Поделиться
Шишкина Л. В. теорема синусов.ppt
Теорема синусов
Теорема косинусов
Учитель математики Шишкина Л. В. МОУ СОШ №24
А
В
С
а
с
b
ά
β
γ
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
ά
а
β
b
γ
с
Доказательство.
Теорема косинусов
= R
Где R – радиус описанной окружности
задача
Теорема косинусов
ά
а
β
b
γ
с
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника , минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
Доказательство
Решение задач
Теорема синусов
Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что теорема Пифагора содержится в теореме косинусов как частный случай.
γ
γ = 90 º
cos γ = 0
А
B
С
Историческая справка: Впервые теорема косинусов была доказана учёным –математиком аль-Бируни (973-1048 г.г.).
Аль-Бируни (ал-Бируни) Birouni Al (латинизир. Aliboron) Абу-р-Райхан Мухаммад ибн Ахмад Абу Раихан Мохаммед бен Ахмед (973 - 1048, по др. данным после 1050
Среднеазиатский учёный-энциклопедист и мыслитель. Работал в Кяте при дворе хорезмшаха Мухаммада, в Гургане при дворе князя Кабуса ибн Вушмагира, в Гургандже, в Хорезме при дворе хорезмшаха Ма'муна и с 1017 г., после захвата Хорезма султаном Махмудом Газневидом - в Газни. Участвовал в походах султана Махмуда в Индию, где прожил несколько лет. Писал на арабском языке.
Спасибо за внимание.
Теорема синусов (доказательство)
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
A
B
C
вернуться
Доказательство
А
B
С
х
y
b
а
с
А (0 ; 0)
В ( с ; 0 )
С( bcosA: bsinA )
BC2 = a2 = (bcosA – c )2 + b2 sin 2A =
=b2 cos 2A + b2 sin 2A – 2bc cos A +c2 =
= b2 + c2 - 2bc cos A
вернуться
А
В
С
D
300
13
5
О
Найдем площадь треугольника АОD
Площадь параллелограмма АВСD в 4 раза больше площади треугольника АОD. (смотри)
Чтобы найти площадь треугольника АОD, необходимо знать длину стороны АО
Рассмотрим Δ АОD
По теореме косинусов: ОD2 = АО 2+ АD2-2АО•АDcos ∟OAD
OD = 13:2 = 6,5
6,52 = AO2+25 -2•AO• cos 300
AO =
вернуться
Задача 2.Радиус описанной окружности около треугольника АВС равен . Найдите длину высоты ВН, если ∟А = 300, а ∟С = 450.
А
В
С
300
450
R =
?
По теореме синусов
= R
Где R- радиус описанной окружности
Н
Треугольник ВНС прямоугольный, равнобедренный
По теореме Пифагора
ВН = 2
вернуться
А
В
С
D
1. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам
а
а
b
b
ά
ά
180 - ά
180 - ά
2. sin a = sin(180 –a)
3. Площадь любого из четырех треугольников равна S = 1\2 a b sin a
назад
Площадь параллелограмма АВСD в 4 раза больше площади треугольника АОD.
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
