Тела вращения Преподаватель: Князева
Тела вращения
Преподаватель:
Князева Светлана Евгеньевна
КЭИФ I курс
Цилиндр
Цилиндр
Цилиндр Прямым круговым цилиндром называется фигура, образованная вращением прямоугольника
3
Цилиндр
Прямым круговым цилиндром называется фигура, образованная вращением прямоугольника OABC вокруг одной из его сторон (AO).
О
А
В
С
Цилиндр Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей этих кругов, — образующими цилиндра (BC)
4
Цилиндр
Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей этих кругов, — образующими цилиндра (BC).
Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях
5 Цилиндр
5
Цилиндр
Цилиндр Радиусом цилиндра R называется радиус его оснований
6
Цилиндр
Радиусом цилиндра R называется радиус его оснований. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований, или перпендикуляр, проведенный из произвольной точки одного основания к другому основанию.
ОО1=АВ
Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры его оснований (АО)
7
Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры его оснований (АО). Она параллельна образующим
Цилиндр
ВС=AD=OA
Цилиндр Плоскость, проходящая через ось цилиндра
8
Цилиндр
Плоскость, проходящая через ось цилиндра АО, называется осевым сечением и представляет собой прямоугольник, две стороны которого являются образующими (ВС и В1С1), а две другие (ВВ1 и СС1) – диаметры оснований цилиндра.
О
R
Цилиндр Цилиндр, осевое сечение которого является квадратом (ВС=СС1), называется равносторонним цилиндром
9
Цилиндр
Цилиндр, осевое сечение которого является квадратом (ВС=СС1), называется равносторонним цилиндром.
В качестве площади боковой поверхности цилиндра принимается площадь развертки, равная
B1
C1
Цилиндр Площадь полной поверхности цилиндра состоит из суммы площадей двух оснований — кругов — и площади боковой поверхности цилиндра, т
10
Цилиндр
Площадь полной поверхности цилиндра состоит из суммы площадей двух оснований — кругов — и площади боковой поверхности цилиндра, т. е.
Цилиндр Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту
11
Цилиндр
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24π, а его объем равен 48π
12
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24π, а его объем равен 48π Найти его высоту.
Пример 1
Sбок = 24π, V = 48π. H = ?
13
Sбок = 24π, V = 48π. H = ?
Решение.
Пример 2 Диагональ осевого сечения цилиндра, равная , образует с плоскостью основания угол 45°
14
Пример 2
Диагональ осевого сечения цилиндра, равная , образует с плоскостью основания угол 45°. Найти боковую поверхность цилиндра, полагая π = 3,14.
15 Решение. BD =
15
Решение.
BD =
16 AB = AD
16
AB = AD
17 Пример 3
17
Пример 3
18 Решение.
18
Решение.
19
19
Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см
20
Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.
Пример 4
С
D
Дано : h=6 см, ОВ=ОА=5 см. ОК=4 см
21
Дано: h=6 см, ОВ=ОА=5 см. ОК=4 см.
Найти: SABCD.
Решение: SABCD=АВ·ВС.
ВС=h=6, следовательно, SABCD=6·АВ
АВ=2·АК
Из прямоугольного треугольника ОАК, по теореме Пифагора:
19 Конус
19
Конус
Рассмотрим плоскость π, в которой расположена окружность с центром в т
Рассмотрим плоскость π, в которой расположена окружность с центром в т.О.
11
Через центр окружности проведем прямую
Через центр окружности проведем прямую ОР, перпендикулярно плоскости π
12
Р
Через точку Р и каждую точку окружности проведём прямую
Через точку Р и каждую точку окружности проведём прямую.
13
Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью,
а сами прямые – образующими конической поверхности.
14
Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью,
15
15
Круговым конусом называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих…
16
Круговым конусом называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Конус называется прямым, если отрезок
17
Конус называется прямым, если отрезок ОР, соединяющий вершину конуса с центром основания, перпендикулярен плоскости основания.
Отрезок ОР называется высотой конуса
В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом
18
В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.
Круг называется основанием конуса
19
Круг называется основанием конуса.
О
L
Вершина конической поверхности – вершиной конуса.
Отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием, - образующими конуса.
L
L
Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту
20
Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.
L
L
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса
21
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.
Осевое сечение конуса это сечение, проходящее через ось конуса – так же равнобедренный треугольник
22
Осевое сечение конуса это сечение, проходящее через ось конуса – так же равнобедренный треугольник.
Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по окружности с центром на оси конуса
23
Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по окружности с центром на оси конуса.
Проводя различные сечения одного и того же кругового конуса, причём любого, можно получить эллипс, параболу и гиперболу
24
Проводя различные сечения одного и того же кругового конуса, причём любого, можно получить эллипс,
параболу и гиперболу.
Боковая поверхность конуса – круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора – длине окружности основания конуса
25
Боковая поверхность конуса – круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора – длине окружности основания конуса
Площадь основания Площадь боковой поверхности
26
Площадь основания
Площадь боковой поверхности
Площадь полной поверхности
Объем
Угол при основании осевого сечения конуса 60°, радиус основания 3
27
Угол при основании осевого сечения конуса 60°, радиус основания 3. Найти объем конуса с точностью до 0,1
Пример 1
28 Решение
28
Решение
Пример 2 Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник
29
Пример 2
Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Площадь боковой поверхности этого конуса равна 5. Найти площадь полной поверхности конуса.
Решение , . Осевое сечение конуса (по условию) — равносторонний треугольник, следовательно или тогда
30
Решение
,
.
Осевое сечение конуса (по условию) — равносторонний треугольник, следовательно
или
тогда
Окончательно
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
