении. В какой-то момент мотоциклист оказался в 100 м сзади велосипедиста и в 400 м сзади пешехода. Через 6 минут мотоциклист обогнал велосипедиста и еще через 6 минут обогнал пешехода. Через какое время после этого велосипедист обгонит пешехода?

Решение:

Для решения возможно ввести в качестве переменных скорости объектов и искомое время, составить систему, решение которой и приведет к ответу, но я предлагаю воспользоваться нехитрыми рассуждениями, которые позволят решить задачу устно.

Начальный этап ситуации на трассе представим на чертеже. По условию задачи мотоциклист догнал велосипедиста за 6 минут, преодолев разницу в 100 м, значит за следующие 6 минут, он обгонит велосипедиста на те же 100 м и ситуация на трассе будет выглядеть как показана на втором чертеже.

То есть спустя 12 минут после начала движения расстояние между велосипедистом и пешеходом сократится с 300 м до 100м, следовательно велосипедист сократит расстояние между собой и пешеходом на 200м за 12 минут и тогда оставшиеся 100м он наверстает за 6 минут

            Ответ: 6 минут

Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 9 км позади них. А в момент, когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист обогнал пешехода на 3 км. Найти количество километров, на которые пешеход отстал от велосипедиста в тот момент, когда велосипедиста настиг мотоциклист.

Решение:

            При переходе от ситуации, изображенной на первом рисунке к ситуации, изображенной на втором рисунке мотоциклист сократил расстояние между собой и пешеходом на 9 км, а между собой и велосипедистом на 6 км. Тогда, для перехода к ситуации, изображенной на третьем рисунке ему понадобится сократить расстояние между собой и велосипедистом на 3 км. Это займет в 2 раза меньше времени чем предыдущий переход, значит и от пешехода он удалится на расстояние в 2 раза меньше, чем на предыдущем переходе, то есть на 4,5 км

            Ответ: 4,5 км

В 12:00 из пункта А в далекий пункт Б выехал автомобиль «Лада» со скоростью 80 км/ч. В 13:00 вслед за ним выехал «Ниссан» со скоростью 120 км/ч, а в 14:00 вслед за ними выехал «Лексус» со скоростью 120 км/ч. Когда одна из этих трех машин будет ровно посередине между двумя другими?

Решение:

На первом рисунке ситуация на трассе на 14:00. Так как скорости Н и Лек одинаковые, то на протяжении всего пути расстояние между ними не будет меняться. Скорость Л меньше скоростей Н и Лек, следовательно Н и Лек догонят и перегонят Л, тогда Н не сможет оказаться на равном расстоянии от других машин. Значит возможными остаются только следующие варианты:

1.      Л между Н и Лек. Для этого Н обгоняет Л на 60 км.

В момент начала движения между Н и Л 80 км, скорость «догона-обгона» 40 км/ч с этой скоростью необходимо преодолеть 80+60 =140 км, понадобится 3,5 часа. Значит ситуация возникнет через 3,5 часа после выезда Н. 16:30

2.      Лек между Н и Л. Для этого Лек обгоняет Л на 120 км. В момент начала движения между Лек и Л 160 км, скорость «догона-обгона» 40 км/ч с этой скоростью необходимо преодолеть 160+120 =280 км, понадобится 7 часов. Значит ситуация возникнет через 7 часов после выезда Лек. 21:00

Ответ: 16:00, 21:00

Задачи на движение по круговой трассе

Во всех случаях, когда речь идет о первой встрече объектов при движении по круговой и кольцевой трассе решение задачи можно свести к задачам на движение по прямой.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 12 км/ч больше скорости другого?

Решение:

Фактически в задаче один объект догоняет другой объек и следовательно чертеж можно сделать в более привычном виде:

Легко заметить, что первоначальное расстояние между мотоциклистами половина трассы, т.е. 7 км, скорость «догона» = разности скоростей, т. е. числу на которое скорость одного больше скорости другого: 12 км/ч. Искомое время

Ответ: 35 минут

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 25 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 25 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

            Решение:

К задаче удобнее построить привычный чертеж, отметив ситуацию на трассе через 25 минут после старта, при этом «опережал на 1 круг» соответствует «обгону» на длину трассы, т. е. 25 км.

Скорость обгона = 25 км: 25 мин = 1 км/мин = 60 км/ч, следовательно, скорость второго автомобиля 112-60 = 52 км/ч

            Ответ: 52 км/ч

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 20 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Примем за старт ситуацию когда мотоциклисты поравнялись в первый раз, тогда ситуация к моменту второй встречи изображена на чертеже. Скорость «догона» = 1 км/мин

Теперь вернемся к первоначальной ситуации. Второй мотоциклист догнал первого за пять минут, следовательно, первоначальное расстояние между мотоциклистами = 1·5 = 5 км. Первый преодолел это расстояние за 20 минут, следовательно его скорость

  Ответ: 15 км/ч

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 5 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 30 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 10 минут? Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Из ситуации «Обогнал на 1 круг» делаем вывод, что скорость первого гонщика на 30 км/ч больше скорости второго гонщика.

Общая протяженность трассы = 5 *60 = 300 км.

Пусть скорость второго гонщика – х км/ч, тогда скорость первого – (х+30) км/ч. Составим уравнения, используя разницу времен:

Уравнение приводится к виду

Корни уравнения: 120 и -150

Ответ: 120

Автобус и мотоциклист выезжают одновременно из поселка, расположенного на кольцевой дороге. Время, которое затрачивает мотоциклист на то, что бы обогнать автобус при движении в одном направлении, в 3 раза больше времени, которое нужно для того, что бы они встретились при движении в разных направлениях. Найдите скорость автобуса, если скорость мотоциклиста равна 80 км/ч

Решение:

Пусть скорость автобуса х км/ч.

При движении в разных направлениях «скорость сближения» (х+80) км/ч, расстояние до встречи 1 круг

При движении в одном направлении «скорость догона» (80-х) км/ч, расстояние «догона-обгона» 1 круг.

При одинаково заданном расстоянии движения скорость и время являются обратно пропорциональными величинами, следовательно можно составить следующее уравнение:

Второй способ решения:

При движении навстречу автобус и мотоцикл до встречи вместе прошли 1 круг. При движении в одном направлении до встречи они двигались в 3 раза дольше, значит вместе прошли 3 круга, причем мотоцикл прошел на 1 круг больше, следовательно, автобус 1 круг, а мотоцикл 2 круга за одно и тоже время. При равенстве времени, путь и скорость величины прямо пропорциональные, следовательно, скорость автобуса в 2  раза меньше скорости мотоциклиста. 80: 2 = 40

Ответ: 40 км/ч

Отец и сын катаются на коньках по круговой дорожке. Время от времени отец обгоняет сына. Когда сын стал двигаться по кругу в противоположном направлении, они стали встречаться в 5 раз чаще. Во сколько раз отец бегает на коньках быстрее сына?

Решение:

Для решения воспользуемся вторым способом, рассмотренным в предыдущей задаче.

Фраза «Встречаются в пять раз чаще» равносильна фразе «потратить в 5 раз меньше времени»

При движении навстречу до встречи отец и сын вместе прошли 1 круг. При движении в одном направлении до встречи они двигались в 5 раза дольше, значит вместе прошли 5 кругов, причем отец прошел на 1 круг больше, следовательно, сын 2 круга, а отец 3 круга за одно и тоже время. При равенстве времени, путь и скорость величины прямо пропорциональные, следовательно . Скорость отца больше скорости сына в 1,5 раза

Ответ: в 1,5 раза

Три автомобиля одновременно, из одной точки и в одном направлении, выехали по кольцевой трассе. Каждый автомобиль движется с постоянной скоростью. Проехав ровно 6 кругов, первый автомобиль впервые догнал второй, а проехав ровно 8 кругов — третий. Сколько кругов проедут второй и третий автомобили к моменту своей первой встречи?

Решение:

Одним из моментов встречи второго и третьего автомобиля будет момент их общей встречи с первым автомобилем – его легко определить. Первый со вторым встречаются через 6, 12, 18 и т. д. кругов; первый с третьем через 8, 16, 24 и т. д. кругов, значит первый встретится со вторым и третьем через 24 круга. На этот момент первый автомобиль проедет 24 круга, второй – 20 кругов (первый и второй за это время встречались 4 раза, следовательно первый обогнал на 4 круга), третий 21 круг. Третий автомобиль в этот момент обгоняет второй на 1 круг, т. е. это первая встреча второго и третьего автомобилей.

Ответ: 20 и 21 круг

Задачи о движении стрелок часов

Движение стрелок часов – это движение двух объектов по круговой трассе в одном направлении, поэтому решение задач на движение стрелок основывается на положениях изложенных выше. Но так как стрелки – это объекты, имеющие неизменную связь, к общим правилам можно добавить следующие положения:

·         Круговой циферблат разбит на 60 равных делений, поэтому его длина всегда равна 60 делений

·         Скорость движения минутной стрелки в 12 раз больше скорости движения часовой стрелки. Скорость движения минутной стрелки = 1 деление/мин, скорость движения часовой стрелки = деление/мин

·         Минутная стрелка встречается с часовой 1 раз в час

·         За нулевое деление всегда принимаем верхнюю точку циферблата (12 часов)

Для решения задач выведем формулу расчета времени встречи минутной и часовой стрелок для каждого часа:

Пусть часы показывают N часов, тогда минутная стрелка расположена на 12, а часовая на N. Расстояние между минутной и часовой стрелкой 5N делений. Скорость «догона»   деление/мин, встреча произойдет через  минут и за указанное время минутная стрелка пройдет , где

На часах 16:15. Через сколько минут стрелки часов поравняются?

Решение:

Минутная стрелка на этом часе еще не обогнала часовую, значит стрелки часов поравняются после 4:00. Определим по формуле момент их встречи  деления, убираем 15 делений, пройденных минутной стрелкой после ровного часа.

Ответ: минуты

Часы со стрелками показывают 6 часов 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?

Решение:

Минутная стрелка после 6 часов уже обогнала часовую стрелку, значит, первая встреча состоится после 7 часов, а пятая – после 11 часов. Рассчитываем момент встречи  делений, т.е искомая встреча состоится в 11:60, что соответствует времени 12:00. До этого времени минутная стрелка пройдет (5·60 + 25) делений, следовательно, пройдет 325 минут

Ответ: 325 минут

Если мы внимательно посмотрим на формулу, отражающую места встреч стрелок часов , то без сомнения заметим, что целое число делений возможно только при N = 11 и N = 0, оба значения соответствуют точке 12:00. Следовательно, если задача подобная второй из разобранных предполагает ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби (как на ЕГЭ), то нужная встреча стрелок обязательно произойдет в 12:00.