Степень с натуральным показателем и её свойства

Определения
Свойства степени с натуральным показателем
Примеры применения свойств
Самостоятельная работа

Степенью числа а с натуральным показателем n,
(n > 1 ), называют произведение n множителей, каждый из которых равен а.
Пишут:
Читают: «а в n–ой степени»,
где а - основание степени; n – показатель степени

𝟐 3 𝟐𝟐 𝟐 3 3 𝟐 3

Очевидно, что: а 𝟏 а а 𝟏 𝟏𝟏 а 𝟏 = а
𝟎 𝒏 𝟎𝟎 𝟎 𝒏 𝒏𝒏 𝟎 𝒏 = 0
аº = 1

При возведении положительного числа
в любую степень всегда получаем
положительное число.
При возведении отрицательного числа
в чётную степень получаем положительное
число.
При возведении отрицательного числа в нечётную степень получаем отрицательное число.

1). Для любого числа а и любых натуральных чисел mиn справедливо равенство:
𝒂 𝒎 𝒂𝒂 𝒂 𝒎 𝒎𝒎 𝒂 𝒎 ∙ 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝒎+𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒎+𝒏 𝒎𝒎+𝒏𝒏 𝒂 𝒎+𝒏

Например: 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 ∙ 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 ∙ 𝟑 𝟕 𝟑𝟑 𝟑 𝟕 𝟕𝟕 𝟑 𝟕 = 𝟑 𝟏𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟏𝟐 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟑 𝟏𝟐

2). Для любого числа а, отличного от нуля и любых натуральных чисел mиn, таких чтоm>nсправедливо равенство:
𝒂 𝒎 𝒂𝒂 𝒂 𝒎 𝒎𝒎 𝒂 𝒎 : 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝒎−𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒎−𝒏 𝒎𝒎−𝒏𝒏 𝒂 𝒎−𝒏

Например: 𝟑 𝟗 𝟑𝟑 𝟑 𝟗 𝟗𝟗 𝟑 𝟗 : 𝟑 𝟕 𝟑𝟑 𝟑 𝟕 𝟕𝟕 𝟑 𝟕 = 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐

3). Для любого числа а и любых натуральных чисел mиn справедливо равенство:
𝒂 𝒎 𝒏 𝒂 𝒎 𝒂 𝒎 𝒂𝒂 𝒂 𝒎 𝒎𝒎 𝒂 𝒎 𝒂 𝒎 𝒂 𝒎 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒎 𝒏 = 𝒂 𝒎 ∙𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒎 ∙𝒏 𝒎𝒎 ∙𝒏𝒏 𝒂 𝒎 ∙𝒏

Например: 𝟑 𝟕 𝟐 𝟑 𝟕 𝟑 𝟕 𝟑𝟑 𝟑 𝟕 𝟕𝟕 𝟑 𝟕 𝟑 𝟕 𝟑 𝟕 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟕 𝟐 = 𝟑 𝟏𝟒 𝟑𝟑 𝟑 𝟏𝟒 𝟏𝟏𝟒𝟒 𝟑 𝟏𝟒

4).Для любых числела и b и любого натурального числа nсправедливо равенство:
𝒂∙𝒃 𝒏 𝒂∙𝒃 𝒂𝒂∙𝒃𝒃 𝒂∙𝒃 𝒂∙𝒃 𝒏 𝒏𝒏 𝒂∙𝒃 𝒏 = 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 ∙ 𝒃 𝒏 𝒃𝒃 𝒃 𝒏 𝒏𝒏 𝒃 𝒏

Например: 𝟑∙𝟓 𝟐 𝟑∙𝟓 𝟑𝟑∙𝟓𝟓 𝟑∙𝟓 𝟑∙𝟓 𝟐 𝟐𝟐 𝟑∙𝟓 𝟐 = 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 ∙ 𝟓 𝟐 𝟓𝟓 𝟓 𝟐 𝟐𝟐 𝟓 𝟐

5). 𝒂 𝒃 𝒏 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒃 𝒏 = 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 𝒃 𝒏 𝒃𝒃 𝒃 𝒏 𝒏𝒏 𝒃 𝒏 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏
Например: 𝟑 𝟓 𝟐 𝟑 𝟓 𝟑 𝟓 𝟑𝟑 𝟑 𝟓 𝟓𝟓 𝟑 𝟓 𝟑 𝟓 𝟑 𝟓 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟓 𝟐 = 𝟑 𝟐 𝟓 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟓 𝟐 𝟓 𝟐 𝟓𝟓 𝟓 𝟐 𝟐𝟐 𝟓 𝟐 𝟑 𝟐 𝟓 𝟐

𝟏). 𝒂 𝒎 𝟏𝟏). 𝒂𝒂 𝟏). 𝒂 𝒎 𝒎𝒎 𝟏). 𝒂 𝒎 ∙ 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝒎+𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒎+𝒏 𝒎𝒎+𝒏𝒏 𝒂 𝒎+𝒏
2). 𝒂 𝒎 𝒂𝒂 𝒂 𝒎 𝒎𝒎 𝒂 𝒎 : 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝒎−𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒎−𝒏 𝒎𝒎−𝒏𝒏 𝒂 𝒎−𝒏
3). 𝒂 𝒎 𝒏 𝒂 𝒎 𝒂 𝒎 𝒂𝒂 𝒂 𝒎 𝒎𝒎 𝒂 𝒎 𝒂 𝒎 𝒂 𝒎 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒎 𝒏 = 𝒂 𝒎 ∙𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒎 ∙𝒏 𝒎𝒎 ∙𝒏𝒏 𝒂 𝒎 ∙𝒏
4). 𝒂∙𝒃 𝒏 𝒂∙𝒃 𝒂𝒂∙𝒃𝒃 𝒂∙𝒃 𝒂∙𝒃 𝒏 𝒏𝒏 𝒂∙𝒃 𝒏 = 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 ∙ 𝒃 𝒏 𝒃𝒃 𝒃 𝒏 𝒏𝒏 𝒃 𝒏
5). 𝒂 𝒃 𝒏 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒃 𝒏 = 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 𝒃 𝒏 𝒃𝒃 𝒃 𝒏 𝒏𝒏 𝒃 𝒏 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏

1). а = −13 7 −13 −13 −13 −13 7 7 −13 7 · −13 10 −13 −13 −13 −13 10 10 −13 10
2). а = −27 17 −27 −27 −27 −27 17 17 −27 17 · −27 71 −27 −27 −27 −27 71 71 −27 71
3). а = − 101 2 − 101 − 101 − 101 − 101 2 2 − 101 2 · −101 6 −101 −101 −101 −101 6 6 −101 6
4). а = −43 14 −43 −43 −43 −43 14 14 −43 14 · −43 41 −43 −43 −43 −43 41 41 −43 41