Решение заданий из части 2 профильного экзамена по математике.

2. Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

Решение.
Пусть ОМ = ОN = R – радиус большого шара, ОР = ОК = r – радиус малого шара.
Sб. сеч.= 7 ⇒ SK2 = 7/π
Sм. сеч.= 5 ⇒ PN2 = 5/π
В п/у ∆NOP:
PN2 = ON2 – OP2 = R2 – r2 = 5/π
В п/у ∆KOS:
SO2 = OK2 – SK2 = r2 – SK2 =
= r2 – 7/π
В п/у ∆MOS:
SM2 = OM2 – SO2 = R2 – SO2 =
= R2 – (r2 – 7/π) = R2 – r2 + 7/π =
= 5/π + 7/π = 12/π
Sсеч. = π · SM2 = π · 12/π = 12.

Решить самостоятельно
1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1 С 1D1 найдите угол между прямой АВ 1 и плоскостью АА 1 С, если АА 1= 3, А 1 В 1= 4, В 1 С 1= 6.

2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основание АВС известны ребра: АВ = 5 3 ,SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через
середины ребер AS и ВС.

3. Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребром 6 . Найдите расстояние от середины ребра А 1 В1 до прямой МТ, где точки М и Т – середины ребер AD и CD соответственно.

4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки. Е и F - середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.