Решение задач модуль «Геометрия» демонстрационная версия ОГЭ по математике вариант №25

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №9.. В треугольнике АВС ,  АD­ биссектриса, угол С равен 50º,  угол  САD равен 28º. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах. Решение: С 50º D СD –биссектриса , 

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №10. В четырехугольник АВСD вписана окружность, АВ=8, ВС=7  и  СD=31. Найдите четвертую сторону четырехугольника. Решение: 7 С Если в четырехугольник  можно вписать  окружность то должно выполнятся обязательное  условие В 8 А 31 D х  Суммы противоположных сторон  равны. т.е. если АD=х то 8+31=7+х Решим уравнение: 7+х=39,  х=39­7,   х=32  Ответ: 32

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №11. Найдите площадь  трапеции,  изображенного на рис.  Решение: Sтрапеции=½∙(а+b)∙h где  а,b –основания трапеции   и  h­ высота Sтреугольника=½∙(14+(35+29))∙12=½∙78∙12=39∙12=468 кв.ед. 37 35 12 14 29 13 Ответ: S=468

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №11. Найдите площадь  треугольника  изображенного на рис.  Решение: Sтреугольника=½∙а∙h где  а –основание  и  h­ высота Sтреугольника=½∙(12+5)∙5=½∙17∙5=42,5кв.ед. 13 5 12 5 Ответ: S=42,5 кв.ед.

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №12. Найдите  косинус  угла АОВ, изображенного на рис.  Решение: Проведем  высоту МК  так чтобы  определялось целое число клеток В М ∆ОМК­ прямоугольный  В прямоугольном треугольнике  сos<АОВ=OK/ОM,   МК=4 клетки.  ОК=3клетки Найдем ОМ,   ОМ²=МК²+ОК² ОМ=√МК²+ОК²=√4²+3²=√25=5 О К А cos<АОВ=3/5,  cos<АОВ=0,6 Ответ: cos<АОВ=0,6

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №13. Какие из следующих утверждений верны? 1.Любая биссектриса  равнобедренного треугольника является его  медианой. 2.Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту,  проведенной к этой  стороне. 3.Касательная к окружности параллельна радиусу, проведенному в  точку касания. Ответ:  2.

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №17. На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три  телеграфных столба. Первый и второй находятся от дороги на  расстояниях 15м и 20м. Найдите расстояние от дороги, на которых  находится третий столб. Ответ дайте в метрах. Решение: К В 15м С По рисунку имеем прямоугольную  трапецию АВСD. По условию  средний  столб есть средняя линия трапеции. Ср. линию трапеции  определяется  по  формуле: 20м ? КМ=½∙(АВ+СD)    найдем из формулы СD  СD=2∙КМ­АВ= 2∙20­15=40­15=25 А М D Ответ: 25

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №24. Один угол параллелограмма больше другого на 74º. Найдите  больший угол. Ответ дайте в градусах.. Решение: В А С D По свойству параллелограмма  сумма  углов прилежащих к одной стороне  параллелограмма равна 180º

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №25.Основания ВС и АD трапеции  АВСD равны соответственно 5см  и 20см, диагональ BD=10см. Докажите, что треугольник и СВD и  ВDA подобны.  Решение: Рассмотрим  ∆СВD и ∆ВDA Вывод стороны пропорциональны  коэффициент подобия равен k=½ Значит   ∆СВD ~∆ВDА  по углу и пропорциональным сторонам   образующих эти углы. Ответ:  подобны по двум сторонам и углу между ними  В 5 С 10 А 20 D

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №26.   Около окружности описана трапеция АВСD , боковая сторона  АВ перпендикулярна основаниям, М­ точка пересечения диагоналей  трапеции. Площадь треугольника СМD равна S. Найдите радиус  окружности  Решение: В С  φ М А К   φ D Сделаем доп. построение построим DE//AC                       SCМD=S,  ВК//CD, DE//AC                   АВ+СD= AD+ВС E  Пусть АD=a, ВС=b, ВD= m, АС=n. SАВСD=SВDE=½∙m∙n∙sinφ,  МС=n∙b/a+b,  МD=m∙a/a+b, S   ab  ) ba ( 2  1 2   nm  sin    ab  ) ba ( 2  S АВСD P=АВ+СD+BC+AD=2(a+b),   SАВСD=r∙(a+b) ∆АВК: АК= a­b,   АВ=2r.  ВК=СD=a+b­2r (a+b­2r)²=(2r)²+(a­b)²,     (a+b)²­2∙2r∙(a+b)=(a­b)² r  ab  ba S  ab  ba ) (  S АВСD  r  ba ( ) 2 r  S Ответ: r=√S

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №26.   Около окружности описана трапеция АВСD , боковая сторона  АВ перпендикулярна основаниям, М­ точка пересечения диагоналей  трапеции. Площадь треугольника СМD равна S. Найдите радиус  окружности  точка  М ­  не лежит на диаметре окружности .  Найдем связь между S АВСD  и  SСМD=S . Рассмотрим     подобные ∆ВСМ~∆АМD  их стороны      пропорциональны основаниям.  Решение: В С E  Ответ: r=√S М SАВСD=½∙d1∙d2∙sin(d1∙d2),  где  d1 и  d2 – диагонали  трапеции, это проще увидеть если сделаем  дополн.  Построение ∆ВDЕ, DE//АС.   SВDЕ=SАВСD (у них  общая высота и одинаковые средние линии ), а  стороны у него – диагонали трапеции. D К  А Пользуясь эти получаем S=SАВСD∙а∙b/(а+b)². Выразим S трапеции через периметр и радиус вписанной окружности.  При этом помним  суммы противоположных сторон трапеции  равны. Получаем SАВСD=(а+b)∙r.  Составим  соотношения  из ∆АВК где ВК//СD  при этом ВК=(а+b)­2∙r,  АВ=2∙r,   АК=а­b.  По т. Пифагора из этого ∆  получаем r=a∙b/(а+b).    Тогда  S=r²    и  r=√S

Вариант 25  Модуль «Геометрия»                                                                    №26.   Около окружности описана трапеция АВСD , боковая сторона АВ  перпендикулярна основаниям, М­ точка пересечения диагоналей трапеции.  Площадь треугольника СМD равна S. Найдите радиус окружности  Решение: ∆ВАМ и ∆DМС равновелики т.е. имеют одинаковые  S. ∆ВМС­ их общая часть то SАМВ тоже равна S. Пусть О­центр окружности, R – ее радиус, P, F и  Q­ точки касания  со сторонами ВС, СD и АD  К­  проекция т. М на сторону АВ. Тогда  CF=CP=BC­ BP=BC­R,   DF=DQ=AD­AQ=AD­R •В прямоугольном  ∆СОD известно, что   R R²=OF²=CF∙DF=(BC­R)∙(AD­R) отсюда  ВС АМ АС  Поэтому  AD АD BC BC КМ    КМ АD  АD ВС ВС AD   АD BC  R С другой стороны  из подобия ∆ АКМ и ∆АВС  следует А из подобия ∆ АМD и ∆ СМВ   АМ АС Т.к. АВ=2R, то S=S∆АМB=½∙АВ∙КМ=½∙2R∙R=R²,  S=R²,  R=√S  Ответ: R=√S