Решение задач на сплавы и смеси 11 класс

1

При решении задач на сплавы и смеси считают, что сумма масс сплавляемых веществ равна массе получаемого сплава, что сумма масс вещества, входящего в сплавы равна массе этого вещества в полученном сплаве.

2

1. Имеется уксусный раствор массой 1,5 кг, содержащий 40 % уксуса. Сколько килограммов воды нужно добавить в раствор, чтобы новый раствор содержал 10 % уксуса?
Как получена концентрация в первом и втором растворе? Массу уксуса m поделили на массу раствора и умножили на 100 % (M — новая масса раствора). Сравним результаты:
𝑚 ∙100 % 1,5 𝑚𝑚 ∙100 % 𝑚 ∙100 % 1,5 1,5 𝑚 ∙100 % 1,5 = 40 % и 𝑚 ∙100 % 𝑀 𝑚𝑚 ∙100 % 𝑚 ∙100 % 𝑀 𝑀𝑀 𝑚 ∙100 % 𝑀 = 10 %. Второй результат в 4 раза меньше, значит, M в 4 раза больше, чем 1,5.

3

1. Имеется уксусный раствор массой 1,5 кг, содержащий 40 % уксуса. Сколько килограммов воды нужно добавить в раствор, чтобы новый раствор содержал 10 % уксуса?
Решение. I способ.
1) 40 : 10 = 4 (раза) — во столько раз уменьшилась концентрация уксуса в растворе и увеличилась масса раствора,
2) 1,5 ∙ 4 = 6 (кг) — масса нового раствора,
3) 6 – 1,5 = 4,5 (кг) — воды надо добавить.

4

1. Имеется уксусный раствор массой 1,5 кг, содержащий 40 % уксуса. Сколько килограммов воды нужно добавить в раствор, чтобы новый раствор содержал 10 % уксуса?
II способ. 1) 0,4 ∙ 1,5 = 0,6 (кг) — масса уксуса в первом растворе. Пусть добавили x кг воды. Составим уравнение:
0,1 ∙ (1,5 + x) = 0,6.
Оно имеет единственный корень 4,5. Значит, надо добавить 4,5 кг воды.
Ответ. 4,5 кг.

5

2. В сосуд, содержащий 7 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Определите процентную концентрацию того же вещества в новом растворе.
Решение. I способ. 7 л раствора содержится 0,15 ∙7 = 1,05 (л) вещества. Этот объём от 7 + 8 = 15 л составляет 1,05 ∙100 % 15 1,05 ∙100 % 1,05 ∙100 % 15 15 1,05 ∙100 % 15 = 7 %.
II способ. Объём вещества не изменился. Во сколько раз увеличился объём раствора (примерно в 2 раза), во столько раз (примерно в 2 раза) уменьшилась концентрация вещества в нём.

6

2. В сосуд, содержащий 7 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Определите процентную концентрацию того же вещества в новом растворе.
1) (7 + 8) : 7 = 15 7 15 15 7 7 15 7 (раз) — во столько раз увеличился объём раствора,
2) 15 : 15 7 15 15 7 7 15 7 = 7 (%) — новая концентрация вещества в растворе.
Ответ. 7 %.

7

3. Имеется два сплава. Первый содержит 25 % никеля, второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 28 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение. Пусть масса первого сплава x кг, второго (150 – x) кг, третьего — 150 кг. Найдём массу никеля в каждом из трёх сплавов. Никеля было в первом сплаве 0,25x кг, во втором — 0,3(150 – x) кг, в третьем — 0,28 ∙ 150 = 42 (кг). Составим уравнение:
0,25x + 0,3(150 – x) = 42.

8

3. Имеется два сплава. Первый содержит 25 % никеля, второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 28 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
0,25x + 0,3(150 – x) = 42.
Решив полученное уравнение, получим его единственный корень 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 = 60. Теперь ответим на вопрос задачи. Масса первого сплава 60 кг, масса второго сплава 90 кг, первая меньше второй на 30 кг.
Ответ. На 30 кг.

9

4. Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 14 % меди. Масса второго сплава больше массы первого сплава на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Найдите массу третьего сплава.
Решение. Пусть масса первого сплава x кг, второго (x + 7) кг, третьего — (2x + 7) кг. Меди было в первом сплаве 0,05x кг, во втором — 0,14(x + 7) кг, в третьем — 0,1(2x + 7) кг. Составим уравнение:
0,05x + 0,14(x + 7) = 0,1(2x + 7).

10

4. Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 14 % меди. Масса второго сплава больше массы первого сплава на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Найдите массу третьего сплава.
0,05x + 0,14(x + 7) = 0,1(2x + 7).
Решив его, получим его единственный корень 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 = 28.
При x = 28 масса третьего сплава 2x + 7 равна 63 кг.
Ответ. 63 кг.

11

5. Смешав 70 %-й и 60 %-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 %-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 %-го раствора той же кислоты, то получили бы 70 %-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 %-го раствора кислоты использовали для получения смеси?
Решение. Пусть масса первого сплава x кг, второго (x + 7) кг, третьего — (2x + 7) кг. Найдём массу меди в каждом из трёх сплавов. Меди было в первом сплаве 0,05x кг, во втором — 0,14(x + 7) кг, в третьем — 0,1(2x + 7) кг. Составим уравнение: 0,05x + 0,14(x + 7) = 0,1(2x + 7).

12

5. Смешав 70 %-й и 60 %-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 %-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 %-го раствора той же кислоты, то получили бы 70 %-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 %-го раствора кислоты использовали для получения смеси?
Решение. Пусть масса первого раствора x кг, второго y кг. Приравняв массы кислоты до смешивания и после смешивания, составим два уравнения:
0,7x + 0,6y = 0,5(x + y + 2),
0,7x + 0,6y + 0,9 ∙2 = 0,7(x + y + 2).

13

5. Смешав 70 %-й и 60 %-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 %-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 %-го раствора той же кислоты, то получили бы 70 %-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 %-го раствора кислоты использовали для получения смеси?
…Решив систему этих двух уравнений, получим её единствен-ное решение: 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 = 3, 𝑦 1 𝑦𝑦 𝑦 1 1 𝑦 1 = 4. Использовали 3 кг 70 %-го раствора кислоты.
Ответ. 3 кг.

14

6. Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 50 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 28 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Решение. Пусть в первом сосуде содержится x % кислоты, а во втором — y %. Составим первое уравнение:
𝑥 100 𝑥𝑥 𝑥 100 100 𝑥 100 ∙100 + 𝑦 100 𝑦𝑦 𝑦 100 100 𝑦 100 ∙50 = 0,28 ∙ (100 + 50),
x + 0,5y = 42. (1)

15

6. Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 50 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 28 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
…Для второго смешивания возьмём 1 кг первого раствора и 1 кг второго, получим 2 кг смеси. Составим второе уравнение:
𝑥 100 𝑥𝑥 𝑥 100 100 𝑥 100 ∙1 + 𝑦 100 𝑦𝑦 𝑦 100 100 𝑦 100 ∙1 = 0,36 ∙ 2,
x + y = 72. (2)

16

6. Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 50 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 28 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
…Решив систему уравнений (1) и (2), получим её единственное решение: 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 = 12, 𝑦 1 𝑦𝑦 𝑦 1 1 𝑦 1 = 60.
В первом сосуде содержится 𝑥 100 𝑥𝑥 𝑥 100 100 𝑥 100 ∙100 = 12 (кг) кислоты.
Ответ. 12 кг.

17

7. Имеется 400 г морской воды, содержащей 4 % соли. Сколько граммов чистой воды нужно добавить в эту морскую воду, чтобы новый раствор содержал 2 % соли?
8. (2016) В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Определите процентную концентрацию того же вещества в новом растворе.
9. (2009) В бидон налили 4 литра молока трёхпроцентной жирности и 6 литров молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?.

18

10. (2017) Имеется два сплава. Первый содержит 5 % никеля, второй — 20 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 15 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
11. (2017) Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 11 % меди. Масса второго сплава больше массы первого сплава на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Найдите массу третьего сплава.
Ответы. 7. 400 г. 8. 16 %. 9. 4,8 %. 10. На 75 кг. 11. 6 кг.
На экзамене в ответе пишем одно число: 7. 400. 8. 16...