Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.
Оценка 4.8

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Оценка 4.8
Раздаточные материалы
doc
математика
11 кл
30.04.2017
Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.
Решение геометрических задач ЕГЭ по математике методом поэтапного моделирования. В данном документе проводится разбор некоторых задач по геометрии, рассматривая и поясняя каждый этап решения задачи. Всего разобрано 12 задач разного типа. Для наглядности геометрические чертежи выполнены с помощью разных цветов.Решение геометрических задач ЕГЭ по математике методом поэтапного моделирования.
Решение геометрических задач в ЕГЭ по математике..doc
1. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.  Дано: окружность, вписанный угол  АВС.  Найти: градусную меру угла АВС.  Решение: 1. Для того чтобы найти величину   угла АВС, необходимо найти  градусную меру дуги АС.       АС , так как вписанный   АВС =  угол равен половине дуги на которую  опирается. О 2. Дополнительные построения: отрезки  ОА и ОС.  О и  В опираются на одну и ту же дугу  АС. Но  О – центральный =>  О =     АС ,  так как центральный угол равен дуге на  которую опирается. 3. Дополнительные построения:     отрезок АС.  Рассмотрим  (АО=ОС=r).  АОС – равнобедренный  4. Дополнительные построения: отрезок   ОН   АС.  Так как    АОС  – равнобедренный (п 3.),  то  ОН является и медианой: АН=НС=2ед и биссектрисой:   АОН =   СОН.  АОН – прямоугольный       5. Рассмотрим  (ОН  (АН=ОН=2ед).   АС) и равнобедренный   НАО =   АОН как углы при основании в  равнобедренном треугольнике. Но сумма острых углов прямоугольного  треугольника равна 90°, значит                    НАО =   АОН = 45° О О Н О 45° 45° Н 6.   О =   АОН +  НОС = 45° + 45° = 90° 6.   О = 90°,  =>    АС = 90° 6.    АС = 90°,  =>    АВС =        АС = 45 °. 45° О 45° 45° Н О 90° 90° 90° Ответ:  АВС = 45°. 2.  В  АВС – равнобедренный,        Дано:  АС – основание, АВ = ВС = 14, В    , ВН   АС. 14 ? Найти: ВН. A НС Решение: В 14 A Н 1. Рассм.  ВН   АС ,       АВ = 14,   АВН – прямоугольный     , но                Тогда                = АН =  = > 2. Далее, по теореме Пифагора:   АН2 + ВН2 = АВ2,         + ВН2 = 142  ;  2 ВН2 = 196 – 195;    ВН = 1. Ответ: ВН = 1. 3   В  АВС – прямоугольный, Дано:   С = 90°,   А = 60°, СН  АВ = 4.  АВ,          Найти: АН. 4 Н ? 60° A С В     Решение:     1. Рассмотрим  АВС­ прямоугольный по усл.,  С=90°.         30° В нем: АВ=4,  А=60°  =>     4         В=30° (по сумме острых углов прямоугольного      треугольника).                     60° Тогда АС =     АВ = 2 A С 2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 В нем: АС=2,  А=60°  => 2. Рассмотрим  АВН­ прямоугольный по усл., Н – высота.                         АВН=30° (по сумме острых углов прямоугольного      треугольника). Н         Тогда АН =     АС = 1     60° 30° A     С 2     Ответ: АН = 1.     4.  № 27916. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около  окружности, радиус которой равен                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          . Е D О С F Н ?AВ                           Решение: 1. Проведем радиус окружности ОН  АВ  (как радиус окружности к касательной). Н1 DЕ D О F С AНВ ? 2. НН1 = 2 ОН                                             (НН1 – диаметр, ОН – радиус). 3. AE = HH1 = 2 . 4. Рассмотрим  АFE.                                   В нем: угол  F = 120° ( как угол  правильного шестиугольника ).  Применим теорему косинусов:  Е 120° FС 2 ?AВ 5. Ответ : 2. ЕD О ? A В 90° ЕD A х°(90 – х)° В С Дано:   АВС –  прямоугольный,  С = 90°, АD и ВЕ –  биссектрисы,                АD ∩ ВЕ= О Найти: острый угол  между биссектрисами  острых углов. Т.е.   АОЕ. Решение:   АВС –  1.  прямоугольный,  С = 90° (по усл).  Пусть   А = х°, тогда  В = (90 – х)° (по  теореме о сумме острых углов прямоугольного  треугольника). 90° ЕD О ? A В ЕD О ? 135° A В 2. Так как АD и ВЕ –  биссектрисы (по усл.), то  ОАВ =       , а       ОВА =                .   3. Тогда  по теореме о  сумме углов треугольника  (для треугольника АОВ):  АОВ = 180° –      –   АОВ =  АОВ =  АОВ =135°. 4.   АОЕ – смежный с        АОВ =135°. Значит,  АОЕ = 180° – 135° = 45°. Ответ:   АОЕ = 45°. 6. Дано:   АОВ  Найти:    АОВ В Решение:  1. Достроим до прямоугольного   А = 90°.   АОВ, АОВ =  2.  Где АВ = 4, ОВ найдем из  прямоугольного  Пифагора: ОВ2 = АВ2 + ОА2 ; ОА = 4;  АОВ по теореме  ОВ2 = 42 + 42; ОВ2 = 32; ОВ = ±           . ОВ>0; ОВ =           = 4       . АОВ =         =        . 3.  4. В ответе надо указать значение  синуса, умноженное на 2        ,         • 2       = 2. Ответ:2. 7. Дано:   АОВ  Найти:    АОВ Решение:  1. Достроим до   АОВ. 2.Рассмотрим   АОВ. М 3. АВ – гипотенуза прямоугольного  треугольника АВМ. По теореме Пифагора  АВ2 = ВМ2 + АМ2, где ВМ = 3, АМ = 1.  АВ2 = 32 + 12; АВ2 = 10; АВ >0; АВ =        . N 3. ОВ – гипотенуза прямоугольного  треугольника ОNВ. По теореме Пифагора ОВ2  = ВN2 + ОN2, где ВN = 1, ОN = 3.  ОВ 2 = 12 + 32; ОВ2 = 10; ОВ >0; ОВ =         .  4.   АОВ – равнобедренный, АВ = ОВ =         . 5. Найдем АО из прямоугольного треугольника  АОS по теореме Пифагора:  АО2 = АS2 + OS2 ; где АS = 2, OS = 4. АО2 = 22 + 42;  АО2 = 20; АО >0; АО =         ,   S АО =          . 6. Проведем высоту ВН в равнобедренном  треугольнике ОВА и получим  прямоугольный треугольник ОВН,  ВНО = 90°. В нем: ОВ =           (см п.3),  ОН =         =           =         , т.к. ВН –  высота и медиана равнобедренного  ( по свойству равнобедренного  треугольника).  АОВ  Н Н Н  НОВ – прямоугольный. В нем: ОВ =           7.  (см п.3), ОН =        (см п.6). Найдем ВН по теореме Пифагора:  ВН2 = ОВ2 – OН2 ;  ВН 2 =         2 –      2;  ВН 2 = 5; ВН >0;  ВН =       .   8.  АОВ =  АОВ =          =            =        .    9. В ответе надо указать значение  синуса, умноженное на           , тогда          •          = 2. Ответ: 2. В В В 8. 10 10 С A К 10 10 М С РA К 10 10 М С A Р  АВС – равнобедренный,        Дано:  АС – основание, АВ = ВС = 10,    Р € АС, РМ‖АВ, КРǁВС Найти: РКВМР. ? Решение: 1.   А =   С (как углы при основании  равнобедренного треугольника). 2.   МРС =   С (как соответственные при  пересечении параллельных прямых АВ и РМ   РМС – равнобедренный. секущей АС)   => В К 10 10 М С A Р х 10 – х   10 К 10 М хх С A Р  РМС – равнобедренный,   МРС =    3. Т.к.   С,  РМ = МС. 4. КВМР – параллелограмм (по усл),    => =>  РМ =КВ и КР = ВМ. В 5. Пусть КВ = х, (РМ = МС  = х ),  тогда        ВМ = 10 – х ,  (КР = ВМ = 10 – х). 6. РКВМР = 2• (КВ + ВМ); РКВМР = 2• (х + 10 – х); РКВМР = 2• 10 = 20. Ответ: 20. 9.  Дано: АВСD –  прямоугольник  РАВСD = 28, АС  ОН   АD, ОG   ∩ ВD = О,      АВ  ОН < ОG на 1 Решение:  АОВ –  1. Рассм.  равнобедр. (АО = ОВ по  свойству диагоналей  прямоугольника) 2. ОG – высота в равнобедр.  АОВ и медиана (по  свойству равнобедренного  треугольника) => АG = GB  и ОН =      АВ. 3. Аналогично, рассмотрев    АОD – равнобедренный  (АО = ОD по свойству  диагоналей прямоугольника)  4. ОН – высота в равнобедр.  АОВ и медиана (по  свойству равнобедренного  треугольника) => АН = НD и х + 1 3 3 х 3 5. Пусть ОG = х, тогда    ОН = х + 1, тогда   ОН + ОG = 7, так как РАВСD = 28; РАВСD = 2 • (АВ + АD); 2 • (АВ + АD) = 28;      :2 АВ + АD = 14. Зная, что ОН =      АВ  и   ОG =      АD, получим 2ОН + 2ОG = 14;     :2 ОН + ОG = 7. 6. ОН + ОG = 7;      х + 1 + х = 7;    2х = 6;     :2    х = 3. Значит, ОG = 3, тогда   АD = 3•2 = 6. Ответ: 6. 10.  Дано: АВСD – равнобедренная  трапеция, АВ и СD – основания,   АD = ВС  СЕ   АВ, АЕ = 10, ВЕ = 4 Найти: среднюю линию трапеции. Решение: 1. Средняя линия трапеции –  отрезок, соединяющий средины  боковых сторон. MN – средняя  линия. Найти: MN. 2. MN =      ( АВ + СD) . 3. АВ = АЕ + ВЕ,   где АЕ = 10,    ВЕ = 4 (по усл).  АВ = 10 + 4 = 14. 10 10 М 4 N 4 АВ  и  4. Проведем  СН  рассмотрим   АНD и  прямоугольные (СЕ   АВ  по постр.) СН   ВСЕ –   АВ по усл.,  а) АD = ВС (по усл.); б) DН = СЕ (как отрезки              4 перпенд., заключенные между  параллельными прямыми)  = >  АНD =  =>  => АН = ВЕ = 4.  ВСЕ, =>                    10 + 4 Н 10 6 5. АН = 4 (см п.4), АЕ = 10, тогда   НЕ = АЕ – АН = 10 – 4 = 6. 6. СD = НЕ = 6   (как отрезки    перпенд., заключенные между  параллельными прямыми)  4 6 4 Н 10 М 6 14 7. MN =      ( АВ + СD) ,  где         АВ = 14 (см п.3), CD = 6 (см п.6); N MN =      ( 14 + 6) = 10. Ответ: 10. 11.  60° 12 Дано: АВСD – равнобедренная  трапеция, АВ и СD – основания, АВ =  12,       АD = ВС, АD = ВС = СD,   А =  60°  Найти: радиус описанной окружности. Решение: 1. Радиус описанной окружности –  отрезок, соединяющий любую точку  окружности с ее центром. 120° 120° 60° 60° 30° 120° 30° 60° 2.   А =   В = 60° ( как углы при  основании в равнобедренной трапеции). 3.   А =   D = 120° (как углы,  прилежащие к одной стороне трапеции). 4.   D =   С = 120° ( как углы при  основании в равнобедренной трапеции). 5. Доп. построение: DВ. Рассмотрим     DСВ – равнобедренный (DC = СВ по  условию),   С = 120°, тогда                       СDВ =   СВD = (180° – 120°): 2 = 30° (как углы при основании в равнобедр.  треугольнике и по сумме углов  треугольника) 30° 120° 60° 6.   D = 120° (см п.3)   и                         СDВ = 30° (см п.5),  тогда                   D = 120° – 30° = 90°. 90° d  7.   АDВ = 90° (см п.6)   и он  вписанный => он опирается на  полуокружность. Значит, АВ –  диаметр окружности. АВ = d = 12 (по усл) r = 6 О d = 12 8.  АВ = d = 12 (см п.7) r =     d =     • 12 = 6. Ответ: 6. 12.  Дано: АВС –  прямоугольный  равнобедренный  треугольник,   С = 90°,          АВ = АС =   Найти: радиус окружности,  вписанной в треугольник. Н 1. АВС – прямоугольный  равнобедренный (по усл),   С = 90°.                                2. Проведем из вершины  прямого угла С высоту СН  (медиану) к стороне АВ.    СН   АВ.   АН = НВ = СН (как радиусы описанной окружности). 3. На СН должен  находиться центр вписанной окружности. 4. Проведем перпендикуляр  из точки касания Т:   ТО  СВ.     Проведем перпендикуляр из  точки касания Р:   РО   СА.  5. ОТ = ОР = ОН (как  радиусы вписанной  окружности). 6. Рассмотрим квадрат  РОТС  (ТО   СВ,  РО   СА,   РО = ОТ = ТС = РС = r). 7. Из прямоугольного  треугольника РОС найдем  ОС по теореме Пифагора: ОС2 = ОР2 + РС2; ОС2 = r2 + r2); ОС2 = 2 r2;     ОС >0; ОС =  Н r O r Т r Р Н Т r r O r Р r 8. СН = СО + ОН, где  СО =          (см п.7)   и        ОН = r  (см п.5). СН =          + r . 9. АС = АР + РС, где  АС =                   (по усл.)   и   РС = r    (см п.6). А Р = АС – РС ; А Р =               – r . Н r O Н ­r O Р r ­r 10. АР = АН =                     (как отрезки касательных  проведенных из одной точки  А к окружности).   ­r 11. АН = НС =                     (см п.2).   Н ­r Н ­r ­r O Р ­r Н ­r +r 12. С одной стороны,  ­r НС =                                          (см п.11).   С другой стороны, СН =          + r                          (см п.8).   Приравняем правые части:              + r  =                   ; ­r              + r  + r –        –  2  = 0;              + 2 r –         – 2  = 0;     r (        + 2) – (        + 2) = 0;     (       + 2) (r – 1) = 0;             + 2 ≠ 0;        r – 1 = 0;         r = 1.      Ответ: 1.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике.
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
30.04.2017