Tekisliklarning o‘zaro kesishuvi

Tekisliklarning o‘zaro kesishuvi

Ikki P va Q tekisliklar m to‘g‘ri chiziq bo‘yicha kesishadi, ya’ni Q Ç P = m. Demak tekisliklarning o‘zaro kesishish chizig‘ini yasash uchun har ikkala tekislikka tegishli bo‘lgan ikki E va F umumiy nuqtalarini aniqlash kifoya qiladi (100-rasm).

101-a,b rasmda P va Q kesishuvchi tekisliklar berilgan. Tasvirdan yaqqol ko‘rinib turibdiki, bu tekisliklarga umumiy bo‘lgan E va F nuqtalar tekisliklarning bir nomli izlarining kesishish nuqtalari bo‘ladi: E = Q_H Ç P_H va F = Q_V Ç P_V.

100-rasm                a)                                            b)                                                            101-rasm

Bu nuqtalar o‘zaro tutashtirilsa Q va P tekisliklarning l kesishuv chizig‘i hosil bo‘ladi: l = Q Ç P.

Chizmada (101-b,rasm) bu tekisliklarning kesishish chizig‘ining proyeksiyalarini yasash uchun tekisliklarning bir nomli izlarining kesishish E va F nuqtalarining E′, E″ va F′, F″ proyeksiyalari aniqlanadi va nuqtalarning bir nomli proyeksiyalari o‘zaro tutashtiriladi. Natijada, hosil bo‘lgan l′ va l″ to‘g‘ri chiziqlar Q va P tekisliklarning kesishish chizig‘ining proyeksiyalari bo‘ladi. Agar tekisliklarning izlari birinchi oktantda kesishmasa u holda bir nomli izlarini davom ettirib ularning kesishuv nuqtasini boshqa oktantda topish bilan kesishuv chizig‘i nuqtalarining proyeksiyalarini yasash mumkin.

 Masalan, T (T_H, T_V) va P (P_H, P_V) tekisliklarning (102-rasm) gorizontal izlari T_n va P_n ikkinchi oktantda kesishadi.

Kesishuvchi tekisliklarning biri gorizontal tekislik bo‘lsa, bu tekisliklar gorizontal chiziq bo‘yicha kesishadi.

                                                                                    a)                                b)                        

102-rasm                                                                      103-rasm

103-a,b-rasmda umumiy vaziyatdagi T tekislik bilan H₁ gorizontal tekislikning kesishish chizig‘i h gorizontal bo‘ladi. haqiqatdan, H₁ gorizontal tekislikning har bir nuqtasi H tekislikdan baravar uzoqlikda joylashgani uchun, tekisliklarning kesishuvchi chizig‘i h||H bo‘ladi. Agar umumiy vaziyatdagi tekislik frontal tekislik bilan kesishgan bo‘lsa, bu tekisliklar frontal bo‘yicha kesishadi.

Ammo kesishuvchi tekisliklarning biri proyeksiyalovchi tekislik bo‘lsa, proyeksiyalovchi tekislikning xossasiga muvofiq, ularning kesishish chizig‘ining proyeksiyalaridan biri proyeksiyalovchi tekislikning izida bo‘ladi (104-rasm).

Kesishuvchi tekisliklarning bir nomli izlari chizma chegarasida kesishmasa, ularning kesishish chizig‘ini yordamchi tekisliklar vositasida aniqlash mumkin. Masalan, umumiy vaziyatdagi P(P_H, P_V) va T(T_H, T_V) tekisliklarning kesishish chizig‘ini yasash uchun H₁ gorizontal va V₁ frontal tekisliklardan foydalaniladi (105-rasm).

H₁ gorizontal tekislikning frontal izini H_1V∥H qilib o‘tkaziladi. Bu tekislik P tekislikni h₁(h₁′, h₁″), T tekislikni h₂(h₂′, h₂″) gorizontallar bo‘yicha kesadi. Bu gorizontallarning kesishgan E(E′,E″) nuqtasi E′=h₁′Çh₂′ va E″=h₁″Çh₂″ P va T tekisliklarning kesishish chizig‘ining umumiy nuqtalaridan biri bo‘ladi.

Frontal tekislikni V_1H||V qilib o‘tkaziladi. Bu tekislik P va T tekisliklarni f₁(f₁′,f₁″) va f₂(f₂′,f₂″) frontallar bo‘yicha kesadi. Bu frontallarning kesishish F(F′, F″) nuqtasi P va T tekisliklarning kesishish chizig‘ining umumiy nuqtalaridan ikkinchisi bo‘ladi: F″ = f₁″Ç f₂′ va F′= f₁′Ç f₂″ bo‘ladi. Natijada, E va F nuqtalarning E′, F′ va E″, F″ proyeksiyalarini o‘zaro tutashtirsa P va T tekisliklarning l kesishish chizig‘ining l′ va l″ proyeksiyalari hosil bo‘ladi.

106-a,b-rasmdagi umumiy vaziyatdagi a∥b va cÇd chiziqlar bilan berilgan Q va P tekisliklarning kesishish chizig‘ini yasash uchun gorizontal H₁ va H₂ tekisliklar o‘tkazilgan.

Dastalab H₁ tekislikning Q va P tekisliklar bilan kesishish chiziqlarini aniqlash uchun tekisliklarni a, b va c, d, chiziqlarini 1, 2 va 3, 4 nuqtalarda kesganligi belgilanadi. Bu nuqtalarni o‘zaro tutashtirganda, m₁ va n₁ chiziqlar hosil bo‘ladi, ya’ni: H₁ÇQ=m₁ va H₁ÇP=n₁ bo‘ladi. m₁ va n₁ to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasi E=m₁Çn₁Q va P tekisliklarga umumiy bo‘lgan birinchi nuqtadir.

104-rasm                                                                      105-rasm

a)                                   106-rasm                                                   b)

Xuddi shu tartibda Q va P tekisliklarning H₂ gorizontal tekislik bilan kesishish chizig‘ini aniqlanadi. Chizmada H₂ tekislik a, b va c, d chiziqlarni 5, 6 va 7, 8 nuqtalarda kesadi. Natijada: H₂Ç Q = m₂ va H₂ Ç P = n₂ hosil bo‘ladi. Rasmda H₂ || H₁ bo‘lgani uchun m₂ || m₁ va n₂ || n₁ bo‘ladi. Q va P tekisliklarning ikkinchi umumiy F nuqtasi bo‘lib u m₁ va n₂ chiziqlarning o‘zaro kesishish nuqtasi bo‘ladi: F = m₂ Ç n₂.

Har ikkala P va Q tekisliklar uchun umumiy bo‘lgan E va F nuqtalarni o‘zaro tutashtirsak, tekisliklarning kesishish chizig‘i hosil bo‘ladi.

Chizmada (106-b, rasm) Q va P tekisliklarning kesishish chizig‘ini yasash uchun H₁ gorizontal tekislikning H_1V izini o‘tkazib uni a″, b″ va s″, d″ chiziqlarning frontal proyeksiyalarini kesuvchi 1″, 2″ va 3″, 4″ nuqtalar belgilanadi. Bu nuqtalarning gorizontal 1′, 2′ va 3′, 4′ proyeksiyalarini aniqlab o‘zaro tutashtiriladi. m₁′ va n₁′ chiziqlar Q va P tekisliklarning H₁ tekislik bilan kesishgan chiziqlarning gorizontal proyeksiyalari bo‘ladi. Kesishuvchi chiziqlarning frontal m₁″ va n₁″ proyeksiyalari H₁ tekislikning H_1V izida bo‘ladi. hosil bo‘lgan m₁′ va n₁′ chiziqlarning kesishgan E′ nuqtasi Q va P tekisliklarining kesishuv chizig‘iga tegishli E nuqtaning gorizontal proyeksiyasi E′=m₁′Çn₁′ bo‘ladi. Bu nuqtaning E″ frontal proyeksiyasi esa H₁ tekislikning H_1V izida bo‘ladi: E″ÎH_1V.

Xuddi shu tartibda Q va P tekisliklarning kesishish chizig‘iga tegishli, ikkinchi F nuqtasining F′ va F″ proyeksiyalarini H₂ gorizontal tekislikning H_2V izini H_1V ga parallel qilib o‘tkazib aniqlanadi .

Chizmadagi E′, F′ va E″, F″ proyeksiyalarni o‘zaro tutashtiruvchi l′ va l″ chiziqlar Q va P tekisliklar kesishish chizig‘ining proyeksiyalari bo‘ladi.[1]

Скачано с www.znanio.ru