Системы счисления

 Системы счисления

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых сис- тем, которые называются системами счисления. Символы алфавита систем счисления называются цифрами. Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах значение цифры не зависит от по- ложения в числе. Примером записи чисел в таких системах может служить римская система. В качестве цифр в ней используются неко- торые буквы латинского алфавита. Количество, сопоставленное им, приведено в табл. 1.2.

Таблица 1.2.

Цифры римской системы счисления

Число представляется как сумма или разность последователь- ности нужных цифр. Если слева от следующей стоит цифра, соответ- ствующая меньшему количеству, она вычитается, если справа – при- бавляется к числу. Пример:

IIXXX = 10 – 1 – 1 + 10 + 10 = 28₁₀

В позиционных системах количественное значение цифры за- висит от еѐ положения в числе. Обычно при записи числа в позици- онных системах используют арабские цифры. Количество цифр, ко- торое используется при этом, называется основанием системы. Оно определяет, во сколько раз различаются количества, соответствую- щие одинаковым цифрам, стоящим в соседних позициях числа, и ука- зывается нижним индексом после последней цифры числа. Если ос- нование системы, по которой записано число, не указано, по умолча- нию считается, что оно равно десяти.

Количество, соответствующее числу, можно представить в ви- де многочлена по степеням основания. Цифры, из которых составля- ется число, это коэффициенты, на которые надо умножить соответст- вующие степени основания. Первая цифра справа – коэффициент при

нулевой степени основания. Далее справа налево перечисляются ко- эффициенты при первой, второй и т. д. степенях. Примеры:

333₁₀ = 3 * 10² + 3 * 10¹ +3 * 10⁰;

333₁₂ = 3 * 12² + 3 *12¹ + 3 * 12⁰ = 3 * 144 + 3 * 12 + 3 = 471₁₀

1F3D₁₆ = 1 * 16³ + 15 * 16² + 3 * 16¹ + 13 * 16⁰ = 7997₁₀

37₈ = 3 * 8¹ + 7 * 8⁰ = 31₁₀

0110₂ = 0 * 2³ +1 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 6₁₀

1Кб = 2¹⁰ байт = 10000000000₂ байт = 1024₁₀ байт

Дробная часть числа раскладывается в многочлен по отрица- тельным степеням основания.

Алгоритмы перевода целого и дробного числа из одной пози- ционной системы в другую различны. Приведем в качестве примера алгоритм перевода целого числа А из привычной для нас системы по основанию 10 в число по основанию k. Для этого надо представить его как многочлен по степеням k (значения всех коэффициентов меньше k):

A = a_n–1 * k^n–1 + a_n–2 * k^n–2 + … a₁ * k¹ + a₀* k⁰

Коэффициенты при степенях k – это цифры числа A_k, обозна- чающие то же количество в новой системе:

Ak = an–1an–2… a1a0

Для того, чтобы определить их, на первом шаге разделим на- цело число A на k:

A_1ц = A / k = a_n–1 * k^n–2 + a_n–2 * k^n–3 + … a₁ * k⁰ .

a₀ – остаток от деления – это младшая цифра числа A_k. Теперь разделим нацело число A_1ц на k. Аналогично предыдущему получим численные значения остальных коэффициентов.

Применим этот алгоритм для представления числа 333₁₀ в пя- теричной системе. Обозначим операцию деления нацело как div(A; k), где A – делимое, k – делитель:

1) A_1ц = div (333; 5) = 66, остаток a₀ = 3;

2) A_2ц = div (66; 5) = 13, остаток a₁ = 1;

3) A_3ц = div (13; 5) = 2 , остаток a₂ = 3;

4) A_4ц = div (2; 5) = 0 , остаток a₃ = 2;

5) 333₁₀ = 2313₅ ;

6) Проверка: 3 * 5⁰ + 1 * 5¹ + 3 * 5² + 2 * 5³ =333

Базовой системой счисления в вычислительной технике явля- ется двоичная система. Так как коды чисел и команд в ней слишком длинные, в документации используют более компактную запись по родственным основаниям: в восьмеричной или шестнадцатеричной системе. В восьмеричной системе для записи числа используются цифры 0, 1, 2,.., 7. В шестнадцатеричной системе арабские цифры 0, 1,2,…, 9 дополняются начальными буквами латинского алфавита.

Из табл. 1.3 видно, что если добавить слева незначащие ноли, то значение каждой цифры восьмеричной системы можно предста- вить тремя, а шестнадцатеричной – четырьмя цифрами двоичной сис- темы.

При переводе числа из двоичной системы в восьмеричную число справа налево разбивают на группы по три разряда, и каждую тройку двоичных цифр заменяют одной восьмеричной. Если в по- следней группе слева осталась только одна или две цифры, ее допол- няют нолями.

Перевод в шестнадцатеричную систему делается аналогично, но двоичное число разбивают на группы по четыре цифры:

10001111111010₂    10 001 111 111 010₂     21772₈

10001111111010₂    10 0011 1111 1010₂     23FA₁₆

Таблица 1.3.

Таблица соответствия между начальными двоичными, восьмеричными, шестнадцатеричными и десятичными числами: