Тема урока. Решение текстовых задач с помощью составления систем уравнений.

Тема урока. Решение текстовых задач с помощью составления систем уравнений.

Цель урока: ознакомить учащихся с технологией решения текстовых задач составлением систем линейных уравнений с двумя переменными; выработать умение применять схему решения задач составлением системы уравнений при решении простейших задач; усовершенствовать умение применять различные способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными; развивать алгоритмическое и логическое мышление; воспитывать культуру математических записей.

Ход урока

I. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

III. Формулировка цели и задач урока.

Мотивация учебной деятельности учащихся

При изучении математики часто приходится решать задачи, возникающие в разных видах человеческой деятельности. Многие из этих задач решаются с помощью систем уравнений.

IV. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Устные упражнения

1.     х + у = 5,

х – у = 3.      

 2х = 8

 х = 4

 у = 5 – 4 = 1.            (4;1)

2.     х² – у² = 0,

х² + у² = 0.  

2х² = 0

х = 0, у = 0.            (0;0)

3.     х² + у² =1,

у =1.

х² +1 = 1

х² = 0

х = 0, у = 1.            (0;1)

4.     х² – у² = 3,

х² + у² = 5.

2х² = 8

х² = 4

х₁ = 2, х₂ = -2

при х₁ = 2                   при х₂ = -2

4 + у² = 5                    4 + у² = 5

у² = 1                          у² = 1

у₁ = 1, у₂ = -1              у₃ = 1,  у₄ = -1.

(2;1), (2;-1), (-2;1), (-2;-1).

V. Формирование знаний

Рассмотрим задачу.

Задача. Ученик задумал два числа, сумма которых равна 100, а разница – 26. Какие числа задумал учащийся?

(Учитель решает задачу на доске)

– Как мы обозначаем неизвестные величины? (х и у).

Обозначим I число – х, II число – у.

– Что известно об этих числах?

х + у = 100

х – у = 26

Получили систему уравнений

х + у = 100       

х – у = 26          Каким способом решим? (способом сложения)

2х = 126

х = 63 – І число,

у = 100 – 63 = 37 – ІІ число.

Ответ: 63 и 37.

Теперь на примере данной задачи составим схему решения текстовых задач с помощью систем уравнений. (Учащиеся говорят)

Схема решения текстовых задач с помощью систем уравнений

1. Из условия задачи выделить две величины, которые неизвестны. Отметить их буквами.

2. По условию задачи составить два уравнения системы.

3. Решить систему составленных уравнений.

4. Записать ответы в соответствии с условием задачи.

VI. Формирование умений

Найти стороны прямоугольника, периметр которого 28 дм, а диагональ – 10 дм.

                                                   Р = 28 дм,

                                                   х дм – длина прямоугольника,

         10                      у              у дм – ширина прямоугольника.

                          х

–        Составим уравнение

(х + у) ∙ 2 = 28

х² + у² = 10²  (получить по теореме Пифагора)

–        Получили систему уравнений, первое уравнение делим на 2, одержимо

х + у = 14

х² + у² = 100 

–        Каким способом решим данную систему? (подстановки)

х = 14 – у

(14 – у)²+ у² = 100

х = 14 – у

196 – 28у + у² + у² – 100 = 0

2у² – 28у + 96 = 0     ( : 2)

у² – 14у + 48 = 0

По теореме Виета

у₁ + у₂ = 14             у₁ = 6

у₁ ∙ у₂ = 48              у₂ = 8.

х₁ = 14 – 6 = 8                 (8;6)

х₂ = 14 – 8 = 6.                (6;8)

Ответ: 8 дм и 6 дм.

Работа в группах.

Задача.

Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу две группы туристов и встретились через 2 часа.

Найти скорость движения каждой группы, если первой для прохождения всего пути между пунктами требуется часа на 0,9 часа больше, чем второй.

 Решение

Пусть скорость первой группы туристов равна x км/ч, а второй — y км/год. Группы встретились через 2 часа, поэтому до встречи первая группа прошла 2x км, а вторая – 2y км. Итого они прошли 18 км, поэтому

Чтобы пройти весь путь протяженностью 18 км, первой группе нужно 18/x ч, а второй – 18/y ч. Поскольку первой группе на это нужно времени на 0,9 ч больше, чем второй, то:

Имеем систему уравнений:

По содержанию задачи значения х и у должны быть положительными: .

При таких условиях . Поэтому, умножив обе части второго уравнения на , будем иметь:

Решим полученную систему уравнений способом подстановки: y

Если

Если  – не удовлетворяет неравенство

Ответ. 4 км/ч; 5 км/ч.

Задача.

Сад и огород имеют прямоугольные формы. Длина сада на 30 м меньше от длины огорода, однако его ширина на 10 м больше ширины огорода. Найти размеры сада, если его площадь равна 900 м², а площадь огорода – 1200 м².

Решение

 По условию задачи составляем таблицу.

Имеем систему уравнений:

 ; 

;

;

Значение y₁ не удовлетворяет условию задачи (ширина сада не может выражаться отрицательным числом). Поэтому

Ответ. 30 м; 30 м.

Задача. Два рабочих должны выложить дорожку. После того как первый работник проработал 1 день сам, а затем 2 дня вместе со вторым, оказалось, что они выложили 2/3 всей дорожки. За сколько дней может выложить дорожку каждый рабочий, работая отдельно, если, работая вместе, они могут ее выложить за 4 дня?

Решение

 Пусть первый рабочий может выложить дорожку за x дней, а второй — за y дней. Тогда за 1 день первый рабочий выложит 1/x часть дорожки, второй — 1/y часть, а вместе — ¼  часть. Поэтому:

Когда первый рабочий проработал 3 дня, а второй – 2 дня, то они выложили 2/3 всей дорожки, поэтому:

Есть система уравнений:

Решив систему, находим:

Следовательно, первый рабочий может выложить дорожку за 6 дней, а второй – за 12 дней.

Ответ: 6 дней; 12 дней

Задача. Двухцифровое число в 4 раза больше суммы его цифр и на 16 больше произведения цифр. Найти это число.

Решение.

 Пусть искомое число имеет х десятков и единиц. Тогда оно равно . Это число: в 4 раза больше суммы его цифр, поэтому   на 16 больше произведения цифр, поэтому

Есть система уравнений:

Решив систему, находим: х₁= 2, у₁= 4; х₂=4, у₂=8.

Следовательно, искомым числом является 24 или 48.

Ответ: 24 или 48.

VII. Итоги урока

Какая из приведенных систем уравнений соответствует условию задачи: «Площадь прямоугольника равна 300 см2. Если его длину увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 5 см, то площадь будет равна 250 см2. Найти начальные размеры прямоугольника»?

х + у = 300                                                  

(х + 5)(у – 5) = 250,                                     (х + 5)(у – 5) = 250

ху = 300                                                       ху = 300     

(х + 5) + (у – 5) = 250,                                 (х + 5)(у – 5) = 250

VIII. Домашнее задание

Тестовое задание

1.                 Сумма двух чисел равна 2, а сумма их квадратов равна 4. Укажите систему уравнений, соответствующую условию задачи.

2.                 Произведение двух чисел равно -24. Укажите систему уравнений, которая соответствует условию задачи, если одно из них на 11 больше другого.

3. Два тракториста вспахали поле за 12 часов совместной работы. За сколько часов может вспахать это поле каждый тракторист отдельно, если первый может это сделать на 10 часов быстрее, чем второй? Укажите систему уравнений, отвечающую условию задачи

4.                 Из города А в город В выехал мотоциклист. Через 18 мин вслед за ним выехал автомобиль, проехав 40 км, догнал мотоциклиста. Найдите скорости автомобиля и мотоциклиста, если скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости мотоциклиста. Укажите систему уравнений, отвечающую условию задачи.

Скачано с www.znanio.ru