Задачи ЕГЭ по теме «Пирамида»
B 13 № 901. В правильной
треугольной пирамиде медианы
основания
пересекаются
в точке
. Площадь
треугольника
равна
2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка
.
Пояснение.
Отрезок высота
треугольной пирамиды
, ее
объем выражается формулой
Таким образом,
Ответ: 9.
B 13 № 911. В правильной
четырехугольной пирамиде точка
–
центр основания,
–
вершина,
,
. Найдите
боковое ребро
Пояснение.
В правильной пирамиде
вершина проецируется в центр основания, следовательно является
высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора
Ответ: 17.
B 13 № 920. В правильной
треугольной пирамиде точка
–
середина ребра
,
–
вершина. Известно, что
=3, а
площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка
.
Пояснение.
Найдем площадь
грани :
Отрезок является
медианой правильного треугольника
, а
значит, его высотой. Тогда
Ответ: 10.
B 13 № 27074. Объем параллелепипеда равен
9. Найдите объем треугольной пирамиды
.
Пояснение.
Объем параллелепипеда
равен ,
где
–
площадь основания,
–
высота. Объем пирамиды равен
,
где –
площадь основания пирамиды, по построению равная половине площади
основания параллелепипеда. Тогда объем пирамиды в 6 раз меньше объема
параллелепипеда.
Ответ: 1,5.
B 13 № 27085. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
Пояснение.
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в 2 раза, объём увеличится в 8 раз.
Это же следует из формулы
для объёма правильного тетраэдра ,
где
—
длина его ребра.
Ответ: 8.
B 13 № 27089. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?
Пояснение.
Объем пирамиды равен
,
где –
площадь основания, а
–
высота пирамиды. При увеличении высоты в 4 раза объем пирамиды
также увеличится в 4 раза.
Ответ: 4.
B 13 № 27113. Объем треугольной
пирамиды , являющейся
частью правильной шестиугольной пирамиды
,
равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
Пояснение.
Данные пирамиды
имеют общую высоту, поэтому их объемы соотносятся как площади их оснований.
Площадь правильного шестиугольника со стороной равна
Площадь
же равнобедренного треугольника
с
боковой стороной
и
углах при основании
равна
Получаем,
что площадь шестиугольника больше площади треугольника
в
раз
и равна 6.
Ответ: 6.
B 13 № 27114. Объем правильной
четырехугольной пирамиды равен
12. Точка
–
середина ребра
. Найдите
объем треугольной пирамиды
.
Пояснение.
Площадь основания
пирамиды по
условию в 2 раза меньше площади основания пирамиды
.
Также высота данной треугольной пирамиды в 2 раза меньше высоты пирамиды
(т.к.
точка
–
середина ребра
). Поскольку
объем пирамиды равен
, то
объем данной треугольной пирамиды в 4 раза меньше объема пирамиды
и
равен 3.
Ответ: 3.
B 13 № 27115. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Пояснение.
Объем пирамиды . Площадь
основания отсеченной части меньше в 4 раза (так как высота и сторона
треугольника в основании меньше исходных в 2 раза), поэтому и объем
оставшейся части меньше в 4 раза. Тем самым, он равен 3.
Ответ: 3.
B 13 № 27131. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
Пояснение.
Площадь поверхности
тетраэдра равна сумме площадей его граней, которые равны . Поэтому
при увеличении ребер вдвое, площадь поверхности увеличится в 4 раза.
Ответ: 4.
B 13 № 27157. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
Пояснение.
При увеличении ребер в 3 раза площади треугольников, образующих грани октаэдра, увеличатся в 9 раз, поэтому суммарная площадь поверхности также увеличится в 9 раз.
Ответ: 9.
B 13 № 27172. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?
Пояснение.
Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому, если все ребра увеличены в 2 раза, площадь поверхности увеличится в 4 раза.
B 13 № 27175. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.
Пояснение.
В правильном тетраэдре
скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Каждая сторона сечения является
средней линией соответствующей грани, которая, как известно, в 2
раза меньше параллельной ей стороны и равна поэтому 0,5. Значит сечением
является квадрат со стороной 0,5. Тогда площадь сечения .
Ответ: 0,25.
B 13 № 27182. Объем параллелепипеда равен
12. Найдите объем треугольной пирамиды
.
Пояснение.
Объем параллелепипеда
равен а
объем пирамиды равен
. Высота
пирамиды равна высоте параллелепипеда, а ее основание вдвое меньше,
поэтому
Ответ: 2.
B 13 № 27184. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Пояснение.
Объем пирамиды равен
.Ответ: 2.
Примечание.
Куб состоит из 6 таких пирамид, объем каждой из них равен 2.
B 13 № 77154. Найдите объем
параллелепипеда , если
объем треугольной пирамиды
равен
3.
Пояснение.
Объем параллелепипеда
равен ,
где
–
площадь основания,
–
высота. Объем пирамиды равен
,
где
–
площадь основания пирамиды, равная половине площади основания
параллелепипеда. Тогда объем параллелепипеда в 6 раз больше объема
пирамиды
.
Ответ: 18.
B 13 № 284351. В правильной
треугольной пирамиде
—
середина ребра
,
—
вершина. Известно, что
,
а
. Найдите
площадь боковой поверхности.
Пояснение.
Площадь боковой поверхности правильной
треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания
на апофему:
Ответ:3.
B 13 № 284356. В правильной
треугольной пирамиде медианы
основания пересекаются в точке
.
Объем пирамиды равен
,
. Найдите
площадь треугольника
.
Пояснение.
Основание пирамиды — равносторонний
треугольник, поэтому,
является
центром основания, а
—
высотой пирамиды
. Ее
объем вычисляется по формуле
.
Тогда
.
Ответ: 3.
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.