Актюбинский кооперативный колледж
Сборник практических работ
по предмету «Основы математической статистики»
Специальности: 1304000 «Вычислительная техника и
программное обеспечение»
Составитель: Пластун Н. А.г. Актобе
Для
знаний и
приобретения необходимых практических навыков по
закрепления теоретическихпредмету «Основы математической статистики»
предусматривается проведение практических занятий.
Сборник практических работ по предмету «Основы
математической статистики» составлен в соответствии с
рабочей учебной программой и
предназначен для
обучающихся в средних учебных заведениях для
применения теоретических знаний в практике.
Практическая работа №1
Тема: «Расчёт количество выборок».
Цель: Уметь определить тип комбинаторного объекта; рассчитать
количество выборок в заданных условиях.
I вариант
5;
14 + С10
15.
7+А3
14 + С10
1. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими
способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма.
2. Сколько чисел среди первой тысячи натуральных чисел не делиться
ни на 2, 3, 5 и 7.
3. Вычислить: а) А3
6+А3
б) Р5 + Р6 / Р4;
в) С9
4. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,
2, 3, 4, 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?
5. Из 3 экземпляров учебника алгебры, 7 экземпляров учебника
геометрии и 6 экземпляров учебника физики надо выбрать компонент,
содержащий все 3 учебника по одному разу. Сколькими способами это
можно сделать?
6. В розыгрыше личного первенства по шахматам было сыграно 120
игр. Сколько было
участников, если каждые два участника встретились один раз?
II вариант
1. Сколькими способами можно выбрать согласную из слова «здание»
и «паркет».
2. Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел не делиться ни
на 2, 3, 5.6;
7 + С0
6 + А4
3. Вычислить: а) А5
6 + А3
б) Р6 + (Р7 Р3);
в) С5
5.
4. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,
5 не повторяя цифр в числе?
5. Сколькими способами можно на шахматной доске два квадрата –
белый и чёрный?
Решите эту задачу, если нет ограничений на цвет квадратов.
Решите её если надо выбрать два белых квадрата.
6. В группе 20 юношей и 10 девушек. Сколькими способами можно
выбрать 3 юношей и 2 девушек для участия в следе студентов?
Практическая работа №2
Тема: «Вычисление вероятностей случайных событий».
Цель: научить вычислять вероятности случайных событий.
I вариант
Задача 1. Сколькими способами из N + 25 учеников класса можно
выделить актив в следующем составе: староста, редактор стенгазеты,
профорг?
Задача 2. Станок с программным управлением выполняет N + 7
операций. Сколькими способами можно составить программу работы
станка с выполнением всех операций по одному разу?
Задача 3. Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили N + 4 щуки,
пометили их и пустили обратно в пруд. Сколькими способами можно
второй раз выловить 9 щук, чтобы среди них были 3 помеченные?
Задача 4. Решить задачу, пользуясь определением геометрической
вероятности.
Электропривод, соединяющий пункты А и В, порвался в неизвестном
месте. Чему равна вероятность того, что разрыв произошел не далее
500 м от пункта А, если расстояние между пунктами (N + 1) км.
Задача 5. Решить задачу, используя классическое определение
вероятности.
Экзаменационные работы по математике,
которые писали
абитуриенты при поступлении в университет, зашифрованы целыми
числами от 1 до (N + 90) включительно. Какова вероятность того, что
номер наудачу взятой работы кратен 10 или 11?II вариант
Задача 1. В шахматном турнире участвуют N + 5 школьников и N + 15
студентов. Сколькими способами могут распределиться три призовых
места, занятые в турнире, если никакие два участника не набрали
одинаковое количество очков?
Задача 2 На выставкепродаже автомобилей представлено N + 12
видов машин. Сколькими способами их можно расставить в ряд для
показа?
Задача 3. Из N + 8 роз и N + 6 георгинов нужно составить букет,
содержащий 2 розы и 3 георгина. Сколько можно составить различных
букетов?
Задача 4. Решить задачу, пользуясь определением геометрической
вероятности.
На паркетный пол (паркет имеет форму квадрата) бросается монета,
диаметр которой в N + 1 раз меньше стороны квадрата. Какова
вероятность того, что монета не пересечет не одной стороны квадрата
(предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру
пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее
расположения на плоскости).
Задача 5 Решить задачу, используя классическое определение
вероятности.
Из N + 30 учащихся спортивной школы 12 занимаются баскетболом,
15 – волейболом, 5 – волейболом и баскетболом, а остальные –
другими видами спорта. Какова вероятность, что наудачу выбранный
спортсмен занимается только волейболом или только баскетболом?
Практическая работа №3
Тема: «Вычисление вероятностей сложных событий».
Цель: научить вычислять вероятности сложных событий.
I вариант
Решить задачу, используя формулу Байеса
Задача 1 Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле
для первого ракетного расчета равна 0.02(N + 1), а для второго –
0.03(N + 1). Каждое из орудий производит по одному выстрелу,
причем зарегистрировано одно попадание в самолет. Какова
вероятность, что удачный выстрел принадлежит первому расчету?Задача 2. Каждый из танков независимо сделал выстрел по
некоторому объекту. Вероятность поражения цели первым танком
равна 0.7, вторым – 0.1N. Объект поражен одним попаданием.
Определить вероятность того, что объект поражен вторым танком.
Задача 3. Случайная величина X принимает только 2 значения: 1 и 1,
каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию Д(X) и среднее
квадратическое отклонение (δ X).
Задача 4. Дисперсия случайной величины Д(X)=6,25. Найти среднее
квадратическое отклонение (δ X).
Задача 5. Найти, закон распределения случайной величины X задан
таблицей:
X
P
10
1/2
4
1/4
20
1/4
Определить математическое ожидание M(X), дисперсию Д(X) и
среднее квадратическое отклонение (δ X).
5. К случайной величине прибавили постоянную a. Как при этом
изменяется её: а) математическое ожидание; б) дисперсия?
II вариант
Решить задачу, используя формулу Байеса
Задача 1 В группе из N + 25 человек, пришедших сдавать экзамен по
теории вероятностей, имеется 10 отличников, 7 подготовленных
хорошо, 5 – удовлетворительно, а остальные – плохо подготовлены.
Отличники знают все 30 вопросов программы,
хорошо
подготовленные – N + 20, подготовленные удовлетворительно – 15, и
плохо подготовленные знают 10 вопросов. Вызванный наудачу студент
ответил на два заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент
подготовлен удовлетворительно.
Задача 2.Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же
мишень. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для
каждого из стрелков соответственно равны 0,01(N + 1), 0,01(N + 2),
0,01(N + 3)
Задача 3. Какова вероятность того, что первый стрелок промахнулся,
если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины?Задача 4. Дисперсия случайной величины Д(X)=6,25. Найти среднее
квадратическое отклонение (δ X).
Задача 5. Найти, закон распределения случайной величины X задан
таблицей:
X
P
0
0,2
1
0,4
2
0,3
3
0,08
4
0,02
Определить математическое ожидание M(X), дисперсию Д(X) и
среднее квадратическое отклонение (δ X).
5. Случайную величину умножили на a. Как при этом изменяется: а)
математическое ожидание; б) дисперсия?
Практическая работа №4
Тема: «Вычисление вероятностей по теореме Лапласа».
Цель: формирование умений и навыков при вычислении вероятностей
по теореме Лапласа
I вариант
Задача 1 . Вычислить вероятности того, что при 100кратном бросании
монеты герб выпадет а) ровно 50 раз; б) ровно 60 раз.
Задача 2 . В первые классы должно быть принято 200 детей.
Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек,
если вероятность рождения мальчика равна 0.515.
Задача 3 . Вычислить вероятность наступления случайного события от
790 до 830 раз в 900 независимых испытаниях, если p=0,9.
Задача 4 . Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что
из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше
17?
Задача 5 . Игральную кость бросают 80 раз. Найти приближенно
границы, в которых число выпадений шестерки будет заключено с
вероятностью 0,9973.
II вариант
Задача 1 . Вероятность успеха в каждом испытании равна 0.25. Какова
вероятность, что при 300 испытаниях успех наступит а) ровно 75 раз;
б) ровно 85 раз?
Задача 2 . Построить график функции ЛапласаЗадача 3 . Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад
отобранных монет число монет, расположенных "гербом" вверх, будет
от 45 до 55?
Задача 4 . Сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты,
чтобы с вероятностью 0.92 можно было ожидать отклонение частоты
выпадения "герба" от теоретической вероятности 0.5 на абсолютную
величину, меньшую чем 0.01?
Задача 5 . В поселке А 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в
месяц ездит на поезде в город В, выбирая дни поездок независимо от
остальных жителей. Какой наименьшей вместительностью должен
обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза
в 100 дней? (Поезд идет раз в сутки.)
Практическая работа №5
Тема: «Вычислите вероятностей в схеме Бернулли».
Цель: уметь вычислять вероятность событий по формуле Бернулли.
I вариант
Задача 1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равно
1/5. Найти вероятность того, что из десяти выстрелов не будет ни
одного попадания.
Задача 2. В ящике находиться 80 стандартных и 20 не стандартных
деталей. Найти вероятность того, что из 5 взятых на удачу деталей не
менее 4 окажутся стандартными.
Задача 3. В урне 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны одновременно
вынимают два шара. Какова вероятность, что оба шара белые.
Задача 4. Для нормальной работы станции корой медицинской помощи
требуется не менее 8 автомашин, а их имеется 10. Найти вероятность
нормальной работы станции в ближайший день, если вероятность
ежедневной неисправности каждой автомашины равно 0,1.
II вариант
Задача 1. В квартире 6 электролампочек. Вероятность того, что
каждая лампочка останется исправной в течение года, равно 5/6.
Найти вероятность того, что в течение года придётся, занимать 2
лампочки.Задача 2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равно
0,9. Найти вероятность 5 попаданий при 6 выстрелах.
Задача 3. В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти
вероятность того, что среди 5 взятых наугад деталей равно 3
стандартных.
Задача 4. Вероятность того, что расход электроэнергии в техникуме в
течение одних суток не превысит установленной нормы, равно P=0,85.
Найти вероятность того, что в ближайшие 25 суток расход
электроэнергии в течение 20 суток не превысит нормы.
Практическая работа №6
Тема: «Вычисление вероятностей в схеме Бернулли Y (Y=x1+x2+…
+ x n: Nбольшое)»
Цель: формирование умений и навыков у учащихся при вычислении
вероятностей по схеме Бернулли.
I вариант
Задача 1 Длина изготовляемых изделий представляет случайную
величину, среднее значение которой (математическое ожидание) равно
90 см. Дисперсия этой величины равна 0,0225. Используя неравенство
Чебышева, оценить вероятность того, что:
а) отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения
по абсолютной величине не превзойдет 0,4;
б) длина изделия выразится числом, заключенным между 89,7 и 90,3
см.
Задача 2. Случайная величина распределена нормально с параметрами
δ = 3. Найти вероятность того, что случайная величина в
a = 8,
результате опыта примет значение, заключённое в интервале (12,5; 14).
Задача 3. Задана случайная величина XN( ,). Найти
вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:
А) в интервале [a,b]
Б) меньше К
В) больше L
Задача 4. По данным пяти независимых равноточных измерений
физической величины найдены среднее арифметическое результатов,отдельных измерений Хв = 2,17В и «исправленное» среднее
квадратическое отклонение S = 5. Требуется оценить истинное
значение a измеряемой величины с надёжностью 0,95.
II вариант
Задача 1. Устройство состоит из 10 независимо работающих
элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна
0,05. используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что
абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и
средним числом (математическим ожиданием) отказов за время t
окажется меньше 2.
Задача 2. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному
закону распределения с параметрами: a = 0,
δ = 9 мм.
Проводятся при независимых измерениях. Найти вероятность
того, что погрешность хотя бы одного измерения не превосходит по
абсолютной величине 3 мм.
Задача 3. По 15 равноточным измерениям найдено «исправленное»
среднее квадратическое отклонение S = 0,12. Найти точность
измерений a с надёжностью 0,99.
Задача 4. По данным пяти независимых равноточных измерений
физической величины найдены среднее арифметическое результатов,
отдельных измерений Хв = 2,17В и «исправленное» среднее
квадратическое отклонение S = 5. Требуется оценить истинное
значение a измеряемой величины с надёжностью 0,95.
Практическая работа №7
Тема: «Расчет количества выброк»
Цель: формирование умений и навыков учащихся при вычислении
расчетов количества выборок.
Iвариант
Задача 1. Заданы вероятности трёх событий: А1, А2, А3, образующих
полную группу:
p3=P(А3)=0,47.
разыграть пять испытаний, в каждом из которых появляется одно из
трёх рассматриваемых событий.
p2=P(А2)=0,31,
p1=P(А1)=0,22,Задача 2. Заданы вероятности четырёх событий, образующих полную
группу: p1=P(А1)=0,15, p2=P(А2)=0,64, p3=P(А3)=0,05, p4=P(А4)=0,16.
Разыграть 10 испытаний, в каждом из которых появляется одно из
рассматриваемых событий.
Задача 3. События A, B и C Независимы и совместны. Разыграть пять
испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A
равна 0,6, События B – 0,2, события C – 0,4.
IIвариант
Задача 1. События A и B независимы и совместны. Разыграть четыре
испытания, в каждом из которых вероятность появления события A
равна 0,7, а события B – 0,4.
Задача 2. События A и B независимы и совместны. Разыграть пять
испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A
равна 0,6, а события B – 0,8.
Задача 3. События A и B зависимы и совместны. Разыграть пять
испытаний, в каждом из которых заданы вероятности:P(A)=0,5,
P(B)=0,6, P(AB)=0,2.
Практическая работа №8
Тема: «Проверка гипотез о законе распределения на основе
критерия согласия Пирсона».
Цель: Уметь определять гипотезы. Знать методику проверки
гипотезы.
I вариант
1. Построить полигон по данному распределению:
5
14
1
20
xi
ni
4
10
7
6
2. Генеральная совокупность задана таблицей распределения:
xi
ni
1000
1000
1200
6000
1400
3000
Найти генеральную среднюю Xr и генеральную дисперсию Дr.
3. Найти выборочную среднюю по следующим данным:Длина крыла у 6 пчёл (в мм.): 9,68; 9,81; 9,77; 9,60; 9,61; 9,55.
4. Даны результаты измерения роста (в см) группы из 100 учащихся.
Рост: [154; 158], [158; 162], [162; 166], [166; 170], [170; 174], [174;
178], [178; 182]. Соответствующее число учся: 10, 14, 26, 28, 12, 8, 2,.
Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и среднее
квадратическое отклонение. Указание: найти середины интервалов и
принять их в качестве варианта.
II вариант
1. Построить гистограмму следующего распределения:
Частичный интервал
длиной h
25
58
811
1114
Сумма частот вариант частичного интервала
ni
9
10
25
6
2. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:
xi
ni
4
10
7
15
10
25
15
5
Найти выборочные среднюю Хв и дисперсию Дв.
3. Найти выборочную среднюю по следующим данным:
Длина листьев садовой землянки (в см): 5,2; 5,6; 7,1; 6,6; 8,6; 8,2; 7,7;
7,8.
4. В итоге пяти измерений длины стрежня были получены следующие
результаты: 92, 94, 103, 105, 106 (мм). Найти выборочную среднюю,
выборочную дисперсию прибора; среднее квадратическое отклонение.
Практическая работа №9
Тема: «Расчёт статистических оценок по частоте».
Цель: формирование умения и навыков по вычислению
статистических оценок по частоте
IвариантЗадача 1. События A в серии из n = 100 испытаний Бернулли
произошли m = 78 раз. Найти интервальную оценку для вероятности P
события A с надёжностью j = 0,9.
Задача 2. Точность работы станка – автомата проверяется по
дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна
превышать 0,15. По пробе из 25 случайно отобранных изделий
вычислена оценка дисперсии: S2 = 0,25. При уровне значимости £ =
0,05 дать ответ на вопрос, обеспечивает ли распределенная случайная
величина.
Задача 3. Вычислить с надёжностью 0,98 интервальную оценку для
дисперсии нормального распределения, если по выборке объёма n = 17
вычислена оценка S2 = 25.
IIвариант
δ
= 2.
Задача 1. Найти минимальный объём выборки из нормальной
генеральной совокупности, при котором с надёжностью, не меньше j =
0,9 погрешность средней, найдено по этой выборке, будет меньше E =
0,3 если среднее квадратическое отклонение
Задача 2. На контрольных испытаний n = 15 ламп была определена
средняя продолжительность горения лампы, X = 3000 ч.
Считая, что срок службы ламп распределен нормально с
= 16 ч.
Определить доверительную вероятность того, что точность средней
равна 10 ч.
Задача 3. Некоторое тело с равной вероятностью перемещается на
одиночное расстояние либо вправо, либо вверх, либо вниз. Требуется
оценить математическое ожидание
М(Х )расстояния тела от начального положения после k перемещений
(расстояние от начального положения – величина случайная в силу
случайности перемещений; обозначим его Х).
δ
Практическая работа №10
Тема: «Приблизительное нахождение, (оценивание) площади
плоской фигуры с помощью метода статистических испытаний».
Цель: уметь решать математические задачи и задачи имеющие
случайные явления с помощью метода статистических испытаний.Iвариант
γ
γ
γ
xг<5,08]
xг<6,64]
xг<21,67]
Задача 1.
Даны среднее квадратическое отклонение, выборочная средняя и
объём выборки нормально распределённого признака генеральной
совокупности. Найти доверительные интервалы для оценки
генеральной средней xг с заданной надёжностью.
a) σ=3; xв=4,1; n=36; =0,95. [3,12<
b) σ=2; xв=5,4; n=10; =0,95. [4,16<
c) σ=3; xв=20,12; n=25; =0,99. [18,57<
Задача 2.
По данным девяти независимых равноточных измерений физической
величины, найдены среднее арифметическое результатов отдельных
измерений xв =42,319 и «исправленное» среднее квадратическое
отклонение s=5. Требуется оценить истинное значение a измеряемой
величины с надёжностью 0,95. [38,469
Мат стат.doc
