Формулы сокращенного умножения:

Квадрат суммы

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Квадрат разности

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Разность квадратов

a² – b² = (a + b)(a – b)

Куб суммы

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² +  b³

Куб разности

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² -  b³

Сумма кубов

a³ + b³ = (a + b)( a² - ab + b²)

Разность кубов

a³ – b³ = (a – b)( a² + ab + b²)

Арифметическая прогрессия

Последовательность, у которой задан первый член  a₁, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом  d, называется арифметической прогрессией:

a_n+1 = a_n + d,   где d – разность прогрессии.

an = a1 + d(n – 1)	an = ak + d(n – k)
2an = an-1 + an+1	an + am = ak + al,  если  n + m = k + l

Геометрическая прогрессия

Определение: Последовательность, у которой задан первый член  b₁ ¹ 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число  q ¹ 0, называется геометрической прогрессией:

  b_n+1 = b_n q,   где q – знаменатель прогрессии.

bn = b1 qn – 1	bn = bk qn – k
bn2 = bn-1 bn+1	bn bm = bk bl,  если  n + m = k + l
	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Степень

Определение

, если n – натуральное число

a – основание степени, n - показатель степени

  

   Формулы

     

          

Арифметический квадратный корень

Определение

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a   -   ()   -  называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

       

Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a.

Квадратное уравнение:

ax² + bx + c = 0

 

Дискриминант:       D = b² – 4ac

 

 

 

Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение:    x² + px + q = 0

x₁ + x₂  =  - p

x₁ ×  x₂    =  q

Логарифм

Определение

Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое , что .

a - основание логарифма (a > 0, a ¹ 1),

b - логарифмическое число ( b > 0)

Десятичный логарифм:     

Натуральный логарифм:    где e = 2,71828

Формулы

                                                 

      

Дроби

Сложение                              

                                                                          Деление с остатком:

	Признак	Пример
На 2	Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой	…….6
На 4	Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4.	……12
На 8	Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8.	…..104
На 3	Числа, сумма цифр которых делится на 3.	570612
На 9	Числа, сумма цифр которых делится на 9.	359451
На 5	Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.	…….5
На 25	Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25.	……75
На 10	Числа, оканчивающиеся нулём.	……0

Формула деления с остатком:       n = m×k + r,  где n – делимое, m - делитель, k - частное, r – остаток: 0 £ r < m   Пример: Любое число можно представить в виде: n = 2k + r,  где r = {0; 1} или n = 4k + r,  где r = {0; 1; 2; 3}

Вычитание

Умножение

Деление

Составная дробь    

Делимость натуральных чисел:

Пусть n : m = k,  где n, m, k – натуральные числа.

Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.

Число n называется простым, если его делителями являются

только единица и само число n.

Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}

Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общихделителей, кроме единицы.

Десятичные числа:

Стандартный вид:   317,3 = 3,173× 10² ;          0,00003173 = 3,173× 10^-5

Форма записи:                      3173 = 3× 1000 + 1× 100 + 7× 10 + 3

Модуль

Формулы                                        Определение

·          ½x½ ³ 0       

·          ½x - y½ ³ ½x½ - ½y½           

·          ½-x½=½x½

·          ½x × y½ = ½x½ × ½y½

·          ½x½ ³ x

·          ½x : y½ =½x½ : ½y½

·          ½x + y½ £ ½x½ + ½y½

½x½² = x²

Неравенства

Определения:

Неравенством называется выражение вида:       

a < b   (a £ b),      a > b   (a ³ b)          

Основные свойства:

Модуль: уравнения и неравенства

1.       

2.

3.

4.

5.

Периодическая дробь

 Правило:

Признаки делимости чисел:

Проценты

Определение:

Процентом называется сотая часть от числа.                  1%A = 0,01A

 

Основные типы задач на проценты:

Сколько процентов составляет число A от числа B?  

B                     -                      100%                  

A                     -                      x%                                         

Сложные проценты.

Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%.

Как, в итоге, изменилось исходное число?

1)         A₁ = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A      

2)         A₂ = (100% - 25%)A₁=75%A₁ = 0,75A₁ = 0,75×1,2A = 0,9A = 90%A

3)         A₁ – A = 90%A – 100%A = -10%A             

Þ Ответ:       уменьшилось на 10%. Изменение величины.

Как изменится время,  если скорость движения увеличится на 25%?

Þ                    Ответ:            уменьшится на 20%

 

      

Þ                    Ответ:            уменьшится на 20%

Среднее арифметическое, геометрическое

Среднее арифметическое:                                                     

Среднее геометрическое:          

Уравнение движения

Пусть  - уравнение движения материальной точки, где S – путь, t – время движения.                                  

Тогда: ,

где  – скорость, - ускорение.

Определенный интеграл

Первообразная элементарных функций

№	f(x)	F(x)		№	f(x)	F(x)
1				6
2
				7
3
4				8
5				9

Правила вычисления первообразной функции

Определение:                   Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если .

Функция	Первообразная

Правила вычисления производной функции

	Сложная функция:

Производные элементарных функций

№	Функция	Производная		№	Функция	Производная
1				6
2				7
3
				8
4
5				9

Равносильные уравнения:

Исходное уравнение		Равносильное уравнение (система)
	Û
	Û
	Û
	Û

Числовые множества:

Натуральные числа	N = { 1; 2; 3; 4; . .}
Целые числа	Z = N È       { 0; -1; -2; -3; …}
Рациональные числа	Q = Z È
Действительные числа	R = Q È

 

Тригонометрия

Основные триг. формулы

 

   Þ                 

                                  

        Þ  

     

Формулы суммы функций

  

  

                                  

Формулы суммы аргументов:

       

 

   

Формулы произведения функций

Формулы половинного аргумента

 

Формулы двойного аргумента

Формула дополнительного угла

      где

    

Определение тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Универсальная подстановка

      

Свойства тригонометрических функций

Функция	Свойства
	Область определения	Множество значений	Четность-нечетность	Период
cosx			cos(-x)= cosx	2p
sinx			sin(-x)= -sinx	2p
tgx			tg(-x)= -tgx	p
ctgx			ctg(-x)= -ctgx	p

 

Тригонометрические уравнения

Косинус:

Уравнения с синусом

Частные формулы:

Общая формула:

Уравнения с тангенсом и котангенсом

       

Формулы обратных триг функций

                      

 

Если  0 < x £ 1, то arccos(-x) = p - arccosx  arcsin(-x) = - arcsinx

Если  x > 0 , то arctg(-x) = - arctgx  arcctg(-x) = p - arcctgx

Обратные триг функции

Функция	Свойства
	Область определения	Множество значений
arccosx		[0; p]
arcsinx		[-p/2; p/2]
arctgx		(-p/2; p/2)
arcctgx		(0; p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрия

Теорема косинусов, синусов

                                              Теорема косинусов:

                                 

                                                Теорема синусов:

                                              

Площадь треугольника

           

 

 

 

             

Средняя линия

                                           Средняя линия – отрезок,                                                                                                                                 с                                          соединяющий  середины двух                 с                                            сторон треугольника.

                                                 Средняя линия параллельна                        т                                                      третьей стороне и равна            е                                                    её     половине:

Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного

Равносторонний треугольник

треугольник, у которого все стороны равны.

v  Все углы равны 60⁰.

v  Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.

v  Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

v  Радиусы окружностей:   

Площадь  

Равнобедренный треугольник

треугольник, у которого две стороны равны.

                              1.Углы, при основании треугольника, равны

                     2.Высота, проведенная из вершины, является                 б                           биссектрисой и медиан

 

 

 

 

bc

Прямоугольный треугольник

 

 

 

 

v  Теорема Пифагора:       Площадь:  

v  Тригонометрические соотношения:           

v  Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

v  Радиусы окружностей:  

v  Высота, опущенная на гипотенузу:           

v  Катеты: 

Основные соотношения в треугольнике

Ø  Неравенство треугольника:

a + b > c; a + c > b; b + c > a

Ø  Сумма углов: a + b + g = 180⁰

Ø  Против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Ø  Против равных сторон лежат равные углы, и обратно, против равных углов лежат равные стороны.

Биссектриса

 

 

 

 

Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.

·          Биссектриса делит противолежащую сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам: a_b : a_c = b : c

·          Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам.

·         

 

Конус

H

                    

                       

R

                         S_бок.= pR(R+L)

 

Усеченный конус

 

                     

                      

 

 

Вписанная окружность

 

 

 

 

 

·          Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.

·          Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой:                     

                        a + b = c + d

Описанная окружность

Касательная, секущая

 

 

·           

·          Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам.

·          Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

·          Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная.

·          Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой: 

Длина окружности, площадь

 

 

 

 

           

 

 

                                                      Хорда

 

              

 

 

 

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

·          Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.

·          В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности.

·          Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством: 

 

Шар

 

                                 

                        

 

Шаровой сектор

                    

 Шаровой сегмент

                        

                              

 

Центральный, вписанный угол

Сектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Касательная, секущая

 

 

 

 

 

 

 

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

X 

X 

X 

Призма

                            

 

 

 

прямая

призма

Цилиндр

 

Медиана

 

 

 

 

 

 

 

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

·          Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в  отношении 2:1 (считая от вершины треугольника).

·          Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями.

Правильная пирамида

                                  Правильная пирамида

                          пирамида, у которой в основании              и                        правильный многоугольник, а вершина  с           м                        проецируется в центр основания.

М                            Все боковые рёбра равны между м            м                              собой и все боковые грани – равные  м                               равнобедренные треугольники.

Усеченная пирамида

                   

                  

Скалярное произведение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумма,  разность векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Углы на плоскости

 

 

 

 

 

 

 

Перпендикулярность, коллинеарность

 

Перпендикулярные вектора:

Коллинеарные вектора:

 

Координаты вектора

Координаты вектора:    

 

Длина вектора:                                                               

 

Умножение вектора на число:          

Свойства прямых и плоскостей

 

 

 

 

 

 

 

 

(SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S.

 – расстояние от точки S до плоскости (ABCD).

a – двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD).

Теорема о трёх перпендикулярах:  

Функция	Значения
	0	00	p 6	300	p 4	450	p 3	600	p 2	900
cosx	1								0
sinx	0								1
tgx	0				1				-
ctgx	-				1				0

 

 

Выпуклый четырёхугольник

 

 

 

 

 

Произвольный выпуклый четырёхугольник:

ü  Сумма всех углов равна 360⁰.

ü  Площадь:

Правильный многоугольник

Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.

ü  Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.

ü  Сторона правильного n–угольника: 

Площадь правильного n–угольника: 

 

 

Произвольный выпуклый многоугольник

 

Произвольный выпуклый многоугольник:

ü  Сумма всех углов равна   

ü  Число диагоналей:   

Трапеция

 

 

 

 

 

Трапеция:

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией.

ü  Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна:   Площадь:

Квадрат

Квадрат:

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.

ü  Диагональ квадрата      Площадь:

 

 

Ромб

Ромб:

Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом.

ü  Диагональ ромба является его осью симметрии. Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали являются биссектрисами углов.

ü  Площадь:

Параллелограмм

Параллелограмм:

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельные называется параллелограммом.

ü  Середина диагонали является центром симметрии.

ü  Противоположные стороны и углы равны.

ü  Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

ü  Диагонали делятся точкой пересечения пополам:

ü  Площадь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямоугольный параллелепипед

                V=abc     d²=a²+b²+c²