Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 7

г. БИРСК

 

 

 

Теория делимости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

БИРСК 2021

 

 

         

Оглавление

Введение. 3

Глава 1.Теория   делимости. 4

Глава 2.  Простейшие     признаки     делимости в примерах. 5

Заключение. 11

 Список используемой литературы.. 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Многие задачи математических олимпиад, так или иначе, содержат задачи о натуральных или целых числах. А так как операция деления на натуральных или целых числах выполняется не всегда, то возникает необходимость рассмотреть случаи, когда эта операция возможна. В этом может помочь теория делимости. Так как в школьных учебниках по этой теме нет достаточных сведений, то необходимо получить дополнительные знания по этой теме, систематизировать полученные теоретические сведения и научиться применять их при решении практических задач.

Цель проекта: На более глубоком уровне изучить теорию делимости чисел.

Продукт проекта: Дидактический материал для более глубокого изучения темы «Теория делимости»

Задачи проекта:

1)  Изучить учебную и научную литературу по данной теме;

2)  Изучить ресурсы интернета по данной теме;

3)  Собрать дополнительный теоретический материал и оформить его в виде реферата и цифрового сопровождения к нему.

4)  Решить ряд задач, освоив применение теоретического материала к практике;

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1.Теория   делимости

1.Что   такое    делимость?

 

Делимость  - это свойство  целого числа делиться  на  другое  целое число  без  остатка. В жизни часто приходится делать различные предположения, высказывать тот или иной "прогноз". Человек, знающий арифметику, может по определённым свойствам чисел, по определённым признакам определить, разделиться ли любое натуральное число нацело на данное число, не выполняя деления.Для того чтобы уметь это делать, нужно изучить так называемые признаки делимости натуральных чисел, то есть такие свойства чисел, по которым можно с уверенностью установить, разделиться ли одно число на другое, не проводя самого деления, которое порой бывает трудоёмким. Например, можно ли разделить поровну между  12 учениками 384 конфеты?

        Открытие натуральных чисел было одним из величайших интеллектуальных достижений человечества. Что общего между тремя мамонтами и  тремя звездами ? С точки зрения потребительских качеств ничего. Мамонт – это еда, вот она здесь у входа в пещеру, от нее зависит жизнь племени. Звезды в небе, их не потрогаешь, ночью их видно, а днем нет.Очень не скоро было замечено, что общее между разными предметами и событиями то, что при их перечислении нужно загнуть одно и то же число пальцев на руке, в нашем примере два. Кстати, и до сих пор, обучаясь счету, малыши загибают пальцы. С пальцами же связано и возникновение десятичной системы счисления. Кстати, если бы 400 млн. лет назад на берег из океана выползла не пятипалая двоякодышащая рыба, потомками которой мы являемся, а, например, с четырьмя лучами на плавнике, то победила бы восьмеричная система счисления. Как бы то ни было, человечеством была освоена главная идея, лежащая в основе понятия о натуральном числе.  Множество натуральных чисел сейчас принято обозначать ажурной заглавной буквой N. Натуральными числами являются {1,2,3,…}. Понятие о нуле возникло гораздо позже, чем об остальных целых числах. Ноль обозначает ничто, однако 0 – вполне осязаемый символ ничем не хуже чем 1 или 5. Ноль – это нечто, а обозначает он ничто.

 

Глава 2.  Простейшие     признаки     делимости в примерах

                          1.Признаки в примерах

·          признак    делимости   на   2

На 2 делятся только   те  числа, запись которых оканчивается чётной цифрой. Например, на 2 делятся числа 10,12, 304, 1026,128.

 Признак делимости на 2 можно обосновать так. Каждое натуральное  число  a  можно представить в виде суммы  числа  десятков  и  числа  единиц: а=10m+n. Первое слагаемое (10m) всегда делится на  2, а второе слагаемое (n) делится  на  2, если оно чётное однозначное  число. В этом случае по признаку  делимости суммы число   a  делится на 2.

·          признак    делимости   на   3

На     3     делятся     только   те   числа,  сумма  цифр  которых   делится  на  3. Обоснование этого признака аналогично обоснованию признака деления на 9. Например, 24351 делится на 3, т.к. 2+4+3+5+1 =15, а 15 делится на 3.

·           признак    делимости   на  4

На    4      делятся  только   те       числа,  в   записи      которых  последние    две    цифры     образуют    число,  делящееся   на    4.

Рассмотрим  этот  признак  на  числе  1852. Всякое  натуральное  число  можно  представить  в  виде  суммы  двух   слагаемых:   числа  его   сотен  и   двузначного  числа. Т.к.  первое  слагаемое (число  сотен)  всегда  делится  на  4, то , чтобы  всё  число  разделилось  на  4 , нужно  (по  признаку  делимости  суммы), чтобы  двузначное  число  (второе  слагаемое)  также   разделилось  на  4. 52 делится на 4, значит и 1852 – тоже.

·          признак     делимости     на  5

На      5     делятся   только   те       числа,     запись которых оканчивается    0  и  5.

Рассмотрим признак делимости на 5. Всякое натуральное число a  можно представить в виде суммы двух слагаемых:  a=10m+n, где  m- число десятков,  n- число единиц. Первое слагаемое (10m) всегда делится на 5. Для того чтобы число a разделилось на 5, нужно, чтобы число n разделилось на 5 (по признаку делимости суммы). А так как число n однозначное, то им может быть только 0 или 5. Например, 1245, 2010510 разделятся на 5, т.к. оканчиваются на 5 и на 0.

·          признак     делимости     на  8

Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют  число, делящееся  на    8.

Рассмотрим     вопрос     делимости    на   8     трёхзначных    чисел.  Но делимость трёхзначных чисел на 8 не всегда сразу видна,    приходится     фактически     производить     деление. Поэтому    выведен     специальный   признак     делимости   трёхзначного      числа    на   8.

На   8    делится    всякое      трёхзначное     число,   у    которого      двузначное     число,    образованное    цифрами     сотен   и    десятков ,   сложенное  с   половиной    числа    единиц ,   делится     на   4.

Например,   592     делится     на     8, т.к.   ( по   признаку     делимости   трёхзначного      числа    на   8 )     отделяем      единицы     и     половину   их     числа    прибавляем   к    числу     из    следующих    двух     цифр (десятков   и    сотен). Получаем    59+1=60. Число    60    делится    на   4,значит,   число     592    делится    на   8.

Число ,     оканчивающееся      нечётной     цифрой ,    не     может     делится     на   8.

В     огромном     большинстве      случаев       сумма      двузначного     числа,    упомянутого     в     признаке,    с     половиной      единиц     данного     числа     будет   давать    двузначное   же   число. Сумма     будет     трёхзначной    только    для    чисел    в     промежутке   от    984   до   998 ,    но      даже    и      в     этих     случаях    она    не    превысит     числа    103.

·          признак     делимости    на     9

На       9      делятся   только    те      числа, сумма   цифр   которых   делится   на   9.

Рассмотрим  признак  делимости  на  9.Возьмём, к  примеру,  число  2871. Согласно   десятичной  нумерации   его   можно   записать   в  виде   суммы    разрядных   слагаемых так: . При  делении  каждой  разрядной   единицы   на   9  всегда  получается   остаток,  равный  1, поэтому  каждую   разрядную   единицу   можно  представить   в  виде  суммы  двух  слагаемых:  числа,  делящегося  на  9, и  единицы:1000=999+1; 100=99+1; 10=9+1 Теперь   запишем  число  2871 так: . Используя   распределительный   закон   умножения, переместительный и   сочетательный  законы  сложения, получим: .

 

Сумма  чисел  в  первых  скобках  делится  на  9, т.к.  каждое  её  слагаемое  делится на  9. Всё  число 2871  разделится   на  9, если  на  9  разделится  сумма  чисел  во  вторых  скобках. В  данном   случае  эта  сумма  равна  18, т.е.  делится  на  9. Итак,  число  2871   делится  на  9.

·          признак     делимости   на    10

На   10   делятся   только   те    натуральные    числа,  запись   которых    оканчивается   цифрой   нуль.

В   самом   деле,  всякое   натуральное   число   а   можно   представить   в виде   суммы    двух   слагаемых: ,  где   число   m - число  десятков , n  -  число   единиц. Первое  слагаемое  (10m)  всегда   делится   на  10. Для  того  чтобы  число   а  разделилось  на  10, нужно, чтобы    число    n разделилось    на    10 (по  признаку  делимости  суммы). А  т.к.  число  n  однозначное,  то  им  может    быть  только  нуль.

Например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76- делится на 19.

·        признак     делимости    на     25

На  25   делятся  только  те   числа,  в  записи   которых  последние   две    цифры    нули    или   2 5 ,  или   5 0 ,  или  7 5 .

Каждое    натуральное     число   а     можно    представить    в    виде    суммы    числа   его     сотен    и     двузначного     числа,  т. е.    записать :  , где  m - число   сотен ,   b -  двузначное    число.

Число    сотен    делится    на   25 , поэтому, для   того    чтобы  число   а    разделилось    на    25 ,    нужно,   чтобы     второе    слагаемое   было   равно   нулю, т.е. запись   числа  а   должна   оканчиваться     двумя    нулями,  или   25, 50,75.

·          признак     делимости     на     50 

На  50     делятся    только   те   числа,  в   записи   которых    последние    две   цифры     нули   или  5   и    0 .

Каждое    натуральное     число   а     можно    представить    в    виде    суммы    числа   его     сотен    и     двузначного     числа,  т. е.    записать:  , где  m - число   сотен ,   b -  двузначное    число.

Число    сотен    делится    на   50 , поэтому, для   того    чтобы  число   а    разделилось    на    50 ,    нужно,   чтобы     второе    слагаемое   было   равно   нулю, т.е. запись  числа  а   должна   оканчиваться     двумя    нулями,  или  50.

 

 

 

 

 

                                       Глава 3.Задачи

 

1. Применение    теории      делимости    к      решению     задач

 

Напомним основные определения понятий теории делимости, которые могут пригодиться при решении задач по этой теме.

Делителем числа а называется число, на которое а делится без остатка.

Кратным числа а называется число, которое делится на а без остатка.

Простые числа - это натуральные числа, которые имеют только два различных делителя: единицу и само себя.

Составные числа - это натуральные числа, которые имеют более  двух различных делителей.

НОД (наибольший общий делитель) – наибольшее число, на которое делятся данные числа.

НОК (наименьшее общее кратное) – наименьшее число, которое делится на данные числа.

Взаимно простые числа – числа, НОД которых равен 1.

 

 

2.Применение признаков делимости к разложению чисел на простые множители.

 

В некоторых задачах требуется разложить числа на простые множители. Чтобы выполнить это разложение, необходимо знать признаки делимости.

Существует удобный алгоритм разложения числа на простые множители:

данное число последовательно делят на простые делители (поочерёдно, начиная с 2) до тех пор, пока в частном не получится единица.

 

Задача №1

Произведение двух двузначных чисел равно 444. Найдите эти числа.

 

Решение:

Разложим 444 на простые множители.

444| 3

148| 4

37| 37

1|

Значит, 444=3*4*37=12*37.

Ответ:12 умножить на 37 равно 444.

 

Используя алгоритм разложения натуральных чисел на простые множители, можно найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК).

Наибольший общий делитель  нескольких чисел можно найти следующим образом:

1.     разложить данные числа на простые множители;

2.     составить произведение из тех множителей, которые входят в каждое разложение, т.е. общих множителей;

3.      вычислить значение составленного произведения.

 

Задача №2

 

Для детских новогодних подарков закупили 78 плиток шоколада, 156 пряников, 52 пачки печенья, 104 апельсина и 130 яблок. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно собрать из этих лакомств?

Решение:

 

В одинаковых подарках должно быть поровну каждого вида лакомства. Чтобы найти число таких подарков, нужно найти НОД (78, 156, 52, 104, 130).

 

78|2           156|2           52|2       104|2              130|2

39|3            78|2           26|2         52|2               65|5

13|13           39|3           13|13       26|2               13|13

 1|             13|13           1|          13|13              1|

   1|                           1|

НОД (78, 156, 52, 104, 130)=2*13=26.

Ответ: 26 подарков.

 

Задача №3

 

На некоторой остановке  одновременно остановились  трамвай, троллейбус и автобус. Через какое наименьшее время повторится их встреча, если движение проходит строго по графику, и трамвай совершит полный рейс за 90 минут, автобус - за 120 минут, а троллейбус - за 60 минут.

 

Решение:

 

Чтобы узнать через какое наименьшее время повторится их встреча, нужно найти НОК (60, 90, 120).

60|2                  90|3          120|2

30|2                  30|3           60|3

15|3                  10|5           20|5

 5|5                   2|2             4|2

1|                     1|              2|2

                                         1|

 

  НОК (60, 90, 120)=120*3=360

Ответ: встреча повторится через 360 минут.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

 

Работая над данным проектом, я углубил свои знания по теме «Делимость натуральных чисел» и овладел новыми знаниями по теме «Признаки делимости». Результатом проектной работы был сделан цифровой образовательный ресурс для изучения этих тем на факультативных занятиях на разных ступенях обучения. Этот ресурс содержит как теоретическую часть, так и подбор практических задач. Большая часть материала лежит за пределами школьных учебников математики и будет очень полезна на факультативных занятиях. Так как в школьной программе темы «Делимость натуральных чисел» изучается в 6 классе, в старших классах будет полезным повторить основные моменты этой темы.

В своей работе я рассмотрел далеко не все методы решения задач в целых числах. Это достаточно сложная проблема, которой занимаются математики с древних времен и по настоящее время. Но в дальнейшем, я планирую вернуться к этой теме и рассмотреть остальные методы решения этих задач.

Хочется верить, что моя работа будет хорошим подспорьем учителю для работы с учениками, увлекающимися математикой.

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Список используемой литературы

 

 

1.     А.В.Спивак. Тысяча и одна задача по математике. Книга для учащихся 5-7 классов. 2010. Москва. Просвещение.

2.     Б.А.Кордемский. Математическая смекалка. 1958. Москва. Государственное издательство физико-математической литературы .

3.     Реферат по математике на тему: «Уравнения с двумя  неизвестными в целых  числах »  .

Ресурсы интернета

1.  http://www.math.com.ua/articles/criterion_of_divisibility.html

2.  http://ru.wikipedia.org/wiki/Признак_Паскаля

3.  http://www.bestreferat.ru/referat-46739.html

 

                  

 

 

 

 

 

 

 

Скачано с www.znanio.ru