Решение геометрических задач ЕГЭ по математике методом поэтапного моделирования. В данном документе проводится разбор некоторых задач по геометрии, рассматривая и поясняя каждый этап решения задачи. Всего разобрано 12 задач разного типа. Для наглядности геометрические чертежи выполнены с помощью разных цветов.Решение геометрических задач ЕГЭ по математике методом поэтапного моделирования.
1. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Дано: окружность, вписанный угол
АВС.
Найти: градусную меру угла АВС.
Решение:
1. Для того чтобы найти величину
угла АВС, необходимо найти
градусную меру дуги АС.
АС , так как вписанный
АВС =
угол равен половине дуги на которую
опирается.
О
2. Дополнительные построения: отрезки
ОА и ОС.
О и В опираются на одну и ту же дугу
АС. Но О – центральный => О = АС ,
так как центральный угол равен дуге на
которую опирается.3. Дополнительные построения: отрезок
АС.
Рассмотрим
(АО=ОС=r).
АОС – равнобедренный
4. Дополнительные построения: отрезок
ОН
АС.
Так как
АОС – равнобедренный (п 3.),
то ОН является и медианой: АН=НС=2ед
и биссектрисой: АОН = СОН.
АОН – прямоугольный
5. Рассмотрим
(ОН
(АН=ОН=2ед).
АС) и равнобедренный
НАО = АОН как углы при основании в
равнобедренном треугольнике.
Но сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 90°, значит
НАО = АОН = 45°
О
О
Н
О
45°
45°
Н6. О = АОН + НОС = 45° + 45° = 90°
6. О = 90°, => АС = 90°
6. АС = 90°, =>
АВС =
АС = 45 °.
45°
О
45° 45°
Н
О
90°
90°
90°
Ответ: АВС = 45°.2.
В
АВС – равнобедренный,
Дано:
АС – основание, АВ = ВС = 14,
В
, ВН
АС.
14
?
Найти: ВН.
A
НС
Решение:
В
14
A
Н
1. Рассм.
ВН
АС , АВ = 14,
АВН – прямоугольный
, но
Тогда
=
АН =
=
>
2. Далее, по теореме Пифагора: АН2 + ВН2 = АВ2,
+ ВН2 = 142 ;
2
ВН2 = 196 – 195; ВН = 1.
Ответ: ВН = 1.3
В
АВС – прямоугольный,
Дано:
С = 90°, А = 60°, СН
АВ = 4.
АВ,
Найти: АН.
4
Н
?
60°
A
С
В
Решение:
1. Рассмотрим АВС прямоугольный по усл., С=90°.
30°
В нем: АВ=4, А=60° =>
4
В=30° (по сумме острых углов прямоугольного
треугольника).
60°
Тогда АС = АВ = 2
A
С
2
В нем: АС=2, А=60° =>
2. Рассмотрим АВН прямоугольный по усл., Н – высота.
АВН=30° (по сумме острых углов прямоугольного
треугольника).
Н
Тогда АН = АС = 1
60°
30°
A
С
2
Ответ: АН = 1.
4. № 27916. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около
окружности, радиус которой равен
.Е
D
О
С
F
Н
?AВ
Решение:
1. Проведем радиус окружности ОН АВ
(как радиус окружности к касательной).
Н1
DЕ
D
О
F
С
AНВ
?
2. НН1 = 2 ОН
(НН1 – диаметр, ОН – радиус).
3. AE = HH1 = 2
.
4. Рассмотрим АFE.
В нем: угол F = 120° ( как угол
правильного шестиугольника ).
Применим теорему косинусов:
Е
120°
FС
2
?AВ
5.
Ответ : 2.ЕD
О
?
A
В
90°
ЕD
A
х°(90 – х)°
В
С
Дано:
АВС –
прямоугольный,
С = 90°, АD и ВЕ –
биссектрисы,
АD ∩ ВЕ= О
Найти: острый угол
между биссектрисами
острых углов.
Т.е. АОЕ.
Решение:
АВС –
1.
прямоугольный,
С = 90° (по усл).
Пусть А = х°, тогда
В = (90 – х)° (по
теореме о сумме острых
углов прямоугольного
треугольника).90°
ЕD
О
?
A
В
ЕD
О
?
135°
A
В
2. Так как АD и ВЕ –
биссектрисы (по усл.), то
ОАВ = , а
ОВА = .
3. Тогда по теореме о
сумме углов треугольника
(для треугольника АОВ):
АОВ = 180° – –
АОВ =
АОВ =
АОВ =135°.
4. АОЕ – смежный с
АОВ =135°. Значит,
АОЕ = 180° – 135° = 45°.
Ответ: АОЕ = 45°.6.
Дано: АОВ
Найти:
АОВ
В
Решение:
1. Достроим до прямоугольного
А = 90°.
АОВ,
АОВ =
2.
Где АВ = 4, ОВ найдем из
прямоугольного
Пифагора: ОВ2 = АВ2 + ОА2 ; ОА = 4;
АОВ по теореме
ОВ2 = 42 + 42; ОВ2 = 32; ОВ = ± .
ОВ>0; ОВ = = 4 .
АОВ = = .
3.
4. В ответе надо указать значение
синуса, умноженное на 2 ,
• 2 = 2.
Ответ:2.7.
Дано: АОВ
Найти:
АОВ
Решение:
1. Достроим до
АОВ.
2.Рассмотрим
АОВ.
М
3. АВ – гипотенуза прямоугольного
треугольника АВМ. По теореме Пифагора
АВ2 = ВМ2 + АМ2, где ВМ = 3, АМ = 1.
АВ2 = 32 + 12; АВ2 = 10; АВ >0; АВ = .N
3. ОВ – гипотенуза прямоугольного
треугольника ОNВ. По теореме Пифагора ОВ2
= ВN2 + ОN2, где ВN = 1, ОN = 3.
ОВ 2 = 12 + 32; ОВ2 = 10; ОВ >0; ОВ = .
4.
АОВ – равнобедренный, АВ = ОВ = .
5. Найдем АО из прямоугольного треугольника
АОS по теореме Пифагора:
АО2 = АS2 + OS2 ; где АS = 2, OS = 4.
АО2 = 22 + 42; АО2 = 20; АО >0; АО = ,
S
АО = .
6. Проведем высоту ВН в равнобедренном
треугольнике ОВА и получим
прямоугольный треугольник ОВН,
ВНО = 90°. В нем: ОВ = (см п.3),
ОН = = = , т.к. ВН –
высота и медиана равнобедренного
( по свойству равнобедренного
треугольника).
АОВ
НН
Н
НОВ – прямоугольный. В нем: ОВ =
7.
(см п.3), ОН = (см п.6).
Найдем ВН по теореме Пифагора:
ВН2 = ОВ2 – OН2 ;
ВН 2 = 2 – 2; ВН 2 = 5; ВН >0;
ВН = .
8.
АОВ =
АОВ = = = .
9. В ответе надо указать значение
синуса, умноженное на , тогда
• = 2.
Ответ: 2.В
В
В
8.
10
10
С
A
К
10
10
М
С
РA
К
10
10
М
С
A
Р
АВС – равнобедренный,
Дано:
АС – основание, АВ = ВС = 10,
Р € АС, РМ‖АВ, КРǁВС
Найти: РКВМР.
?
Решение:
1. А = С (как углы при основании
равнобедренного треугольника).
2. МРС = С (как соответственные при
пересечении параллельных прямых АВ и РМ
РМС – равнобедренный.
секущей АС) =>В
К
10
10
М
С
A
Р
х
10 – х
10
К
10
М
хх
С
A
Р
РМС – равнобедренный, МРС =
3. Т.к.
С, РМ = МС.
4. КВМР – параллелограмм (по усл), =>
=> РМ =КВ и КР = ВМ.
В
5. Пусть КВ = х, (РМ = МС = х ), тогда
ВМ = 10 – х , (КР = ВМ = 10 – х).
6. РКВМР = 2• (КВ + ВМ);
РКВМР = 2• (х + 10 – х);
РКВМР = 2• 10 = 20.
Ответ: 20.9.
Дано: АВСD –
прямоугольник
РАВСD = 28, АС
ОН
АD, ОG
∩ ВD = О,
АВ
ОН < ОG на 1
Решение:
АОВ –
1. Рассм.
равнобедр. (АО = ОВ по
свойству диагоналей
прямоугольника)
2. ОG – высота в равнобедр.
АОВ и медиана (по
свойству равнобедренного
треугольника) => АG = GB и
ОН = АВ.
3. Аналогично, рассмотрев
АОD – равнобедренный
(АО = ОD по свойству
диагоналей прямоугольника)
4. ОН – высота в равнобедр.
АОВ и медиана (по
свойству равнобедренного
треугольника) => АН = НD их + 1
3
3
х
3
5. Пусть ОG = х, тогда
ОН = х + 1, тогда
ОН + ОG = 7, так как
РАВСD = 28;
РАВСD = 2 • (АВ + АD);
2 • (АВ + АD) = 28; :2
АВ + АD = 14.
Зная, что ОН = АВ и
ОG = АD, получим
2ОН + 2ОG = 14; :2
ОН + ОG = 7.
6. ОН + ОG = 7;
х + 1 + х = 7;
2х = 6; :2
х = 3.
Значит, ОG = 3, тогда
АD = 3•2 = 6.
Ответ: 6.10.
Дано: АВСD – равнобедренная
трапеция, АВ и СD – основания,
АD = ВС
СЕ
АВ, АЕ = 10, ВЕ = 4
Найти: среднюю линию трапеции.
Решение:
1. Средняя линия трапеции –
отрезок, соединяющий средины
боковых сторон. MN – средняя
линия.
Найти: MN.
2. MN = ( АВ + СD) .
3. АВ = АЕ + ВЕ, где АЕ = 10,
ВЕ = 4 (по усл).
АВ = 10 + 4 = 14.
10
10
М
4
N
4АВ и
4. Проведем СН
рассмотрим
АНD и
прямоугольные (СЕ
АВ по постр.)
СН
ВСЕ –
АВ по усл.,
а) АD = ВС (по усл.);
б) DН = СЕ (как отрезки
4
перпенд., заключенные между
параллельными прямыми)
=
>
АНD =
=>
=> АН = ВЕ = 4.
ВСЕ, =>
10 + 4
Н
10
6
5. АН = 4 (см п.4), АЕ = 10, тогда
НЕ = АЕ – АН = 10 – 4 = 6.
6. СD = НЕ = 6 (как отрезки
перпенд., заключенные между
параллельными прямыми)
4
6
4
Н
10
М
6
14
7. MN = ( АВ + СD) , где
АВ = 14 (см п.3), CD = 6 (см п.6);
N
MN = ( 14 + 6) = 10.
Ответ: 10.11.
60°
12
Дано: АВСD – равнобедренная
трапеция, АВ и СD – основания, АВ =
12, АD = ВС, АD = ВС = СD, А =
60°
Найти: радиус описанной окружности.
Решение:
1. Радиус описанной окружности –
отрезок, соединяющий любую точку
окружности с ее центром.120°
120°
60°
60°
30°
120°
30°
60°
2. А = В = 60° ( как углы при
основании в равнобедренной трапеции).
3. А = D = 120° (как углы,
прилежащие к одной стороне трапеции).
4. D = С = 120° ( как углы при
основании в равнобедренной трапеции).
5. Доп. построение: DВ. Рассмотрим
DСВ – равнобедренный (DC = СВ по
условию), С = 120°, тогда
СDВ = СВD = (180° – 120°): 2 = 30°
(как углы при основании в равнобедр.
треугольнике и по сумме углов
треугольника)
30°
120°
60°
6. D = 120° (см п.3) и
СDВ = 30° (см п.5), тогда
D = 120° – 30° = 90°.90°
d
7. АDВ = 90° (см п.6) и он
вписанный => он опирается на
полуокружность. Значит, АВ –
диаметр окружности.
АВ = d = 12 (по усл)
r = 6
О
d = 12
8. АВ = d = 12 (см п.7)
r = d = • 12 = 6.
Ответ: 6.
12.
Дано: АВС –
прямоугольный
равнобедренный
треугольник, С = 90°,
АВ = АС =
Найти: радиус окружности,
вписанной в треугольник.Н
1. АВС – прямоугольный
равнобедренный (по усл),
С = 90°.
2. Проведем из вершины
прямого угла С высоту СН
(медиану) к стороне АВ.
СН
АВ.
АН = НВ = СН (как радиусы
описанной окружности).
3. На СН должен
находиться центр вписанной
окружности.4. Проведем перпендикуляр
из точки касания Т: ТО
СВ.
Проведем перпендикуляр из
точки касания Р: РО
СА.
5. ОТ = ОР = ОН (как
радиусы вписанной
окружности).
6. Рассмотрим квадрат
РОТС (ТО
СВ, РО
СА,
РО = ОТ = ТС = РС = r).
7. Из прямоугольного
треугольника РОС найдем
ОС по теореме Пифагора:
ОС2 = ОР2 + РС2;
ОС2 = r2 + r2);
ОС2 = 2 r2; ОС >0;
ОС =
Н
r
O
r
Т
r
Р
Н
Т
r
r
O
r
Р
r8. СН = СО + ОН, где
СО = (см п.7) и
ОН = r (см п.5).
СН = + r .
9. АС = АР + РС, где
АС = (по усл.) и
РС = r (см п.6).
А Р = АС – РС ;
А Р = – r .
Н
r O
Н
r
O
Р
rr
10. АР = АН =
(как отрезки касательных
проведенных из одной точки
А к окружности).
r
11. АН = НС =
(см п.2).
Н
r
Н
r
r
O
Р
rН
r
+r
12. С одной стороны,
r
НС =
(см п.11).
С другой стороны,
СН = + r
(см п.8).
Приравняем правые части:
+ r = ;
r
+ r + r – – 2 = 0;
+ 2 r – – 2 = 0;
r ( + 2) – ( + 2) = 0;
( + 2) (r – 1) = 0;
+ 2 ≠ 0;
r – 1 = 0;
r = 1.
Ответ: 1.