Теорема синусов и теорема косинусов

Теорема синусов и теорема косинусов с доказательствами.

Теорема синусов Теорема косинусов

Теорема синусов

Теорема косинусов

Учитель математики Шишкина Л. В. МОУ СОШ №24

А В С а с b ά β γ

А
В
С
а
с
b
ά
β
γ

Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов ά а β b γ с

Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
ά
а
β
b
γ
с
Доказательство.
Теорема косинусов

R Где R – радиус описанной окружности задача

= R

Где R – радиус описанной окружности

задача

Теорема косинусов ά а β b γ с

Теорема косинусов
ά
а
β
b
γ
с

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника , минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

Доказательство
Решение задач

Теорема синусов

Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой

Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что теорема Пифагора содержится в теореме косинусов как частный случай.

γ
γ = 90 º
cos γ = 0

А B С

А
B
С

Теорема синусов и теорема косинусов

Историческая справка: Впервые теорема косинусов была доказана учёным –математиком аль-Бируни (973-1048 г

Историческая справка: Впервые теорема косинусов была доказана учёным –математиком аль-Бируни (973-1048 г.г.).

Аль-Бируни (ал-Бируни)Birouni Al (латинизир. Aliboron)Абу-р-Райхан Мухаммад ибн АхмадАбу Раихан Мохаммед бен Ахмед(973 - 1048, по др. данным после 1050

Среднеазиатский учёный-энциклопедист и мыслитель. Работал в Кяте при дворе хорезмшаха Мухаммада, в Гургане при дворе князя Кабуса ибн Вушмагира, в Гургандже, в Хорезме при дворе хорезмшаха Ма'муна и с 1017 г., после захвата Хорезма султаном Махмудом Газневидом - в Газни. Участвовал в походах султана Махмуда в Индию, где прожил несколько лет. Писал на арабском языке.

Спасибо за внимание.

Спасибо за внимание.

Теорема синусов (доказательство)

Теорема синусов (доказательство)
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

вернуться

Доказательство А B С х y b а с

Доказательство
А
B
С
х
y
b
а
с
А (0 ; 0)
В ( с ; 0 )
С( bcosA: bsinA )
BC2 = a2 = (bcosA – c )2 + b2 sin 2A =
=b2 cos 2A + b2 sin 2A – 2bc cos A +c2 =
= b2 + c2 - 2bc cos A

вернуться

А В С D 300 13 5 О Найдем площадь треугольника

А
В
С
D
300
13
5
О

Найдем площадь треугольника АОD

Площадь параллелограмма АВСD в 4 раза больше площади треугольника АОD. (смотри)

Чтобы найти площадь треугольника АОD, необходимо знать длину стороны АО

Рассмотрим Δ АОD

По теореме косинусов: ОD2 = АО 2+ АD2-2АО•АDcos ∟OAD

OD = 13:2 = 6,5

6,52 = AO2+25 -2•AO• cos 300

AO =

вернуться

Задача 2. Радиус описанной окружности около треугольника

Задача 2.Радиус описанной окружности около треугольника АВС равен . Найдите длину высоты ВН, если ∟А = 300, а ∟С = 450.

А
В
С
300
450
R =
?

По теореме синусов

= R

Где R- радиус описанной окружности

Треугольник ВНС прямоугольный, равнобедренный

По теореме Пифагора

ВН = 2

вернуться

А В С D 1. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам а а b b ά ά 180 - ά 180 - ά 2

А
В
С
D

1. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам

а
а
b
b
ά
ά
180 - ά
180 - ά

2. sin a = sin(180 –a)

3. Площадь любого из четырех треугольников равна S = 1\2 a b sin a

Площадь параллелограмма АВСD в 4 раза больше площади треугольника АОD.

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

29.06.2020