Материал по теме: "Двугранный угол. Угол между плоскостями."

Тема:     Угол     между    прямой     и      плоскостью.

Двугранный угол. Угол между плоскостями.

Углы в пространстве.

Понятие      угла      между   прямыми, которые пересекаются.

Введем понятие       угла       между   прямыми     в пространстве.

Если две прямые пересекаются, они образуют четыре угла (попарно вертикальные или попарно смежные). Угловая мера меньшего из них называется углом между данными прямыми, которые пересекаются. Угол между пересекающимися прямыми не превышает 90°.

Если прямые перпендикулярны, то величина угла между этими прямыми равна 90°.

Угол между параллельными прямыми считают равным 0°. Следует отметить, что угол между прямыми - это не геометрическая фигура, это - величина. Угол между скрещивающимися прямыми.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол      между   прямыми,    которые пересекаются и параллельны соответственно данным скрещивающимися прямым.

Угол между скрещивающимися прямыми, как и между прямыми одной плоскости, не может быть больше 90°. Две скрещивающиеся прямые, которые образуют угол в 90°, называются перпендикулярными.

Угол между прямой и плоскостью.

Мы рассмотрели случаи размещения прямой и плоскости: 1) прямая лежит в плоскости; 2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая перпендикулярна плоскости. Остается исследовать случай, когда прямая пересекает плоскость, но не перпендикулярна к ней.

 Такие прямые могут быть наклонены к плоскости под различными углами. Что же понимают под углом между прямой и плоскостью?

Если прямая параллельна плоскости или

принадлежит ей, то считают, что угол между прямой и плоскостью равен 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен 90°. В остальных случаях углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией (ортогональной) на плоскость. На рисунке ВСα, А — точка пересечения прямой а с плоскостью α, тогда угол между прямой а и плоскостью α равен углу ВАС=φ. Если φ — угол между прямой и плоскостью, то 0°  φ  90° .

Понятие угла между плоскостями

 Пусть даны две плоскости α и β, которые пересекаются по прямой с.

                                                        Проведем                                 плоскость,

перпендикулярную прямой с, она пересечет плоскости α и β по прямым а и b. Угол между прямыми а и b называется углом между плоскостями α и β.

Угол между двумя плоскостями, которые пересекаются — это угол между прямыми пересечения этих плоскостей с плоскостью, перпендикулярной к линии пересечения данных плоскостей. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°. Если плоскости перпендикулярны, то угол между ними равен 90°. Итак, если φ - угол между плоскостями, то угол меняется от 0° до 90°.

Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

(l;β)=(l;m), где m – проекция l на плоскость β

Задача 1:  

Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены   две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45⁰,

а между собой угол в 60⁰. Определить расстояние между концами наклонных.

Решение:

1.            Треугольники ACH и СHB прямоугольные и _САН=

СВН=45^о_ СН=АН=НВ=а

2.            По теореме Пифагора СА=СВ=а2;

3.            В треугольнике АВС АСВ=60^о и АС=СВ

треугольник АВС равносторонний  АВ= а2;

Двугранным углом называют часть пространства, ограниченную двумя полуплоскостями с общей границей.

Полуплоскости α и β, ограничивающие двугранный угол, называют гранями двугранного угла, а их общую границу AB называют ребром двугранного угла.

Двугранные углы называют равными двугранными углами, если их можно совместить.

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения.

Этот угол не зависит от выбора такой плоскости.

Угол между двумя параллельными плоскостями принимается равным нулю.

∠(α;β)=∠(a;b),

Где γ⊥l, α∩β=l, γ∩α=a, γ∩β=b.

При пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранных угла. Наименьший из этих углов обычно и называют углом между плоскостями.

Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым.

Если при пересечении двух плоскостей образовалось 4 равных двугранных угла, то такие двугранные углы называют прямыми двугранными углами, а сами плоскости называют перпендикулярными плоскостями.

Выберем произвольную точку С на ребре AB двугранного угла и проведем через нее перпендикуляры CD и CE в каждой из граней двугранного угла. Угол DCE, образованный перпендикулярами CD и CE, называют линейным углом двугранного угла.

На рисунке угол ϕ является линейным углом двугранного угла с гранями α и β и ребром AB. Линейные углы двугранных углов используются, в частности, для того, чтобы измерять двугранные углы. Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Если плоскости α и β пересекаются по прямой l, а плоскость γ перпендикулярна прямой l, то плоскость γ перпендикулярна плоскости α и плоскость γ перпендикулярна плоскости β.

Задача 2. Прямая AM перпендикулярна плоскости равностороннего треугольника ABC, точка H середина стороны BC. Найдите угол между прямой MH и плоскостью ABC, если AM=a, HB=a.

Решение. Искомый угол – MHA.

Рассмотрим треугольник ABC. Он равносторонний. Это означает, что его медиана так же является высотой и биссектрисой. Так как HB=a, следовательно, любая сторона треугольника имеет длину 2a. Рассмотрим треугольник AHB. Он прямоугольный, т.к. AH медиана и высота. По теореме Пифагора вычислим длину стороны AH: 

                     .

Далее    рассмотрим        треугольник       MHA,    он прямоугольный, т.к. MA перпендикулярна плоскости ABC. Зная это мы можем выразить тангенс искомого угла: 

            .

Отсюда делаем вывод, что искомый угол равен 30 градусов.

Ответ: MHA = 30˚.

Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей:

ТЕОРЕМА: Если одна их двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Докажем этот признак.

По условию известно, что прямая АМ лежит в плоскости α, прямая АМ перпендикулярна плоскости β. Доказать: плоскости α и β перпендикулярны. Доказательство:

1)             Плоскости α и β пересекаются по прямой АР, при этом АМ  АР, так как АМ  β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.

2)             Проведем    в     плоскости    β     прямую       AТ перпендикулярную AР. 

Получим угол ТAМ – линейный угол двугранного угла. Но угол ТAМ = 90°, так как МА  β. Значит, α  β. Что и требовалось доказать.

Из признака перпендикулярности двух плоскостей имеем важное следствие: 

СЛЕДСТВИЕ: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. То есть: если α∩β=с и γс, то γα и γβ.

То есть: если α∩β=с и γс, то γα и γβ.

Δ 

Т.к. γс и сα из признака перпендикулярности   γα.

Аналогично γ β.                       Задача.

Дано: ΔАВС, С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC = 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см. 

Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение:

1)                           Построим ВК  α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость. 

2)                           ВС  АС (по условию), значит, по теореме о трех перпендикулярах (ТТП), КС  АС. Следовательно,  ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника АВС. То есть  ВСК = 60°.

3)                           Из     ΔВСА   по   теореме       Пифагора:

Из ΔВКС: 

Практическое использование перпендикулярности двух плоскостей.

Построение лодки

Построение моста

Лестница