Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Немчинова Татьяна Анатольевна, учитель математики высшей категории, МБОУ «Седанкинская СОШ»

Конспект урока «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника».

Планируемые образовательные результаты

Предметные

·          называют  синус, косинус и тангенс острого угла прямо­угольного треугольника; основное тригонометрическое тождество;

·         объясняют зависимость и соотношения между этими величинами;

·          применяют полученные знания и понятия при решении задач на нахождение синуса, косинуса и тангенса, острых углов;

·          сопоставляют, делают выводы, находят и исправляют ошибки;

·         оценивают результаты, свою деятельность в соответствии с критериями и поставленными целями; значимость полученного результата по теме.

Метапредметные

Регулятивные:

·         выдвигают гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;

·         обнаруживать и формулировать учебную проблему;

·          составлять план выполнения работы;

·         оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи;

·         формировать способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию в преодолении препятствий.

Коммуникативные:  

·      работать в группе;

·       использовать в общении правила вежливости;

·       выслушивать чужую точку зрения и обосновывать свою;

·       формулировать высказывание, адекватно использовать средства устного общения для решения коммуникативных задач;

·      согласовывать позиции и находить общее решение, обсуждать информацию;

·         выражать свои мысли и идеи.

Познавательные:

·         самостоятельно выделять и формулировать  познавательные цели;

·         структурировать знания;

·         выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий;

·         работать с информацией;

·         выполнять логические операции сравнения, анализа, обобщения, классификации, установление аналогий.

Личностные:

·         стремиться к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений;

·         устанавливать связи между целью деятельности и ее содержанием;

·         организовывать личностное информационное пространство;

·          проявлять  инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач;

·          использовать полученные знания в процессе обучения другим предметам и в жизни;

             Приложение 1

Лист самооценки ученика  8  класса  _____________________________ Дата_______________

Тема: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника  

16 и более баллов---- оценка 5

11-15 баллов-----------оценка 4

7-10 баллов------------ оценка 3

 менее 6 баллов -------оценка 2

                                                                                                                                   Приложение 2

Математический диктант

1. Закончи предложение: «Треугольник, у которого один угол прямой  называется…» 

  а) остроугольный; б) равнобедренный;   в) равносторонний; г) прямоугольный

2. Выберите прямоугольный треугольник:

3. Как называются стороны в прямоугольном треугольнике?   а) боковые стороны;

б) основания;    в) катеты и гипотенуза; г) параллельные стороны

4. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30°, чему равен другой острый угол? а)  90⁰ ;  б)  60°; в)  30°; г)  180°

5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30°, равен 15 см. Чему равна гипотенуза?   а) 15см; б)  7,5см; в)  20см; г)  30см.

Мотивирующие вопросы к определению темы

1. Какие соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника вы знаете?

2. Расположение сторон и углов треугольника: Назовите углы треугольника, стороны.

      А

  С                       В

Постановка проблемы

Решите  задачу:

Как найти угол наклона Пизанской башни? Её длина 60 м, а  расстояние от земли до верхнего края башни 50м.

Приложение 3

Историческая справка

 В математике есть раздел, который называется «тригонометрия». Тригонометрия - слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.

Очень интересна история возникновения термина «синус».

Впервые зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника, были найдены древнегреческим астрономом Гиппархом во 2 веке до н.э.

      В 4 веке появился уже специальный термин в трудах по астрономии индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Поскольку вычисления синуса тогда были связаны с полухордами в окружности, очень похожими на тетиву натянутого лука, то Ариабхата так и назвал это отношение «полутетива» или «ардхаджива» на санскрите. Затем термин сократился до просто «джива».

       В 9 веке арабские учёные при переводе трудов Ариабхаты не стали оставлять буквальный смысл этого слова, а заменили созвучным арабским «джайб» - «впадина», тем самым потеряв первоначальное значение термина.

Европейские же учёные добросовестно перевели «впадину» на латынь, получив слово «синус», которым мы и пользуемся до сих пор.

       История возникновения термина «косинус» не так интересна – это просто «дополнительный синус».

       «Тангенс» был известен ещё в 10 веке учёным Востока, а в Европе его открыли заново только в 14 веке, а в 16 он получил современное звучание, которое означает «касающийся», что так же связано с окружностью.

Современные короткие обозначения были введены в 17 веке. 

        Ещё древними учёными были найдены соотношения, связывающие синус, косинус и тангенс друг с другом простыми формулами.

               В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач и в наше время приводятся к задаче решения треугольников. Основное    тригонометрическое тождество: sin² A + cos² A = 1

Владимир Модестович Брадис – математик, педагог. Неоспоримая заслуга Брадиса в том, что он придумал способ, позволяющий сократить утомительные вычисления. Ученый выбрал наиболее необходимые инженерные расчеты функций, посчитал все их значения с большой точностью. Результаты расчетов представил в виде таблиц для каждой функции. Эти расчеты экономят нам время. Сейчас таблицы Брадиса вытеснены  компьютером.

     Заслуга Брадиса состояла в том, что он придумал способ, позволяющий до минимума сократить утомительные расчеты. Кропотливых расчетов Брадису предстояло проделать много, их он представил в виде таблиц. Эти таблицы стали советским бестселлером. С 1930-х годов их издавали ежегодно в течение 30 лет. Эту книжку читали миллионы. Школьники, студенты, инженеры – таблицы Брадиса были у всех. Однако миллионером он не стал, но прожил жизнь вполне благополучно.

                                                                                                                                                                   Приложение 4 

Самостоятельная работа № 1

                                                                  Самостоятельная работа № 2

1)  Записать отношение (1 балл).

2) Представить это отношение десятичной дробью (2балла).

3) Определить для какого угла это отношение записано  (2 балла).

4) Найти значение данного угла (3 балла).

Приложение 5

Требования к выполнению теста.

Тест даётся в качестве контрольного по теме «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника». В него включено 3 задания, два из которых на решение теоретического материала, одно задание содержат практическую направленность. Выполняется в течение 3-5 минут.

Критерии оценки:

Максимальное количество баллов за работу – 5 баллов.

Оценка «3» ставится за 3 балла.

Оценка «4» ставится за 4 балла

Оценка «5» ставится за 5 баллов

Тест. Вариант I

1.  (2б) Выберите верные утверждения.  Номера верных утверждений запишите в порядке возрастания, без запятых  и других знаков:

1)                      Синус острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла данного треугольника;

2)                      Если синус угла равен 0,4 , то косинус  этого угла равен 0,6;

3)                      Значение косинуса острого угла принадлежит промежутку (0;1);

4)                      Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

2.(1б)  Дано ∆АВС  ےС=90°, ے А=41°, ВС=5см. Найти АС:

 А) 5∙соs41°      Б) 5:tg41° В) 5∙tg41°         Г) 5:sin41°

3.(2б) Выберите истинные утверждения, их номера запиши без запятых и других знаков.          

М                                                                                                                                    N                                                                              S		1)MN катет, противолежащий к S 2)Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. 3)Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему. 4)Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета с гипотенузой
	Приложение 6 Рефлексия: Анонимное тестирование   Укажите свой класс.   Ответьте на 2 вопроса:   1.Оцените сегодняшний урок по 5-ти бальной системе:  1 – совсем не понравился, 2 – скорее не понравился, чем понравился, 3 – трудно сказать что-то определенное,        4 – понравился, но были уроки лучше,      5 – очень понравился  2.Сравните урок с использованием презентации и без нее: 1 – лучше, когда учитель пишет на доске, 2 – не вижу особых различий, 3 – с презентацией интереснее и понятнее.