Решение задач модуль «Геометрия» демонстрационная версия ОГЭ по математике вариант №25

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №26.   Около окружности описана трапеция АВСD , боковая сторона  АВ перпендикулярна основаниям, М­ точка пересечения диагоналей  трапеции. Площадь треугольника СМD равна S. Найдите радиус  окружности  Решение: В С  φ М А К   φ D Сделаем доп. построение построим DE//AC                       SCМD=S,  ВК//CD, DE//AC                   АВ+СD= AD+ВС E  Пусть АD=a, ВС=b, ВD= m, АС=n. SАВСD=SВDE=½∙m∙n∙sinφ,  МС=n∙b/a+b,  МD=m∙a/a+b, S   ab  ) ba ( 2  1 2   nm  sin    ab  ) ba ( 2  S АВСD P=АВ+СD+BC+AD=2(a+b),   SАВСD=r∙(a+b) ∆АВК: АК= a­b,   АВ=2r.  ВК=СD=a+b­2r (a+b­2r)²=(2r)²+(a­b)²,     (a+b)²­2∙2r∙(a+b)=(a­b)² r  ab  ba S  ab  ba ) (  S АВСD  r  ba ( ) 2 r  S Ответ: r=√S

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №26.   Около окружности описана трапеция АВСD , боковая сторона  АВ перпендикулярна основаниям, М­ точка пересечения диагоналей  трапеции. Площадь треугольника СМD равна S. Найдите радиус  окружности  точка  М ­  не лежит на диаметре окружности .  Найдем связь между S АВСD  и  SСМD=S . Рассмотрим     подобные ∆ВСМ~∆АМD  их стороны      пропорциональны основаниям.  Решение: В С E  Ответ: r=√S М SАВСD=½∙d1∙d2∙sin(d1∙d2),  где  d1 и  d2 – диагонали  трапеции, это проще увидеть если сделаем  дополн.  Построение ∆ВDЕ, DE//АС.   SВDЕ=SАВСD (у них  общая высота и одинаковые средние линии ), а  стороны у него – диагонали трапеции. D К  А Пользуясь эти получаем S=SАВСD∙а∙b/(а+b)². Выразим S трапеции через периметр и радиус вписанной окружности.  При этом помним  суммы противоположных сторон трапеции  равны. Получаем SАВСD=(а+b)∙r.  Составим  соотношения  из ∆АВК где ВК//СD  при этом ВК=(а+b)­2∙r,  АВ=2∙r,   АК=а­b.  По т. Пифагора из этого ∆  получаем r=a∙b/(а+b).    Тогда  S=r²    и  r=√S

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №26.   Около окружности описана трапеция АВСD , боковая сторона АВ  перпендикулярна основаниям, М­ точка пересечения диагоналей трапеции.  Площадь треугольника СМD равна S. Найдите радиус окружности  Решение: ∆ВАМ и ∆DМС равновелики т.е. имеют одинаковые  S. ∆ВМС­ их общая часть то SАМВ тоже равна S. Пусть О­центр окружности, R – ее радиус, P, F и  Q­ точки касания  со сторонами ВС, СD и АD  К­  проекция т. М на сторону АВ. Тогда  CF=CP=BC­ BP=BC­R,   DF=DQ=AD­AQ=AD­R •В прямоугольном  ∆СОD известно, что   R R²=OF²=CF∙DF=(BC­R)∙(AD­R) отсюда  ВС АМ АС  Поэтому  AD АD BC BC КМ    КМ АD  АD ВС ВС AD   АD BC  R С другой стороны  из подобия ∆ АКМ и ∆АВС  следует А из подобия ∆ АМD и ∆ СМВ   АМ АС Т.к. АВ=2R, то S=S∆АМB=½∙АВ∙КМ=½∙2R∙R=R²,  S=R²,  R=√S  Ответ: R=√S