Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений. 8 класс

Наглядность и оборудование.

Проектор, экран, компьютер.
Раздаточный материал: алгоритм решения дробно-рациональных уравнений, задачи.
Памятки решения квадратных уравнений.
Таблица квадратов.

Организация урока.

Подготовка учащихся к работе на уроке.
Приветствие.
Раскрытие темы урока.
Подготовка к активной умственной деятельности на основном этапе урока.
Контроль и самопроверка знаний.
Подведение итогов урока.

Цели урока.

Цели урока.

Пожелания учащимся.

1. Увеличить объем своих знаний на уроке.
2. Смело высказывать свое мнение, приводить свои способы решения задач, сомневаться, и даже ошибаться в чем-то.
3. Сделать себе установку: « Я все могу, все решу».

Эпиграф урока

« Знание только тогда знание,
когда оно приобретено усилиями
своей мысли, а не памятью»

Л.Н. Толстой

Проверка внимания

На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках?
Двое играли в шашки четыре часа. Сколько часов играл каждый из них?
Экипаж, запряженный тройкой лошадей, проехал за один час 15 км. С какой скоростью бежала каждая лошадь?

Повторение

Уравнение вида
ax2+bx+c=0, где a≠0

называют квадратным уравнением.
Если а=1, то уравнение называют
приведенным квадратным уравнением.

Повторение решения квадратных уравнений.

Теорема Виета.

Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

Применение теоремы Виета.

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x2 + рx + q = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x1 и x2. В этом случае верны следующие утверждения:
1)x1 + x2 = −р. Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком;
2)x1 · x2 = q. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

Решите квадратные уравнения.

1) x2 − 9x + 14 = 0;
2) x2 − 12x + 27 = 0;
3) 3x2 + 33x + 30 = 0;
4) −7x2 + 77x − 210 = 0.

Ответы.

1) x1 = 2; x2 = 7;
2) x1 = 3; x2 = 9;
3) x1 = −10; x2 = −1;
4) x1 = 5; x2 = 6.

Решение квадратного уравнения по формуле.

Решите задачи.

Задача №1. Из города А в город В расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго. Поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорости велосипедистов.
Задача №2. Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в пункт В на 1час раньше, чем второй в пункт А.Найти скорости пешеходов, если расстояние между пунктами А и В равно 20 км.
Задача №3. Катер собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км, по течению и такое же расстояние против течения. Найти скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорость велосипедистов.

Условие

А

В

120 км

Решение

Пусть х км/ч – скорость второго велосипедиста

Известно, что второй велосипедист прибыл в город В раньше на 2 ч, чем первый.

А

В

120 км

Решение

Составим и решим уравнение:

Умножим обе части этого уравнения на x(x+3)

Число -15 противоречит смыслу задачи
Если х=12, то х(х+3)≠0, верно
12 км/ч – скорость второго велосипедиста
15 км/ч – скорость первого велосипедиста

Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в пункт В на 1 ч раньше, чем второй в пункт А. Найдите скорости пешеходов, если расстояние между пунктами А и В равно 20 км.

Условие

А

В

Решение

По условию задачи время движения первого пешехода на 1 ч меньше времени движения второго.

А

В

Решение

Составим и решим уравнение:

Число -5 противоречит смыслу задачи
Если х=4, то х(х+1)≠0, верно
4 км/ч – скорость второго пешехода
5 км/ч – скорость первого пешехода

Физкультминутка.

Упражнение стоя.
Поднять руки вверх, отводя ногу назад.
Сделать вдох.
Вернуться в исходное положение.
Выдох.
Тоже самое другой ногой.

Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошёл по реке расстояние, равное 15 км, по течению и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Условие

Решение

Известно, что время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Пусть х км/ч – скорость течения реки.

Решение

Составим и решим уравнение:

Число -2 противоречит смыслу задачи
Если х=2, то (8-х)(8+х)≠0, верно
2 км/ч – скорость течения реки

Условие

Расстояние между пристанями по реке равно 21 км. Моторная лодка отправилась от одной к другой и через 4 ч вернулась назад, затратив 24 мин. на стоянку. Найти собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение

По условию задачи время, затраченное моторной лодкой на весь путь по реке, равно

Пусть х км/ч – собственная скорость моторной лодки.

Решение

Составим и решим уравнение:

Число противоречит смыслу задачи
Если х=12, то (х-2)(х+2)≠0, верно
12 км/ч – собственная скорость моторной лодки

Решение задач с самопроверкой.

Задачи на карточках.
Составить уравнения к условиям задач.

Карточки.

Задача №1. Моторная лодка прошла против течения 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20мин. меньше, чем при движении против течения. Найти скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Задача №2.Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 90 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 5 часов 24 минуты позже автомобилиста.
Задача №3. Два автомобиля отправляются в 420- километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1час раньше второго. Найти скорость автомобиля, пришедшего к финишу вторым.

Подведение итогов урока.

Что больше всего понравилось на уроке?
Какая задача больше всего понравилась?
Выставление оценок.

Домашнее задание.

Составить карточку- задание из двух задач на дробно- рациональное уравнение.
Решить ее дома.

Литература.

Задачи по математике для внеклассной работы в 5-7 классах.Пособие для учителя. Сост.В.Ю.Сафонова. Под редакцией Д.Б. Фукса, А.Л.Гавронского.М;МИРОС,1993.
Алгебра.8 класс.учеб.для общеобр.учр. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова.Под редакцией С.А. Теляковского.
100 логических задач. Пособие для учителей математики.Т амбовский гос. универ. К.А. Рупасов.
Учебные сайты.