Решение систем линейных уравнений (7 класс - памятка)

Решение систем линейных уравнений

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k₁, k₂, ..., k_n), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x₁, x₂, ..., x_n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1.                  Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто.

2.                  Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение.

3.                  Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений.

Условие определения количества решений системы

1.                  Коэффициенты при переменных в уравнениях не пропорциональны, т.е.  Система имеет единственное решение.

2.                   Коэффициенты при переменных в уравнениях пропорциональны, т.е. , но они не пропорциональны свободным членам, т.е.  или . Система не имеет решений. 

3.                  Коэффициенты при переменных и свободные члены в уравнениях пропорциональны, т.е. , , . Система имеет бесконечно много решений.

Методы решения систем линейных уравнений

1.                  Метод подстановки.

 Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.

2.                  Метод алгебраического сложения.

Пример решения системы методом подстановки и методом сложенияю

3.                  Графический метод.

Графический метод – самый неточный. Графиками которых являются прямые. Ответ записывается как координаты какой-нибудь точки. Нужно построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

1.                  Графики имеют одну точку пересечения – система имеет единственное решение.

2.                  Графики идут параллельно в системе координат – система решений не имеет.

3.                  Графики совпадают в одну прямую – система имеет множество решений.