СистемыСчисления.ppt

Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр.
Числа:123, 45678, 1010011, CXL
Цифры:0, 1, 2, … I, V, X, L, …
Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Типы систем счисления:
непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
позиционные – зависит…

Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)



Десятичная египетская система счисления:

чёрта

хомут

верёвка

лотос

палец

лягушка

человек

Римская система счисления:
I – 1 (палец),
V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони),
L – 50,
C – 100 (Centum),
D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)

Правила:
(обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MDCXLIV =

1000

+ 500

+ 100

+ 50

+ 5

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

2389 = M M C C C L X X X I X

= 1644

Недостатки:
для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M)
как записать дробные числа?
как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =?
Где используется:
номера глав в книгах:
обозначение веков: «Пираты XX века»
циферблат часов
номера месяцев

Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Десятичная система: первоначально – счет на пальцахизобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Основание (количество цифр): 10

Другие позиционные системы:
двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
двадцатеричная (1 франк = 20 су)
шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Задача: в какой системе счисления число 58 записывается как «46x»? Определите основание системы счисления X.

в записи есть цифра 6, поэтому x > 6
переводим правую часть в десятичную систему



решаем уравнение

Задача: найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенство

в записи есть цифра 6, поэтому x > 6
переводим в десятичную систему





решаем уравнение

Задача: перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется неравенство

в записи есть цифра 3, поэтому x > 3
переводим в десятичную систему





решаем неравенство (перебор x = 4, 5, 6, …)

Задача: найдите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 имеет 3 значащих разряда.

минимальное 3-разрядное число

максимальное 3-х разрядное число?



решаем неравенство




(перебор x = 2, 3, 4, …)

Двоичная система: Алфавит: 0, 1Основание (количество цифр): 2

19

система счисления

4 3 2 1 0

= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19

6 5 4 3 2 1 0

наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу

2 1 0 -1 -2 -3

= 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3
= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375

Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей.

Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов.

0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
1 + 1 + 1 = 112

0-0=0 1-1=0
1-0=1 102-1=1

нужны устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);
надежность и помехоустойчивость двоичных кодов
выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными

двоичные числа имеют много разрядов;
запись числа в двоичной системе однородна, то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.

BCD = binary coded decimals (десятичные цифры в  двоичном коде)

10101,1 BCD = 15,8
10101,1 2 = 16 + 4 + 1 + 0,5 = 21,5

Основание (количество цифр): 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

101

система счисления

2 1 0

= 1·82 + 4·81 + 5·80
= 64 + 32 + 5 = 101

{

{

{

{

1 5 68
+ 6 6 28

1

6 + 2 = 8 = 8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0

08

0

4

4 5 68
– 2 7 78

(6 + 8) – 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1

78

1

5

Основание (количество цифр): 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

107

система счисления

2 1 0

= 1·162 + 12·161 + 5·160
= 256 + 192 + 5 = 453

A,10

B,11

C,12

D,13

E,14

F 15

B

{

{

{

{

A 5 B16
+ C 7 E16

1 6 D 916

10 5 11
+ 12 7 14

11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6

9

6

1

С В А16
+ A 5 916

С 5 B16
– A 7 E16

1 D D16

12 5 11
– 10 7 14

(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1

1

1 В А16
– A 5 916

Задача Баше:
Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.

+ 1 гиря справа
0 гиря снята
– 1 гиря слева

Веса гирь:
1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг
Пример:
27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг
1 1 1 13ур =
Реализация:
ЭВМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958)
50 промышленных образцов

40