Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru

©МатБюро - Решение задач по высшей математике

Тема: Теория игр

ЗАДАНИЕ.  Найти оптимальный вариант электростанции по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица с показателями 0,8 и 0,3 и Сэвиджа по заданной таблице эффективностей:

Таблица эффективностей

РЕШЕНИЕ.  

Критерий Лапласа. В основе критерия лежит предположение: поскольку о состояниях обстановки ничего не известно, то их можно считать равновероятными. Исходя из этого действуют формулы: 

K A( _i ) ^{= 1}_n ^∑jⁿ=1 k_ij , i =1,...,m,  K_опт = max{K A( _i ), i =1,...,m}/

Получаем: 

K A( ₁) = 0,25 10(   +8+ 4+11) = 8,25, K A( ₂) = 0,25 9( +9+5+10) = 8,25,

K A( ₃) = 0,25 8( +10+3+14) = 8,75 , K A( ₄) = 0,25 7( +7+8+12) = 8,5. Лучшая стратегия по этому критерию A₃.

Критерий Вальда. Это максиминный критерий, он гарантирует определенный выигрыш при наихудших условиях. Критерий основывается на том, что, если состояние обстановки неизвестно, нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффективности каждой системы.

В каждой строке матрицы эффективности находится минимальная из оценок систем по различным состояниям обстановки K A( _i ) = min_j k_ij , i =1,...,m . 

Оптимальной считается система из строки с максимальным значением эффективности: K_опт = max{K A( _i ), i =1,...,m}

Вычисляем: K A( ₁) = 4, K A( ₂) = 5, K A( ₃) = 3, K A( ₄) = 7. Лучшая стратегия по этому критерию A₄ .

Критерий Гурвица с показателями 0,8 и 0,3. Это критерий обобщенного максимина. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем неразумно проявлять как осторожность, так и азарт, а следует, учитывая самое высокое и самое низкое значения эффективности, занимать промежуточную позицию (взвешиваются наихудшие и наилучшие условия). Для этого вводится коэффициент оптимизма α (0 ≤ α ≤ 1),

                                                                             1

Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru

©МатБюро - Решение задач по высшей математике

характеризующий отношение к риску лица, принимающего решение. Эффективность систем находится как взвешенная с помощью коэффициента а сумма максимальной и минимальной оценок: K A( _i ) =αmax_j k_ij +(1−α)min_j k_ij , i =1,...,m .

Условие оптимальности стандартное: K_опт = max{K A( _i ), i =1,...,m}. 1) Пусть α= 0,8. Вычисляем: K A( ₁) = 0,8 11⋅ +0,2 4⋅ = 9,6, K A( ₂) = 0,8 10⋅ +0,2 5⋅ = 9,0, K A( ₃) = 0,8 14⋅ +0,2 3⋅ =11,8,

K A( ₄) = 0,8 12⋅ +0,2 7⋅ =11,0 .

Лучшая стратегия по этому критерию A₃.

2) Пусть α= 0,3. Вычисляем: K A( ₁) = 0,3 11⋅ +0,7 4⋅ = 6,1, K A( ₂) = 0,3 10⋅ +0,7 5⋅ = 6,5,

K A( ₃) = 0,3 14⋅ +0,7 3⋅ = 6,3,

K A( ₄) = 0,3 12⋅ +0,7 7⋅ = 8,5.

Лучшая стратегия по этому критерию A₄ .

Критерий Сэвиджа. Минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. Для оценки сиcтем на основе данного критерия матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь (риска). Каждый элемент матрицы потерь определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце:  ∆ =k_ij max_i k_ij −k_ij .

После преобразования матрицы используется критерий минимакса:

K A( _i )= max_j ∆k_ij , i =1,...,m .,  K_опт = min{K A( _i ), i =1,...,m}

Матрице эффективности будет соответствовать матрица потерь: 

Вычисляем теперь:

K A( ₁) = 4, K A( ₂) = 4, K A( ₃) = 5, K A( ₄) = 3 Лучшая стратегия по этому критерию A₄ .

                                                                             2