Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

1. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.  Дано: окружность, вписанный угол  АВС.  Найти: градусную меру угла АВС.  Решение: 1. Для того чтобы найти величину   угла АВС, необходимо найти  градусную меру дуги АС.       АС , так как вписанный   АВС =  угол равен половине дуги на которую  опирается. О 2. Дополнительные построения: отрезки  ОА и ОС.  О и  В опираются на одну и ту же дугу  АС. Но  О – центральный =>  О =     АС ,  так как центральный угол равен дуге на  которую опирается. 3. Дополнительные построения:     отрезок АС.  Рассмотрим  (АО=ОС=r).  АОС – равнобедренный  4. Дополнительные построения: отрезок   ОН   АС.  Так как    АОС  – равнобедренный (п 3.),  то  ОН является и медианой: АН=НС=2ед и биссектрисой:   АОН =   СОН.  АОН – прямоугольный       5. Рассмотрим  (ОН  (АН=ОН=2ед).   АС) и равнобедренный   НАО =   АОН как углы при основании в  равнобедренном треугольнике. Но сумма острых углов прямоугольного  треугольника равна 90°, значит                    НАО =   АОН = 45° О О Н О 45° 45° Н 6.   О =   АОН +  НОС = 45° + 45° = 90° 6.   О = 90°,  =>    АС = 90° 6.    АС = 90°,  =>    АВС =        АС = 45 °. 45° О 45° 45° Н О 90° 90° 90° Ответ:  АВС = 45°. 2.  В  АВС – равнобедренный,        Дано:  АС – основание, АВ = ВС = 14, В    , ВН   АС. 14 ? Найти: ВН. A НС Решение: В 14 A Н 1. Рассм.  ВН   АС ,       АВ = 14,   АВН – прямоугольный     , но                Тогда                = АН =  = > 2. Далее, по теореме Пифагора:   АН2 + ВН2 = АВ2,         + ВН2 = 142  ;  2 ВН2 = 196 – 195;    ВН = 1. Ответ: ВН = 1. 3   В  АВС – прямоугольный, Дано:   С = 90°,   А = 60°, СН  АВ = 4.  АВ,          Найти: АН. 4 Н ? 60° A С В     Решение:     1. Рассмотрим  АВС­ прямоугольный по усл.,  С=90°.         30° В нем: АВ=4,  А=60°  =>     4         В=30° (по сумме острых углов прямоугольного      треугольника).                     60° Тогда АС =     АВ = 2 A С 2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 В нем: АС=2,  А=60°  => 2. Рассмотрим  АВН­ прямоугольный по усл., Н – высота.                         АВН=30° (по сумме острых углов прямоугольного      треугольника). Н         Тогда АН =     АС = 1     60° 30° A     С 2     Ответ: АН = 1.     4.  № 27916. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около  окружности, радиус которой равен                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          . Е D О С F Н ?AВ                           Решение: 1. Проведем радиус окружности ОН  АВ  (как радиус окружности к касательной). Н1 DЕ D О F С AНВ ? 2. НН1 = 2 ОН                                             (НН1 – диаметр, ОН – радиус). 3. AE = HH1 = 2 . 4. Рассмотрим  АFE.                                   В нем: угол  F = 120° ( как угол  правильного шестиугольника ).  Применим теорему косинусов:  Е 120° FС 2 ?AВ 5. Ответ : 2. ЕD О ? A В 90° ЕD A х°(90 – х)° В С Дано:   АВС –  прямоугольный,  С = 90°, АD и ВЕ –  биссектрисы,                АD ∩ ВЕ= О Найти: острый угол  между биссектрисами  острых углов. Т.е.   АОЕ. Решение:   АВС –  1.  прямоугольный,  С = 90° (по усл).  Пусть   А = х°, тогда  В = (90 – х)° (по  теореме о сумме острых углов прямоугольного  треугольника). 90° ЕD О ? A В ЕD О ? 135° A В 2. Так как АD и ВЕ –  биссектрисы (по усл.), то  ОАВ =       , а       ОВА =                .   3. Тогда  по теореме о  сумме углов треугольника  (для треугольника АОВ):  АОВ = 180° –      –   АОВ =  АОВ =  АОВ =135°. 4.   АОЕ – смежный с        АОВ =135°. Значит,  АОЕ = 180° – 135° = 45°. Ответ:   АОЕ = 45°. 6. Дано:   АОВ  Найти:    АОВ В Решение:  1. Достроим до прямоугольного   А = 90°.   АОВ, АОВ =  2.  Где АВ = 4, ОВ найдем из  прямоугольного  Пифагора: ОВ2 = АВ2 + ОА2 ; ОА = 4;  АОВ по теореме  ОВ2 = 42 + 42; ОВ2 = 32; ОВ = ±           . ОВ>0; ОВ =           = 4       . АОВ =         =        . 3.  4. В ответе надо указать значение  синуса, умноженное на 2        ,         • 2       = 2. Ответ:2. 7. Дано:   АОВ  Найти:    АОВ Решение:  1. Достроим до   АОВ. 2.Рассмотрим   АОВ. М 3. АВ – гипотенуза прямоугольного  треугольника АВМ. По теореме Пифагора  АВ2 = ВМ2 + АМ2, где ВМ = 3, АМ = 1.  АВ2 = 32 + 12; АВ2 = 10; АВ >0; АВ =        . N 3. ОВ – гипотенуза прямоугольного  треугольника ОNВ. По теореме Пифагора ОВ2  = ВN2 + ОN2, где ВN = 1, ОN = 3.  ОВ 2 = 12 + 32; ОВ2 = 10; ОВ >0; ОВ =         .  4.   АОВ – равнобедренный, АВ = ОВ =         . 5. Найдем АО из прямоугольного треугольника  АОS по теореме Пифагора:  АО2 = АS2 + OS2 ; где АS = 2, OS = 4. АО2 = 22 + 42;  АО2 = 20; АО >0; АО =         ,   S АО =          . 6. Проведем высоту ВН в равнобедренном  треугольнике ОВА и получим  прямоугольный треугольник ОВН,  ВНО = 90°. В нем: ОВ =           (см п.3),  ОН =         =           =         , т.к. ВН –  высота и медиана равнобедренного  ( по свойству равнобедренного  треугольника).  АОВ  Н Н Н  НОВ – прямоугольный. В нем: ОВ =           7.  (см п.3), ОН =        (см п.6). Найдем ВН по теореме Пифагора:  ВН2 = ОВ2 – OН2 ;  ВН 2 =         2 –      2;  ВН 2 = 5; ВН >0;  ВН =       .   8.  АОВ =  АОВ =          =            =        .    9. В ответе надо указать значение  синуса, умноженное на           , тогда          •          = 2. Ответ: 2. В В В 8. 10 10 С A К 10 10 М С РA К 10 10 М С A Р  АВС – равнобедренный,        Дано:  АС – основание, АВ = ВС = 10,    Р € АС, РМ‖АВ, КРǁВС Найти: РКВМР. ? Решение: 1.   А =   С (как углы при основании  равнобедренного треугольника). 2.   МРС =   С (как соответственные при  пересечении параллельных прямых АВ и РМ   РМС – равнобедренный. секущей АС)   => В К 10 10 М С A Р х 10 – х   10 К 10 М хх С A Р  РМС – равнобедренный,   МРС =    3. Т.к.   С,  РМ = МС. 4. КВМР – параллелограмм (по усл),    => =>  РМ =КВ и КР = ВМ. В 5. Пусть КВ = х, (РМ = МС  = х ),  тогда        ВМ = 10 – х ,  (КР = ВМ = 10 – х). 6. РКВМР = 2• (КВ + ВМ); РКВМР = 2• (х + 10 – х); РКВМР = 2• 10 = 20. Ответ: 20. 9.  Дано: АВСD –  прямоугольник  РАВСD = 28, АС  ОН   АD, ОG   ∩ ВD = О,      АВ  ОН < ОG на 1 Решение:  АОВ –  1. Рассм.  равнобедр. (АО = ОВ по  свойству диагоналей  прямоугольника) 2. ОG – высота в равнобедр.  АОВ и медиана (по  свойству равнобедренного  треугольника) => АG = GB  и ОН =      АВ. 3. Аналогично, рассмотрев    АОD – равнобедренный  (АО = ОD по свойству  диагоналей прямоугольника)  4. ОН – высота в равнобедр.  АОВ и медиана (по  свойству равнобедренного  треугольника) => АН = НD и х + 1 3 3 х 3 5. Пусть ОG = х, тогда    ОН = х + 1, тогда   ОН + ОG = 7, так как РАВСD = 28; РАВСD = 2 • (АВ + АD); 2 • (АВ + АD) = 28;      :2 АВ + АD = 14. Зная, что ОН =      АВ  и   ОG =      АD, получим 2ОН + 2ОG = 14;     :2 ОН + ОG = 7. 6. ОН + ОG = 7;      х + 1 + х = 7;    2х = 6;     :2    х = 3. Значит, ОG = 3, тогда   АD = 3•2 = 6. Ответ: 6. 10.  Дано: АВСD – равнобедренная  трапеция, АВ и СD – основания,   АD = ВС  СЕ   АВ, АЕ = 10, ВЕ = 4 Найти: среднюю линию трапеции. Решение: 1. Средняя линия трапеции –  отрезок, соединяющий средины  боковых сторон. MN – средняя  линия. Найти: MN. 2. MN =      ( АВ + СD) . 3. АВ = АЕ + ВЕ,   где АЕ = 10,    ВЕ = 4 (по усл).  АВ = 10 + 4 = 14. 10 10 М 4 N 4 АВ  и  4. Проведем  СН  рассмотрим   АНD и  прямоугольные (СЕ   АВ  по постр.) СН   ВСЕ –   АВ по усл.,  а) АD = ВС (по усл.); б) DН = СЕ (как отрезки              4 перпенд., заключенные между  параллельными прямыми)  = >  АНD =  =>  => АН = ВЕ = 4.  ВСЕ, =>                    10 + 4 Н 10 6 5. АН = 4 (см п.4), АЕ = 10, тогда   НЕ = АЕ – АН = 10 – 4 = 6. 6. СD = НЕ = 6   (как отрезки    перпенд., заключенные между  параллельными прямыми)  4 6 4 Н 10 М 6 14 7. MN =      ( АВ + СD) ,  где         АВ = 14 (см п.3), CD = 6 (см п.6); N MN =      ( 14 + 6) = 10. Ответ: 10. 11.  60° 12 Дано: АВСD – равнобедренная  трапеция, АВ и СD – основания, АВ =  12,       АD = ВС, АD = ВС = СD,   А =  60°  Найти: радиус описанной окружности. Решение: 1. Радиус описанной окружности –  отрезок, соединяющий любую точку  окружности с ее центром. 120° 120° 60° 60° 30° 120° 30° 60° 2.   А =   В = 60° ( как углы при  основании в равнобедренной трапеции). 3.   А =   D = 120° (как углы,  прилежащие к одной стороне трапеции). 4.   D =   С = 120° ( как углы при  основании в равнобедренной трапеции). 5. Доп. построение: DВ. Рассмотрим     DСВ – равнобедренный (DC = СВ по  условию),   С = 120°, тогда                       СDВ =   СВD = (180° – 120°): 2 = 30° (как углы при основании в равнобедр.  треугольнике и по сумме углов  треугольника) 30° 120° 60° 6.   D = 120° (см п.3)   и                         СDВ = 30° (см п.5),  тогда                   D = 120° – 30° = 90°. 90° d  7.   АDВ = 90° (см п.6)   и он  вписанный => он опирается на  полуокружность. Значит, АВ –  диаметр окружности. АВ = d = 12 (по усл) r = 6 О d = 12 8.  АВ = d = 12 (см п.7) r =     d =     • 12 = 6. Ответ: 6. 12.  Дано: АВС –  прямоугольный  равнобедренный  треугольник,   С = 90°,          АВ = АС =   Найти: радиус окружности,  вписанной в треугольник. Н 1. АВС – прямоугольный  равнобедренный (по усл),   С = 90°.                                2. Проведем из вершины  прямого угла С высоту СН  (медиану) к стороне АВ.    СН   АВ.   АН = НВ = СН (как радиусы описанной окружности). 3. На СН должен  находиться центр вписанной окружности. 4. Проведем перпендикуляр  из точки касания Т:   ТО  СВ.     Проведем перпендикуляр из  точки касания Р:   РО   СА.  5. ОТ = ОР = ОН (как  радиусы вписанной  окружности). 6. Рассмотрим квадрат  РОТС  (ТО   СВ,  РО   СА,   РО = ОТ = ТС = РС = r). 7. Из прямоугольного  треугольника РОС найдем  ОС по теореме Пифагора: ОС2 = ОР2 + РС2; ОС2 = r2 + r2); ОС2 = 2 r2;     ОС >0; ОС =  Н r O r Т r Р Н Т r r O r Р r 8. СН = СО + ОН, где  СО =          (см п.7)   и        ОН = r  (см п.5). СН =          + r . 9. АС = АР + РС, где  АС =                   (по усл.)   и   РС = r    (см п.6). А Р = АС – РС ; А Р =               – r . Н r O Н ­r O Р r ­r 10. АР = АН =                     (как отрезки касательных  проведенных из одной точки  А к окружности).   ­r 11. АН = НС =                     (см п.2).   Н ­r Н ­r ­r O Р ­r Н ­r +r 12. С одной стороны,  ­r НС =                                          (см п.11).   С другой стороны, СН =          + r                          (см п.8).   Приравняем правые части:              + r  =                   ; ­r              + r  + r –        –  2  = 0;              + 2 r –         – 2  = 0;     r (        + 2) – (        + 2) = 0;     (       + 2) (r – 1) = 0;             + 2 ≠ 0;        r – 1 = 0;         r = 1.      Ответ: 1.