Тема: Прямые и плоскости в пространстве

 Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Точка, прямая, плоскость — с этими словами у нас связаны определенные представления. Мы говорим: «прямой, как натянутая струна», «пересечь улицу по прямой», «луч света движется по прямой». Линии пересечения стен и потолков, траектории свободно падающих тел служат наглядными примерами прямых линий.

Со словом «плоскость» у нас ассоциируется поверхность стола, стены, пола. Плоской в нашем представлении является поверхность озера в безветренный день или гладь хорошо залитого катка.

Дотронемся мелом до доски. Остается след – точка. Посмотрим на ночное небо – звезда нам кажется светящейся точкой. Взглянем на угол комнаты – это тоже точка.

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость.

Аксиомы стереометрии

1.                Каждая прямая содержит, по меньшей мере, две точки.

2.                Через любые две точки проходит одна и только одна прямая.

3.                Каждая плоскость содержит, по меньшей мере, три точки.

4.                Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

5.                Если две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, то вся прямая содержится в этой плоскости.

6.                Если две плоскости имеют общую точку, то множество всех их общих точек есть прямая (т.е. плоскости пересекаются по прямой).

7.                Через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит одна и только одна прямая, параллельная данной. 

Исходным объектом стереометрии, ее вселенной, универсумом является пространство. Мы будем считать, что пространство состоит из точек. При этом в пространстве выделены множества двух типов – прямые и плоскости, удовлетворяющие перечисленным аксиомам.

Прежде всего, уточним представления о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве.

Две прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися. Т.е. не существует плоскости, проходящей через эти две прямые (рис. 1).

Рис. 1. Скрещивающиеся прямые  

Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек (не пересекаются). (рис.

2)

Рис. 2. Параллельные прямые  

Две прямые, имеющие ровно одну общую точку, называются пересекающимися. Понятно, что они лежат в одной плоскости (рис.

3).

Рис. 3. Пересекающиеся прямые

Для пары прямых в пространстве имеются две возможности:

либо через них можно провести плоскость, либо нельзя. Если плоскость провести нельзя, то прямые – скрещивающиеся. 

Сколько    общих       точек         могут        иметь        две   прямые?   Из планиметрии нам известно, что через две (различные) точки можно провести только одну прямую, поэтому две (различные) прямые не могут иметь более одной общей точки. Это доказывает, что две различные прямые могут быть либо скрещивающимися, либо параллельными, либо пересекающимися.

Пример

1. На рисунке изображен разрез        обычной   комнаты. Плоскости стен,          пола          и потолка          пересекаются   по прямым. Три из этих прямых выделены и обозначены а, b и с. Прямые а и b пересекаются, прямые а и с параллельны, прямые b и с скрещиваются. 

Признак скрещивающихся прямых.

Теорема 1. Пусть даны две прямые а и b. Если можно найти такую плоскость , которая содержит прямую а и пересекает прямую b в точке, не лежащей на прямой а, то прямые а и b  скрещиваются. 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем доказывать теорему от противного. Прямые скрещиваются – это означает, что они не лежат в одной плоскости. Противоположное утверждение означает, что прямые a и b лежат в одной плоскости. Эта плоскость должна совпадать с плоскостью . Действительно, в ней лежат прямая а и вся прямая b, а значит, та точка A прямой b, о которой говорилось в условии теоремы. Однако ясно, что прямая а и не лежащая на ней точка А однозначно определяют плоскость. Значит, вся прямая b должна лежать в плоскости , что противоречит условию. Следовательно, исходное предположение о том, что прямые а и b лежат в одной плоскости, неверно. Теорема доказана.

Свойство 1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Скрещивающиеся прямые мы часто встречаем в жизни. Обратите внимание, что по рисунку обычно нельзя понять – скрещиваются прямые или пересекаются (рис. 4).

Рис. 4. Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые

Когда мы смотрим на следы от самолетов в небе, то может казаться, что их траектории пересеклись (см. рис. 5), хотя они могли лететь на разных эшелонах (разной высоте) (см. рис. 6) и их следы были частью скрещивающихся, а не пересекающихся прямых.

Рис. 5. Следы от самолетов в небе

Рис. 6. Самолеты летят на разной высоте

А вот траектории двух кораблей (если предположить, что они движутся по прямой) обязательно пересекутся (ведь корабли движутся на одной «высоте», то есть, грубо говоря, по плоскости) (см. рис. 7). Но это не приводит к столкновениям, так как в роли третьей координаты (компоненты) выступает время – в точке пересечения корабли оказываются в разное время.

Рис. 7. Пересечение траекторий кораблей

Наконец, еще один пример – провода в электрической схеме. Если они пересекаются, значит, в этой точке есть контакт (см. рис. 8). А как быть, если провода не соприкасаются? Для этого придумали специальное обозначение (см. рис. 9). Оно показывает, что в данном случае электрические провода – скрещивающиеся прямые и не лежат в одной плоскости.

Рис. 8. В точке есть контакт

Рис. 9. Нет контакта (провода не соприкасаются)

Параллельность прямой и плоскости 

Прямая и плоскость называются пересекающимися, если у них только одна общая точка. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Начнем классификацию пар, состоящих из плоскости и прямой, лежащей вне этой плоскости, со следующего признака: прямая и плоскость имеют общие точки или прямая и плоскость не имеют общих точек. Во втором случае прямую и плоскость мы назвали параллельными. Вернемся к первому случаю. Сколько может быть общих точек у прямой и плоскости? Наши наглядные представления подсказывают, что если у прямой и плоскости более одной обшей точки, то вся прямая целиком лежит в данной плоскости (если ровную линейку в двух точках приложить к хорошо отшлифованной плоской поверхности, то линейка целиком ляжет на эту поверхность). Таким образом, наша классификация взаимных расположений прямой и плоскости опирается на аксиому

5:

Если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости 

Прямая лежит в плоскости, если все ее точки принадлежат плоскости (см. рис. 10).

Рис. 10.

Теорема 2. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой на плоскости, то исходная прямая параллельна плоскости.

Более подробно эта теорема может быть сформулирована следующим образом.

Пусть прямая а не лежит в плоскости . Если в плоскости  есть прямая, параллельная прямой а, то прямая а параллельна плоскости .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Каковы логически возможные случаи расположения прямой а и плоскости ? Мы знаем, что либо а лежит в плоскости , либо а пересекает плоскость , либо а параллельна . Первая возможность отвергнута условием.

Достаточно опровергнуть вторую возможность. 

Проведем через параллельные прямые а и b плоскость. Обозначим ее . Если прямая а пересекает плоскость  в некоторой точке С, то эта точка – общая для плоскостей  и . Но все общие точки различных плоскостей  и  лежат на прямой b. Следовательно, точка С лежит на прямой b, но это противоречит параллельности прямых а и b. Теорема доказана.

Признак параллельности двух прямых

Теорема 3. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна исходной прямой.

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 

ПРИМЕР: