Материал по теме: "Геометрические преобразования пространства"

Тема: «Геометрические преобразования пространства»

В алгебре рассматриваются различные функции. 

Функция f каждому числу ^x из области определения функции ставит в соответствие некоторое число f x( ) – значение функции f в точке x . В геометрии рассматриваются функции, у которых другие области определения и множества значений. Они каждой точке ставят в соответствие точку. Эти функции называются геометрическими преобразованиями. Геометрические преобразования имеют большое значение в геометрии. С помощью геометрических преобразований определяются такие важные геометрические понятия, как равенство и подобие фигур. 

Определение. Расстоянием между двумя точками будем называть длину отрезка с концами в этих точках.

Определение. Преобразованием пространства называется взаимно-однозначное отображение пространства на себя.

Из этого определения следует важный вывод: 

при любом преобразовании пространства образы любых двух различных точек пространства различны и любые две различные точки пространства являются образами двух его различных точек.

Теперь перейдём к рассмотрению отдельных видов геометрических преобразований.

Центральная симметрия: 

Введем определение центральной симметрии. 

Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно точки O , называется центральной симметрией пространства относительно точки O . При этом точка O отображается на себя и называется центром симметрии.

                      Примерами      центральной      симметрии      являются:

автомобильное колесо, окружность, куб, шар, снежинка, цветок и т.д.

Движения в пространстве.

Симметрия       относительно     плоскости    (зеркальная симметрия):

Определение. Преобразование пространства, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками, называется движением пространства.

Преобразования симметрии относительно точки, прямой и плоскости в пространстве являются движениями.

Свойства: при движении в пространстве прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, плоскости – в плоскости; сохраняются углы между полупрямыми.

Две фигуры называются равными, если они совмещаются движением.

В качестве примера движения пространства на данном этапе изучения стереометрии можно привести преобразование центральной симметрии, доказав координатным способом, что при этой симметрии сохраняются расстояния между точками.

Введем понятие симметрии относительно плоскости:  Определение. Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно плоскости  , называется симметрией пространства относительно плоскости .         

Плоскость  называется плоскостью симметрии. Примеры симметрии относительно плоскости:

Виды симметрии

Осевая симметрия

Преобразование, при котором каждая точка A фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l в точку А, при этом отрезок AA´  l , называется осевой симметрией.

Если точка А лежит на оси l, то она симметрична самой себе, т.е. A совпадает с A1´.

В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси l, фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси l, а ось l называется ее осью симметрии.

Центральная симметрия.

Преобразования, переводящее каждую точку A фигуры или тела в точку A´, симметричную ей относительно центра O, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

Точка O называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра O при этом центр O называется центром симметрии фигуры F. Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т.д.

Понятия поворота и параллельного переноса используются при определении так называемой трансляционной симметрии.

Рассмотрим трансляционную симметрию более подробно.

Трансляционная симметрия

Поворот

Преобразование, при котором каждая точка A фигуры или тела поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра O, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол α – углом вращения. Точка O является неподвижной точкой этого преобразования.

Центральная симметрия есть поворот фигуры или тела на

180˚.

Параллельный перенос

Параллельным переносом фигуры называется перенос всех точек пространства на одно расстояние в одном направлении.

Параллельный перенос определяет вектор, по которому совершается перенос.

Чтобы совершить параллельный перенос, нужно знать направление и расстояние, что означает задать вектор.

 Чтобы при параллельном переносе построить изображение многоугольника, достаточно построить изображения вершин этого многоугольника.

 Первоначальная фигура и фигура, полученная после параллельного переноса, равны.

Параллельный перенос используется для конструирования графиков функций.

Если плоскость (прямая) не параллельна вектору переноса, то при переносе на этот вектор она отображается на параллельную ей плоскость (прямую). Примеры параллельного переноса:

Осевая симметрия:

Определение.     Осевая    симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

Подобие: 

Определение. Преобразования фигуры F в фигуру F _ называется      преобразования    подобия,        если        при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. То есть преобразование, которое сохраняет форму фигуры, но изменяет их размеры.

Гомотетия:

Определение. Гомотетия — это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).

Чтобы гомотетия была определена, должен быть задан центр гомотетии и коэффициент. Это можно записать:     гомотетия (O k; ). На рисунке из фигуры F можно получить фигуру F₁ гомотетией (O;2).

Если фигуры находятся на противоположных направлениях от центра гомотетии, то коэффициент отрицательный.

На следующем рисунке из фигуры F можно получить фигуру F₁ гомотетией (O;_2) .

  В отличие от гомотетии, геометрические преобразования — центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, параллельный перенос являются движением, т.к. в них фигура отображается в фигуру, равную данной.

  Гомотетичные фигуры подобны, но подобные фигуры не всегда гомотетичны (в гомотетии важно расположение фигур).

Задача 1. Можно ли взаимно-однозначно отобразить:

а) поверхность куба на поверхность другого куба; б) поверхность куба на сферу; Сделайте соответствующие рисунки.

Решение. а) Достаточно кубы расположить так, чтобы совпали их центры, а грани одного были параллельны граням другого. Тогда поверхность одного куба взаимнооднозначно отображается на поверхность другого куба посредством центрального проектирования из их общего центра. (Аналогичная задача планиметрии — о взаимнооднозначном отображении одного квадрата на другой посредством центрального проектирования.)

б) Достаточно центр сферы совместить с центром куба, тогда поверхность куба взаимно-однозначно отображается на сферу посредством центрального проектирования из их общего центра. (Аналогичная задача планиметрии — о взаимно-однозначном отображении квадрата — замкнутой ломаной — на окружность посредством центрального проектирования.) Задача 2.

Задача 3.

Дан треугольника АВС: А(3,- 2, 4), В (4, 6, 0), С (2, 2, 2) В какую точку перейдет центр О пересечения медиан данного треугольника при:

Координата

Преобразование образа

Параллельный перенос на вектор (2; -2; 3) (5; 0; 5)

Симметрия относительно начала

(-3; -2; -2)

координат Симметрия относительно координатной

(-3; 2; 2)

плоскости ZOY Поворот на угол 180⁰ относительно

(-3; -2; 2)

координатной оси OZ

Симметрия относительно плоскости х=2 (1; 2; 2) Решение:

Найдем точку пересечения медиант данного треугольника. Найдем координаты точки М - середины отрезка ВС:

М (); М(3; 4; 1)

Так как медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то можем найти координаты точки О, зная координаты А и М:

О (3; 2; 2).

Теперь найдем координаты образа точки О при каждом из преобразований:

1. Параллельный перенос на вектор  (2; -2; 3) означает, что координаты образа получаются так:

 . То есть координаты образа: (5; 0; 5)

1. Симметрия относительно начала координат задается уравнениями:

 . То есть координаты образа: (-3; -2; -2)

1. Симметрия относительно координатной плоскости ZOY задается уравнениями:

 (ордината и аппликата точки остаются такими же, а абсцисса меняет знак). То есть координаты образа: (-3; 2; 2).

1. Поворот на угол 180⁰ относительно координатной оси OZ означает симметрию относительно координатной оси OZ и задается уравнениями:

 (аппликата точки остается такой же, а ордината и абсцисса меняют знак). То есть координаты образа: (-3; -2;

2).

1. Симметрия относительно плоскости α: х=2.

Эта плоскость параллельная плоскости ZOY, поэтому ордината и аппликата точки остаются такими же. Так как абсцисса токи О х_о =3, то расстояние от точки до плоскости α равно 1. Точка, симметричная точке О относительно плоскости α, будет иметь абсциссу, равную х_о’ =1.

Поэтому координаты образа (1; 2; 2).