Технологическая карта урока №1

Тема урока          Тригонометрические функции угла от 0° до 180°

Тип урока         Урок изучения нового материала.

Формируемые результаты

Предметные: формировать умение оперировать понятиями сину- са, косинуса, тангенса и котангенса угла от 0° до 180°, выводить и применять основное тригонометрическое тождество и формулы sin (180° − α) = sin α и cos (180° − α) = −cos α.

Личностные: формировать интерес к изучению темы и желание применять приобретённые знания и умения.

Метапредметные: формировать умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифициро- вать, самостоятельно выбирать основания и критерии для клас- сификации.

Планируемые результаты

Учащийся научится оперировать понятиями синуса, косинуса, тан- генса и котангенса угла от 0° до 180°, выводить и применять ос- новное тригонометрическое тождество и формулы sin (180° − α) =

= sin α и cos (180° − α) = −cos α.

Основные понятия

Единичная окружность, косинус угла от 0° до 180°, синус угла  от 0° до 180°, основное тригонометрическое тождество, тангенс угла от 0° до 180°, котангенс угла от 0° до 180°, тригонометриче- ские функции.

Организационная структура урока

Методические комментарии

В 8 классе понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса вводились как функции острого угла прямоугольного треугольника (§ 17 учебника

«Геометрия. 8 класс» А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского, М.С. Якира). Там же были рассмотрены основные соотношения между этими функциями одного

и того же угла, основное тригонометрическое тождество, вычислены зна- чения этих функций для некоторых «удобных» углов: 30°, 45°, 60°. Рекомен- дуем повторить этот материал перед изучением данного параграфа.

В 9 классе понятие этих же функций угла от 0° до 180° вводится с по- мощью единичной полуокружности. В дальнейшем для изложения сведений о тригонометрических функциях и их свойствах понятие единичной окруж- ности будет ключевым. Поэтому следует уделить особое внимание тому, чтобы все учащиеся понимали эту наглядную интерпретацию.

Для систематизации и установления связи с ранее изученным матери- алом можно после объяснения общей концепции соответствия углов и то- чек на единичной окружности рассматривать сущность тригонометриче- ских функций по такому плану.

Начать следует с рассмотрения синуса и косинуса для угла первой чет- верти. Учащиеся должны понять, что, поставив в соответствие каждой точ- ке единичной окружности для угла 0° H α H 90° некоторый треугольник со сторонами, равными координатам этой точки, мы фактически отождествля- ем определения синуса и косинуса, данные в 8 классе и изучаемые сейчас. Можно предложить учащимся, используя уже известные им метрические со- отношения в прямоугольном треугольнике, изобразить на полуокружности точки, соответствующие углам 30°, 45°, 60°, отметить на координатных осях значения синуса и косинуса для этих углов и самостоятельно найти эти зна- чения.

Далее следует перейти к значениям синуса и косинуса для углов 0°, 90°, 180°. Особо отметить, что с нулевыми значениями синуса и косинуса  в 8 классе учащиеся ещё не встречались.

Значения синуса и косинуса углов второй четверти с помощью графи- ческой интерпретации на единичной полуокружности легко выражаются через значения углов первой четверти. Желательно подвести учащихся к

самостоятельному выводу формул sin(180° - a) = sin a, cos(180° - a) = - cos a

с помощью единичной полуокружности.

Важно, чтобы учащиеся запомнили область значений синуса и косину- са и осознали, каким образом она следует из определения.

Функции тангенс и котангенс вводятся через функции синус и коси- нус как их частное. Следует обратить внимание учащихся на то, что в изуча- емом промежутке [0°; 180°] в тех точках, в которых синус и косинус прини- мают значение,  равное  нулю,  в  этих  точках  соответственно  котангенс  и тангенс не существуют.

Основное тригонометрическое тождество для острых углов рассма- тривается опять-таки с помощью единичной полуокружности и теоремы Пифагора. Единица в его правой части — это гипотенуза треугольника, рав- ная радиусу полуокружности. Для углов 0°, 90°, 180° в справедливости этоготождества учащиеся должны убедиться, подставив значения величин углов в формулу. Для тупых углов в учебнике продемонстрировано, как свести

значение выражения cos2 a + sin2 a для тупого угла к значению выражения

cos2 b + sin2 b,   где  β —  острый  угол,  β = 180°  − α.  Обязательно  следует разо-

брать с учащимися эти преобразования, поскольку далее этот инструмента- рий будет часто использоваться для преобразования тригонометрических выражений.