Технологическая карта урока

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе.

Учитель МБОУ «Мглинская СОШ №1» Скок Валентина Михайловна

 

Тема урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений»

Автор УМК А.Г. Мордкович

Цель урока:

сформировать умение решать простейшие однородные тригонометрические уравнения;

решать тригонометрические уравнения по  заданному  алгоритму;

решать тригонометрические уравнения,  самостоятельно  выбирая  метод решения.

Планируемые результаты обучения, в том числе и формирование УУД:

Познавательные УУД: поиск и выделение необходимой информации для решения тригонометрических уравнений; выбор методов решения тригонометрических уравнений в зависимости от их типа; выдвижение гипотез и их обоснование; самостоятельное создание способов решения проблем.

Коммуникативные УУД: сотрудничество  в поиске и сборе информации; умение выражать свои мысли.

Регулятивные УУД: прогнозирование, контроль, коррекция, рефлексия, оценка, саморегуляция.

Личностные УУД: формирование учебной мотивации, адекватной самооценки, необходимости приобретения новых знаний.

 

Оборудование урока:  компьютер, проектор, слайды, тетради, чистые листы для самостоятельной работы, стенды по тригонометрии: а) значения тригонометрических функций, б) основные формулы тригонометрии.

Главная проблема урока:

 Решение тригонометрических уравнений. Выведение алгоритма решения однородных тригонометрических уравнений.

 

 

Тип урока: комбинированный.

 

 

 

                          Содержание урока

 

I. Организационный этап.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

Взаимное приветствие: проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, кто отсутствует).

 

II. Этап проверки домашнего задания

Задача: актуализировать полученные ранее знания.

 

 

Деятельность учителя:

  Учитель создает ситуацию успеха для формирования и повышения учебной мотивации,

Дает задания,  которые ученики выполняют известным способом (актуализация знаний),

организует фронтальную работу по проверке  знаний.

 

Деятельность учащихся:

взаимодействуют с учителем во время опроса, осуществляемого во фронтальном режиме. контролируют правильность ответов друг друга,       

сопоставляют своё решение с решением на презентации и выполняют самопроверку.

 

Способы деятельности:

1. Всему классу представляется устный диктант (на слайдах в презентации):

№1 Ответьте на вопросы:

- что называется  arcsin a?

- что называется arccos a?

- чему равен arcsin (-a)?

- назовите формулу нахождения корней уравнения  вида sinx = a?

- чему равен arcos (-a)?

- назовите формулу нахождения корней уравнения вида cos x = a.

№2. Вычислите устно:

1) arcsin ½

2) arcos 1/2

3) arccos √3/2

4) arcsin √2/2

2. Решение уравнений с взаимопроверкой:

№3. Решите уравнения  (в тетради, трое учащихся работают самостоятельно у доски, затем устная проверка ответов):

Варианта I	Вариант II
sin x = cos x = -	cos x = sin x = -
sin ( x -  ) = -1	sin ( x +  ) = 1

 

 

Проверка работы, выполненной на доске.  Каждый учащийся комментирует свой решенный пример. Выясняется, что учащиеся не поняли или не усвоили.

3. Самостоятельная работа через проектор на два варианта

 

Варианта I 1) 2sinx cosx = 1 2) cos2x – 5 cosx + 1 = 0

Вариант II 1) cos2x – sin 2x = 1 2) 2sin2x – 3sinx – 2 = 0

 

III. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений.

Деятельность учителя:

 Учитель проецирует на экране задание.

Обращает внимание на доску (экран), где расположены карточки с записью тригонометрических уравнений, и предлагает учащимся назвать те уравнения, которые они знают, каким способом можно решить.

Деятельность учащихся:

 сотрудничают с учителем и сверстниками; анализируют ситуацию, фиксируют затруднение; осознают то, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению,  качество и уровень усвоения; испытывают

волевую саморегуляцию в ситуации затруднения.

 

Способы деятельности:

Анализ уравнений по их виду и методу решения:

cos (4x – 2) = ½;

cos²x – 2cos x = 0;

cos²x – sin²x = 1;

3sin²x – 5sin x – 2 = 0;

2sin x – 3cos x = 0;

(tgx- √3)(2sin x/2 + 1) = 0;

3sin²x+sinx  cos x=2cos²x.

Учащиеся внимательно смотрят на доску. Затем поднимают руку, называют уравнение и говорят, как они его решают. После сказанного, если нет замечаний, карточка с записью названного уравнения убирается с доски. В результате на доске остаются карточки с уравнениями:

2sin x – 3cos x = 0;

3sin²x+sinx  cos x=2cos²x.

 

IV. Этап усвоения новых знаний.

Зачади: дать учащимся понятие однородных уравнений, способ их решения, добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решения.

 

Деятельность учителя:

 Организовывает работу обучающихся над формулированием гипотез и их обоснованием,  предлагает найти  метод решения неизвестного вида уравнений.

 

Деятельность учащихся:

Вырабатывают умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.

 

Способы деятельности:

Введение понятия однородного тригонометрического уравнения и способа решения:

            Называется вид уравнений, оставшихся на доске и предлагается записать тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений». Включатся проектор, через него проектируется на экран определение однородных  тригонометрических уравнений вида

1)      a sin x + b cos x = 0, где a  ≠ 0, b≠  0.

При делении уравнения a sin x + b cos x = 0, где a  ≠ 0, b≠  0 на cos x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются.

 Решается уравнение  2sin x – 3cos x = 0, подробно объясняется ход действия.

 

            Записывается на доске следующее уравнение:

3sin²x+sinx  cos x=2cos²x

  И с помощью вопросов подключаются учащиеся к активной работе.  Проверяем: каждый член уравнения имеет одну и ту же степень. Это уравнение однородное 2-ой степени. Проверяем если в этом уравнении одночлен аsin²x, если есть, то делим уравнение на cos²x ≠ 0 (так как sinх и cosх одновременно не могут равняться 0, согласно основному тригонометрическому тождеству).

2) asin²x + bsinx cosx + c cos²x = 0 где  а0, b0, с0.

Предлагается учащимся по желанию решить у доски это уравнение.

      

3.) Если в однородном уравнении второй степени а = 0 :

 b sin x cos x + c cos² x = 0 (т.е. в уравнении нет одночлена a sin² x), то уравнение решается путем разложения на множители.

b sin x cos x + c cos² x = 0

cos x (b sin x + c cos x) = 0

cos x = 0      или     b sin x + c cos x = 0 |   : cos x0,   x+

x= +     или      b tg x + c = 0

                                   tg x = -

                                       x = -arctg +

                          

Ответ:  +,   arctg = - +

 

V  Этап проверки понимания учащимися нового материала.

Задача:  установить, усвоили ли учащиеся способ решения нового вида уравнений.

Деятельность учителя:

Учитель предлагает выполнение  заданий с целью проверки усвоения знаний.

 

Деятельность учащихся:

Учащиеся включаются в работу. Называют вид уравнения и объясняют, как его можно решить.

Способы деятельности

Включается проектор, на экране уравнения.

Определите вид уравнения и укажите способ его решения

а) sin x = 2 cos x                                 г) 1+ 7cos² x + 3 sin²x =0

б) sin x + cos x = 0                        д) sin 3x – cos 3x = 0

в) 4cos 3x + 5 sin 3x =0                     е)  sin x cos x + cos² x = 0

 

VI Этап  закрепление нового материала

Задачи: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке для выполнения письменной работы.

Деятельность учителя:

Предлагается учащимся решить на доске уравнение.

Деятельность учащихся:

 самостоятельно  решают задания.   С помощью доски они выполняют самопроверку.

 Способы деятельности

Самостоятельная работа по применению правила решения однородных тригонометрических уравнений:

  sin 3x – cos 3x =0,

      -  = 0,

     tg3x =1,  

      tg3x = ,

      3x = ,

      x= + .

Ответ:  + .

 

 

VII Этап информации учащихся о домашнем задании

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

Еще раз повторяем способы решения однородных тригонометрических уравнений.

   Упр. № 169(в, г) № 170 (в, г) выполнить всем.  

 

VIII  Подведение итога урока.

Задача: систематизировать и обобщить знания учащихся по решению однородных тригонометрических уравнений.

Рефлексия:

- Что нового узнали на уроке?

- Чему научились?

- В чём испытывали трудности?

Оцените свою работу на уроке

1) Вопросы:

- С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?

- Какой вид имеют однородные уравнения первой степени, второй степени?

- Как решаются эти уравнения?

- Как решаются однородные уравнения второй степени, если в нем нет одночлена  sin²x?

2) Затем отмечается хорошая работа одних, недостаточная работа (активность) других учащихся, выставляются оценки за работу у доски, за устные ответы. После урока проверяются листочки, на которых решались уравнения, и листочки, на которых проверялись решения однородных уравнений и делаются соответствующие выводы.