Сборник практических работ по предмету «Основы математической статистики»

Актюбинский кооперативный колледж  Сборник практических работ  по предмету «Основы математической статистики» Специальности: 1304000 «Вычислительная техника и программное обеспечение» Составитель: Пластун Н. А. г. Актобе  Для   знаний   и приобретения   необходимых   практических   навыков   по закрепления   теоретических предмету   «Основы   математической   статистики» предусматривается проведение практических занятий. Сборник   практических   работ   по   предмету   «Основы математической   статистики»   составлен   в   соответствии   с рабочей   учебной   программой   и     предназначен   для обучающихся   в   средних   учебных   заведениях   для применения теоретических знаний в практике. Практическая работа №1 Тема: «Расчёт количество выборок». Цель: Уметь определить тип комбинаторного объекта; рассчитать  количество выборок в заданных условиях. I вариант 5;  14 + С10 15.        7+А3 14 + С10 1. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма. 2. Сколько чисел среди первой тысячи натуральных чисел не делиться ни на 2, 3, 5 и 7. 3. Вычислить: а) А3 6+А3                           б) Р5 + Р6 / Р4;                           в) С9 4. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр? 5.   Из   3   экземпляров   учебника   алгебры,   7   экземпляров   учебника геометрии и 6 экземпляров учебника физики надо выбрать компонент, содержащий все 3 учебника по одному разу. Сколькими способами это можно сделать? 6. В розыгрыше личного первенства по шахматам было сыграно 120 игр. Сколько было  участников, если каждые два участника встретились один раз?   II вариант 1. Сколькими способами можно выбрать согласную из слова «здание» и «паркет». 2. Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел не делиться ни на 2, 3, 5. 6;  7 + С0 6 + А4 3. Вычислить: а) А5 6 + А3                          б) Р6 + (Р7 ­ Р3);                          в) С5 5.        4. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 не повторяя цифр в числе? 5. Сколькими способами можно на шахматной доске два квадрата – белый и чёрный? Решите эту задачу, если нет ограничений на цвет квадратов.  Решите её если надо выбрать два белых квадрата. 6. В группе 20 юношей и 10 девушек. Сколькими способами можно выбрать 3 юношей и 2 девушек для участия в следе студентов? Практическая работа №2 Тема: «Вычисление вероятностей случайных событий». Цель: научить вычислять вероятности случайных событий. I вариант      Задача 1. Сколькими способами из  N  + 25 учеников класса можно выделить актив в следующем составе: староста, редактор стенгазеты, профорг? Задача   2.   Станок   с   программным   управлением   выполняет    N  +   7 операций. Сколькими способами можно составить программу работы станка с выполнением всех операций по одному разу? Задача 3. Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили N + 4 щуки, пометили их и пустили обратно в пруд. Сколькими способами можно второй раз выловить 9 щук, чтобы среди них были 3 помеченные? Задача   4.   Решить   задачу,   пользуясь   определением   геометрической вероятности. Электропривод, соединяющий пункты А и В, порвался в неизвестном месте. Чему равна вероятность того, что разрыв произошел не далее 500 м от пункта А, если расстояние между пунктами (N + 1) км. Задача   5.   Решить   задачу,   используя   классическое   определение вероятности. Экзаменационные   работы   по   математике,   которые   писали абитуриенты  при поступлении в университет, зашифрованы целыми числами от 1 до (N + 90) включительно. Какова вероятность того, что номер наудачу взятой работы кратен 10 или 11? II вариант Задача 1. В шахматном турнире участвуют N + 5 школьников и N + 15 студентов. Сколькими способами могут распределиться три призовых места,   занятые   в   турнире,   если   никакие   два   участника   не   набрали одинаковое количество очков? Задача   2   На   выставке­продаже   автомобилей   представлено  N  +   12 видов машин. Сколькими способами их можно расставить в ряд для показа? Задача 3. Из  N  + 8 роз и  N  + 6 георгинов нужно составить букет, содержащий 2 розы и 3 георгина. Сколько можно составить различных букетов? Задача   4.   Решить   задачу,   пользуясь   определением   геометрической вероятности. На паркетный пол (паркет имеет форму квадрата) бросается монета, диаметр   которой   в  N  +   1   раз   меньше   стороны   квадрата.   Какова вероятность того, что монета не пересечет не одной стороны квадрата (предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна   площади   этой   фигуры   и   не   зависит   от   ее расположения на плоскости). Задача   5   Решить   задачу,   используя   классическое   определение вероятности. Из  N + 30 учащихся спортивной школы 12 занимаются баскетболом, 15   –   волейболом,   5   –   волейболом   и   баскетболом,   а   остальные   – другими видами спорта. Какова вероятность, что наудачу выбранный спортсмен занимается только волейболом или только баскетболом? Практическая работа №3 Тема: «Вычисление вероятностей сложных событий». Цель: научить вычислять вероятности сложных событий. I вариант      Решить задачу, используя формулу Байеса Задача 1 Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле для первого ракетного расчета равна 0.02(N  + 1), а для второго – 0.03(N  +   1).   Каждое   из   орудий   производит   по   одному   выстрелу, причем   зарегистрировано   одно   попадание   в   самолет.   Какова вероятность, что удачный выстрел принадлежит первому расчету? Задача   2.   Каждый   из   танков   независимо   сделал   выстрел   по некоторому   объекту.   Вероятность   поражения   цели   первым   танком равна   0.7,   вторым   –   0.1N.   Объект   поражен   одним   попаданием. Определить вероятность того, что объект поражен вторым танком. Задача 3. Случайная величина X принимает только 2 значения: 1 и ­1, каждое   с   вероятностью   0,5.   Найти   дисперсию   Д(X)   и   среднее квадратическое отклонение  (δ X).  Задача 4. Дисперсия случайной величины Д(X)=6,25. Найти среднее  квадратическое отклонение  (δ X). Задача 5. Найти, закон распределения случайной величины  X  задан таблицей: X P 10 1/2 4 1/4 20 1/4 Определить математическое ожидание M(X), дисперсию Д(X) и среднее квадратическое отклонение  (δ X). 5.   К   случайной   величине   прибавили   постоянную  a.   Как   при   этом изменяется её: а) математическое ожидание; б) дисперсия? II вариант Решить задачу, используя формулу Байеса Задача 1 В группе из N + 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории   вероятностей,   имеется   10   отличников,   7   подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно, а остальные – плохо подготовлены. Отличники   знают   все   30   вопросов   программы,   хорошо подготовленные – N + 20, подготовленные удовлетворительно – 15, и плохо подготовленные знают 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен удовлетворительно.  Задача 2.Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны 0,01(N + 1), 0,01(N + 2), 0,01(N + 3) Задача 3.  Какова вероятность того, что первый стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины? Задача 4. Дисперсия случайной величины Д(X)=6,25. Найти среднее  квадратическое отклонение  (δ X). Задача 5. Найти, закон распределения случайной величины  X  задан таблицей: X P 0 0,2 1 0,4 2 0,3 3 0,08 4 0,02 Определить математическое ожидание M(X), дисперсию Д(X) и среднее квадратическое отклонение  (δ X). 5. Случайную величину умножили на a. Как при этом изменяется: а) математическое ожидание; б) дисперсия? Практическая работа №4 Тема: «Вычисление вероятностей по теореме Лапласа». Цель: формирование умений и навыков при вычислении вероятностей по теореме Лапласа I вариант      Задача 1 . Вычислить вероятности того, что при 100­кратном бросании монеты герб выпадет а) ровно 50 раз; б) ровно 60 раз. Задача   2   .   В   первые   классы   должно   быть   принято   200   детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0.515.  Задача 3 . Вычислить вероятность наступления случайного события от 790 до 830 раз в 900 независимых испытаниях, если p=0,9. Задача 4 . Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?  Задача   5   .   Игральную   кость   бросают   80   раз.   Найти   приближенно границы,   в   которых   число   выпадений   шестерки   будет   заключено   с вероятностью 0,9973.  II вариант Задача 1 . Вероятность успеха в каждом испытании равна 0.25. Какова вероятность, что при 300 испытаниях успех наступит а) ровно 75 раз; б) ровно 85 раз?  Задача 2 . Построить график функции Лапласа Задача 3 .  Какова вероятность того, что в столбике  из  100 наугад отобранных монет число монет, расположенных "гербом" вверх, будет от 45 до 55?  Задача 4 . Сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, чтобы с вероятностью 0.92 можно было ожидать отклонение частоты выпадения "герба" от теоретической вероятности 0.5 на абсолютную величину, меньшую чем 0.01?  Задача 5 . В поселке А 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город В, выбирая дни поездок независимо от остальных   жителей.   Какой   наименьшей   вместительностью   должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней? (Поезд идет раз в сутки.)  Практическая работа №5 Тема: «Вычислите вероятностей в схеме Бернулли». Цель: уметь вычислять вероятность событий по формуле Бернулли. I вариант      Задача 1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равно 1/5. Найти вероятность того, что из десяти выстрелов  не будет ни одного попадания. Задача 2. В ящике находиться 80 стандартных и 20 не стандартных деталей. Найти вероятность того, что из 5 взятых на удачу деталей не менее 4 окажутся стандартными. Задача 3. В урне 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность, что оба шара белые.   Задача 4. Для нормальной работы станции корой медицинской помощи требуется не менее 8 автомашин, а их имеется 10. Найти вероятность нормальной   работы   станции   в   ближайший   день,   если   вероятность ежедневной неисправности каждой автомашины равно 0,1.  II вариант Задача   1.   В   квартире   6   электролампочек.   Вероятность   того,   что каждая   лампочка   останется   исправной   в   течение   года,   равно   5/6. Найти   вероятность   того,   что   в   течение   года   придётся,   занимать   2 лампочки. Задача 2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равно 0,9. Найти вероятность 5 попаданий при 6 выстрелах. Задача   3.   В   партии   из   8   деталей   имеется   6   стандартных.   Найти вероятность   того,   что   среди   5   взятых   наугад   деталей   равно   3 стандартных. Задача 4. Вероятность того, что расход электроэнергии в техникуме в течение одних суток не превысит установленной нормы, равно P=0,85. Найти   вероятность   того,   что   в   ближайшие   25   суток   расход электроэнергии в течение 20 суток не превысит нормы.  Практическая работа №6 Тема: «Вычисление  вероятностей в схеме Бернулли Y (Y=x1+x2+… + x n: N­большое)» Цель:  формирование умений и навыков у учащихся при вычислении вероятностей по схеме Бернулли. I вариант      Задача   1   Длина   изготовляемых   изделий   представляет   случайную величину, среднее значение которой (математическое ожидание) равно 90 см. Дисперсия этой величины равна 0,0225. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что:  а) отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4;  б) длина изделия выразится числом, заключенным между 89,7 и 90,3 см. Задача 2. Случайная величина распределена нормально с параметрами  δ =   3.   Найти   вероятность   того,   что   случайная   величина   в a  =   8,   результате опыта примет значение, заключённое в интервале (12,5; 14). Задача 3. Задана случайная величина XN( ,). Найти  вероятность того, что эта случайная величина принимает значение: А) в интервале [a,b]  Б) меньше К В) больше L Задача   4.   По   данным   пяти   независимых   равноточных   измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов, отдельных   измерений   Хв  =   2,17В   и   «исправленное»   среднее квадратическое   отклонение  S  =   5.   Требуется   оценить   истинное значение a измеряемой величины с надёжностью 0,95. II вариант Задача  1.   Устройство   состоит   из   10   независимо   работающих элементов.   Вероятность   отказа   каждого   элемента   за   время   t   равна 0,05. используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним   числом   (математическим   ожиданием)   отказов   за   время   t окажется меньше 2. Задача 2. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с параметрами: a = 0,   δ = 9 мм. Проводятся при независимых измерениях. Найти вероятность того, что погрешность хотя бы одного измерения не превосходит по абсолютной величине 3 мм. Задача   3.   По   15   равноточным   измерениям   найдено   «исправленное» среднее   квадратическое   отклонение  S  =   0,12.   Найти   точность измерений a с надёжностью 0,99. Задача   4.   По   данным   пяти   независимых   равноточных   измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов, отдельных   измерений   Хв  =   2,17В   и   «исправленное»   среднее квадратическое   отклонение  S  =   5.   Требуется   оценить   истинное значение a измеряемой величины с надёжностью 0,95. Практическая работа №7 Тема: «Расчет количества выброк» Цель:   формирование   умений   и   навыков   учащихся   при   вычислении расчетов количества выборок. I­вариант Задача 1. Заданы вероятности трёх событий: А1, А2, А3, образующих полную   группу:  p3=P(А3)=0,47. разыграть пять испытаний, в каждом из которых появляется одно из трёх рассматриваемых событий.  p2=P(А2)=0,31,  p1=P(А1)=0,22, Задача 2. Заданы вероятности четырёх событий, образующих полную группу:  p1=P(А1)=0,15,  p2=P(А2)=0,64,  p3=P(А3)=0,05,  p4=P(А4)=0,16. Разыграть 10 испытаний, в каждом из которых появляется одно из рассматриваемых событий. Задача 3. События A, B и C Независимы и совместны. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  A равна 0,6, События B – 0,2, события C – 0,4. II­вариант Задача 1. События A и B независимы и совместны. Разыграть четыре испытания, в каждом из которых вероятность появления события  A равна 0,7, а события B – 0,4. Задача 2. События  A  и  B  независимы и совместны. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  A равна 0,6, а события B – 0,8. Задача   3.   События  A  и  B  зависимы   и   совместны.   Разыграть   пять испытаний,   в   каждом   из   которых   заданы   вероятности:P(A)=0,5, P(B)=0,6, P(AB)=0,2.   Практическая работа №8 Тема: «Проверка гипотез о законе распределения на основе критерия согласия Пирсона». Цель: Уметь определять гипотезы. Знать методику проверки  гипотезы. I вариант 1. Построить полигон по данному распределению: 5 14 1 20 xi ni 4 10 7 6 2. Генеральная совокупность задана таблицей распределения: xi ni 1000 1000 1200 6000 1400 3000 Найти генеральную среднюю Xr и генеральную дисперсию Дr. 3. Найти выборочную среднюю по следующим данным: Длина крыла у 6 пчёл (в мм.): 9,68; 9,81; 9,77; 9,60; 9,61; 9,55. 4. Даны результаты измерения роста (в см) группы из 100 учащихся. Рост: [154; 158], [158; 162], [162; 166], [166; 170], [170; 174], [174; 178], [178; 182]. Соответствующее число уч­ся: 10, 14, 26, 28, 12, 8, 2,. Найти   выборочную   среднюю,   выборочную   дисперсию   и   среднее квадратическое отклонение. Указание: найти середины интервалов и принять их в качестве варианта.  II вариант 1. Построить гистограмму следующего распределения: Частичный   интервал длиной h 2­5 5­8 8­11 11­14 Сумма частот вариант частичного интервала ni 9 10 25 6 2. Выборочная совокупность задана таблицей распределения: xi ni 4 10 7 15 10 25 15 5 Найти выборочные среднюю Хв и дисперсию Дв. 3. Найти выборочную среднюю по следующим данным: Длина листьев садовой землянки (в см): 5,2; 5,6; 7,1; 6,6; 8,6; 8,2; 7,7; 7,8. 4. В итоге пяти измерений длины стрежня были получены следующие результаты: 92, 94, 103, 105, 106 (мм). Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию прибора; среднее квадратическое отклонение. Практическая работа №9 Тема: «Расчёт статистических оценок по частоте». Цель:   формирование   умения   и   навыков   по   вычислению статистических оценок по частоте I­вариант Задача   1.  События  A  в   серии   из  n  =   100   испытаний   Бернулли произошли m = 78 раз. Найти интервальную оценку для вероятности P события A с надёжностью j = 0,9. Задача   2.  Точность   работы   станка   –   автомата   проверяется   по дисперсии   контролируемого   размера   изделий,   которая   не   должна превышать   0,15.   По   пробе   из   25   случайно   отобранных   изделий вычислена оценка дисперсии:  S2  = 0,25. При уровне значимости £ = 0,05 дать ответ на вопрос, обеспечивает ли распределенная случайная величина.  Задача 3.  Вычислить с надёжностью 0,98 интервальную оценку для дисперсии нормального распределения, если по выборке объёма n = 17 вычислена оценка S2 = 25. II­вариант δ  = 2. Задача   1.  Найти   минимальный   объём   выборки   из   нормальной генеральной совокупности, при котором с надёжностью, не меньше j = 0,9 погрешность средней, найдено по этой выборке, будет меньше E = 0,3 если среднее квадратическое отклонение  Задача 2.  На контрольных испытаний  n  = 15 ламп была определена средняя продолжительность горения лампы, X = 3000 ч.  Считая, что срок службы ламп распределен нормально с   = 16 ч. Определить доверительную вероятность того, что точность средней равна 10 ч. Задача 3.  Некоторое тело с равной вероятностью перемещается на одиночное расстояние либо вправо, либо вверх, либо вниз. Требуется оценить математическое ожидание  М(Х )расстояния тела от начального положения после k перемещений (расстояние от начального положения – величина случайная в силу случайности перемещений; обозначим его Х). δ Практическая работа №10 Тема: «Приблизительное нахождение, (оценивание) площади плоской фигуры с помощью метода статистических испытаний». Цель: уметь решать математические задачи и задачи имеющие случайные явления с помощью метода статистических испытаний. I­вариант  γ γ γ xг<5,08] xг<6,64] xг<21,67] Задача 1. Даны среднее квадратическое отклонение, выборочная средняя и  объём выборки нормально распределённого признака генеральной  совокупности. Найти доверительные интервалы для оценки  генеральной средней xг с заданной надёжностью. a) σ=3; xв=4,1; n=36;  =0,95.                                        [3,12< b) σ=2; xв=5,4; n=10;  =0,95.                                        [4,16<  c) σ=3; xв=20,12; n=25;  =0,99.                                    [18,57<  Задача 2. По данным девяти независимых равноточных измерений физической  величины, найдены среднее арифметическое результатов отдельных  измерений xв =42,319 и «исправленное» среднее квадратическое  отклонение s=5. Требуется оценить истинное значение a измеряемой  величины с надёжностью 0,95. [38,469