Решение задач модуль «Геометрия» демонстрационная версия ОГЭ по математике вариант №26

Вариант 26  Модуль «Геометрия»                                                                    №9.. В треугольнике АВС ,  АВ=ВС=95, АС=114. Найдите длину  медианы ВМ. В Решение: АМ=МС=114:2=57,  т.к.  ВМ­медиана  (по условию) ∆АВС­ равнобедренный  т.к. АВ=ВС (по условию) Медиана ВМ – в равнобедренном  треугольнике  является  биссектрисой и высотой  А М С Рассмотрим  ∆АВМ­ прямоугольный, ВМ­высота по т. Пифагора найдем ВМ ВМ²=АВ²­АМ²,   ВМ²=95²­57²=9025 ­ 3249=5776 ВМ=√5776=76  Ответ: 76

Вариант 26  Модуль «Геометрия»                                                                    №9.. Центральный угол на 21º больше острого вписанного угла,  опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.  Ответ дайте в градусах.  Решение: А у О х В С ½ <АОВ=    АВ по свойству центрального угла <АСВ=     АВ по свойству вписанного угла  Пусть у –центральный угол, х­ вписанный  угол Тогда у=АВ,   х=½АВ у=х+21º ,   у=2х, 2х=х+21º, х=21º Ответ: <АСВ=21º

Вариант 26  Модуль «Геометрия»                                                                    №10. Центральный угол на 21º больше острого вписанного угла,  опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.  Ответ дайте в градусах. Решение: О В М По определению центральный угол равен  градусной  мере дуги на которую он опирается .  Вписанный угол  равен половине градусной мере дуги на которую он  опирается. А <О­центральный угол ,опирается на  дугу ВМ < А­ вписанный угол опирается на дугу ВМ <А=½<О Пусть <А=х, тогда <О=х+21º, т.к. <А=½<О,  то х=½(х+21º) 2х=х+21º,  2х­х=21º,  х=21º.  Вписанный угол  <А=21º. Ответ: 21

Вариант 26  Модуль «Геометрия»                                                                    №10. Биссектриса тупого угла  параллелограмма делит  противоположную сторону в отношении 3:7, считая от вершины  острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма если его  периметр равен 117. Решение: В По свойству параллелограмма  биссектриса ВК­  отсекает равнобедренный треугольник,                              ∆АВК – равнобедренный ,ВК­ основание                                                                          АВ=АК С  <ВАК=<ВКА как углы при основании  равнобедренного треугольника. 3 7 А К D Пусть биссектриса ВК делит сторону  параллелограмма АD делит на части 3х и 7х  Тогда длина АD=10х, сторона АВ=3х, т.к АВ=АК Периметр АВСD зх+зх+10х+10х=26х,  P=26х,    117=26х,   х=117:26=4,5 АD=10х=10∙4,5=45 Ответ: большая сторона равна 45

Вариант 26  Модуль «Геометрия»                                                                    №11. Найдите площадь  трапеции  изображенной на рис.  Решение: 4 Sтрапеции=½∙(а+b)∙h   где  а и b –основание   трапеции  и  h­ высота 5 4 5 Sтрапеции=½∙(4+(3+7))∙4=½∙14∙4=28 кв.ед. 3 7 Ответ: S=28

Вариант 26  Модуль «Геометрия»                                                                    №12. Найдите  косинус  угла АОВ, изображенного на рис.  Решение: Проведем  высоту МК  так чтобы  определялось целое число клеток В М ∆ОМК­ прямоугольный  В прямоугольном треугольнике  сos<АОВ=OK/ОM,   МК=3 клетки.  ОК=4 клетки Найдем ОМ,   ОМ²=МК²+ОК² ОМ=√МК²+ОК²=√3²+4²=√25=5 О К А cos<АОВ=4/5,  сos<АОВ=0,8 Ответ: cos<АОВ=0,8

Вариант 26  Модуль «Геометрия»                                                                    №13. Какие из следующих утверждений верны? 1.В треугольнике АВС , для которого <А=40º, <В=60º,  <С=80º.  Сторона АС наибольшая. 2.Треугольника со сторонами 2 3, 4 не существует 3.Треугольника со сторонами 1, 2, 3 не существует Ответ:  3.

Вариант 26  Модуль «Геометрия»                                                                    №17. Человек ростом 1,8м стоит на расстоянии 11 шагов от столба,  на котором висит фонарь. Тень человека равна двум шагам. На  какой высоте (в метрах) расположен фонарь.. В Решение: Рассмотрим  ∆АВС  ~∆МКС ( по двум углам)  <ВАС=<МКС,  <С­ общий. Найдем АВ­? М 1,8 А 11 С2 К Составим пропорцию   КМ  АВ КС АС 2 8,1  13 АВ АВ 138,12 АВ  138,1 2  4,23 2  7,11 Ответ: 11,7м

Вариант 26  Модуль «Геометрия»                                                                    №24. Найдите угол АСD, если его сторона СА касается окружности , а  дуга АD окружности , заключенная внутри этого угла, равна 116º. Решение: А О В <ОАС=90º по свойству касательной  проведенной в точку касания с радиусом С Дуга АD=116º , < DОА=116º по свойству  центрального угла

Вариант 26  Модуль «Геометрия»                                                                    №25.Основания ВCи АD трапеции АВСD равны 4см и 16см, АС=8см.  Докажите, что треугольники ВСА и САD подобны.  Решение: В 4 С 8 А 16 D Рассмотрим  ∆АВС и ∆АСD,  

Вариант 26  Модуль «Геометрия»                                                                   №26. Четырехугольник АВСD , диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в  окружность. Перпендикуляры, опущенные на сторону АD из вершины В и С ,пересекают  диагонали  АС и ВD в точках Е и F соответственно. Известно, что ВС=1. Найдите EF.  Решение: 1сп. Пусть О­центр пересечения  диагоналей.  Точка Е –т. пересечения высот   ∆АВD,ВМ и АО . По свойству ортоцентра ∆ , ЕО=ОС, Аналогично  FО=ОВ.  Тк. в ВСЕF диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся  пополам то ВСЕF ­ромб. т.е   ЕF=ВС=1  2 сп. Пусть AD>BC. Проведем ВМ А┴ D и СН А┴ D. ВМ//СН как прямые  ┴ F и СЕ –секущие для ВМ//СН. Тогда <1=<2, <3=<4   одной прямой. В – как накрест лежащие углы С 6 В 8 1 4 F 2 9 О 3 10 Е НМ 7 5 D Рассмотрим ∆ВМD ~ ∆ВОЕ (<1­общий, <ВОЕ=<ВМD­прямые) из  подобия этих ∆ <3=<5 <6=<5 как углы которые опираются на одну дугу АВ, а так как  <3=<5 то <5=<4 следовательно <6=<4 А Рассмотрим ∆АСН ~ ∆СОF (они прямоугольные, <АСН­общий) из подобия следует <2=<7 Вписанный <7 опирается на ту же дугу  что и <8 ∆CВD значит <7=<8, но<7=<2=<1, а  <1=<8, то <8=<2.  Рассмотрим ∆ВСF углы при основании равны, СО делит на два равных прямоугольных ∆ и  является биссектрисой и высотой, то ∆ВСF­равнобедренный. ∆ВЕF­тоже  равнобедренный ЕО­высота ВО=ОF. Значит <1=<9. а <3=<10 т.к. ЕО –высота и биссектриса равнобедренного ∆ВЕF таким же образом и  ∆ВСЕ и ∆ЕFC и они равны м/у собой. В результате имеем ВЕFC у которого все стороны  равны, а значит ЕF=ВС=1 Ответ: ЕF=1