Теория вероятностей

Зарождение теории вероятности.
Основные понятия теории вероятности.
Решение задач части 1.
Решение задач части 2.
Итог.

Теория вероятности-

специальный раздел математики, который изучает закономерности случайных событий.

Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр.

Первые попытки подвергнуть всестороннему логическому анализу схему азартных игр связаны с именами известных учёных – алгебраиста Джероламо Кардано (1501 – 1576) и Галилео Галилея (1564 – 1642).

Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым – Блезу Паскалю (1623 – 1662) и Пьеру Ферма.

Страстный игрок в кости француз де Мере, стараясь разбогатеть, придумывал новые правила игры. Для большей уверенности в выигрыше де Мере обратился к своему знакомому, французскому математику Паскалю, с просьбой рассчитать вероятность выигрыша в этой игре.

Решение таких задач обсуждалось Паскалем и Ферма в их переписке и способствовало разработке основных понятий и общих принципов теории вероятности, в том числе и правил действия над ними.

Настоящую научную основу теории вероятности заложил великий математик Якоб Бернулли (1654-1705). Его труд "Ars conjectandi" стал первым основательным трактатом по теории вероятностей.

Следующий период истории теории вероятности (18 - 19 в. в.) связан с именами А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса и С. Пуассона. Это - период, когда теория вероятности уже находит ряд актуальных применений в науке и технике (главным образом в геодезии и астрономии, в теории стрельбы).

Третий период истории теории вероятности (2-я половина 19 в.) связан в основном с именами русских математиков
Чебышева П. Л. , Ляпунова А. М. и
Маркова А. А.

Со 2-й половины 19 в. исследования по теории вероятности в России занимают ведущее место в мире. Чебышев и его ученики Ляпунов и Марков поставили и решили ряд общих задач в теории вероятности , обобщающих теоремы Бернулли и Лапласа.

Андрей Николаевич Колмогоров внес величайший вклад в становление и развитие аппарата теории вероятности. Он написал несколько фундаментальных трудов, которыми с успехом пользуются по сей день.

В 19 в. и до настоящего времени, в связи с запросами практики, теория вероятности непрерывно и быстро развивается, находя применение все в более разнообразных областях науки, техники, экономики.

теория ошибок наблюдений,
теория стрельбы,
статистика,
молекулярная и атомная физика,
химия,
метеорология,
вопросы планирования,
статистический контроль в производстве и т. д.

Таким образом, в 60-е годы 17в. были выработаны первые понятия и некоторые элементы теории вероятности.
В последующие два века учёные столкнулись с множеством новых задач, связанных с исследованием случайных явлений.

Под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух:
Да, оно произошло.
Нет, оно не произошло.

Достоверное событие -

это такое событие, о котором заранее известно, что оно произойдёт.

Достоверное событие.

Условимся обозначать его буквой D.Для достоверного события число его наступлений m равно числу испытаний n, поэтому вероятность его всегда равна единице: P(D)=1

Невозможное событие –

это событие, о котором заранее известно, что оно не произойдёт.

Невозможное событие.

Условимся обозначать его буквой H.  Для невозможного события m = 0, следовательно, вероятность его всегда равна нулю: P(H) = 0

Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания.

Черепаха научится говорить;
вода в чайнике, стоящим на горячей плите, закипит;
ваш день рождения – 19 октября
вы выигрываете, участвуя в лотерее;
вы не выигрываете, участвуя в беспроигрышной лотерее;
вы проиграете партию в шахматы;
на следующей неделе испортится погода;
после четверга будет пятница;
после пятницы будет воскресенье.

Исходы в определенном опыте или наблюдении считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы.
Исходы, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события.

Для того чтобы найти вероятность некоторого события, надо правильно определить число равновозможных исходов испытания (m) и число благоприятных для этого события исходов (n).

Р = .

Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?

Опыт имеет 7 равновозможных исходов (букв), из которых 4 благоприятных (согласные буквы).
Поэтому вероятность равна .

Из класса, в котором учатся 8 мальчиков и 12 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Какова вероятность того, что это будет мальчик?

Опыт имеет 20 равновозможных исходов (учеников), из которых 8 благоприятных (мальчиков).
Поэтому вероятность равна .

Одновременно бросают 2 монеты.
С какой вероятностью на них выпадут две решки?

Опыт имеет 4 равновозможных исхода ОО, ОР, РО, РР, из которых благоприятным будет только один РР.
Поэтому вероятность равна .

Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков?

При подбрасывании двух игральных кубиков имеем 36 равновозможных исходов. Из них благоприятными будут 5 исходов: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1.

Отсюда вероятность равна .

Карточки с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 перемешивают и выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится четное число?

Исходами опыта являются перестановки из семи чисел, которых 7!.
Чтобы получить благоприятный исход, нужно поставить на последнее место любую из трех четных цифр, на предпоследнее – любую из шести оставшихся, перед ней – любую из пяти оставшихся и т.д.

Всего по правилу умножения
3 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 3 • 6!
благоприятных исходов.

Вероятность равна .

На отрезок [-3;3] бросают случайную точку. Какова вероятность того, что ее координата будет меньше 1?

Длина всего отрезка равна 6. Длина той его части, где координата меньше 1, равна 4.
Отсюда вероятность равна .

В классе, где учится Витя, по жребию выбирают двух дежурных. Какова вероятность того, что Витя будет дежурить, если в классе 20 учеников?

Исходами опыта являются пары, которые
можно составить из 20 человек.
Всего таких пар .

Благоприятными исходами будут пары, в
которые входит Витя (19 пар).
Поэтому искомая вероятность равна .

Два пассажира садятся в электричку из восьми вагонов. С какой вероятностью они окажутся в одном вагоне, если каждый из них выбирает вагон случайным образом?

Пусть первый человек уже сел в какой-нибудь вагон. Если второй человек выбирает вагон наугад, то у него остается 1 шанс из 8 выбрать его так, чтобы попасть в тот же вагон.
Поэтому вероятность равна .

В урне 10 шаров белого и черного цвета. Вероятность того, что среди двух одновременно вынутых из нее шаров оба будут белые, равна .

Сколько в урне черных шаров?

Обозначим неизвестное количество белых шаров в урне через х. Исходами опыта будут всевозможные пары, которые
можно составить из 10 шаров - .

Благоприятными будут всевозможные пары, которые можно составить из х белых шаров. Количество таких пар
равно .

Благоприятными будут всевозможные пары, которые можно составить из х белых шаров.
Количество таких пар равно .

Значит, вероятность вынуть два белых шара из такой урны
равна ,

, .
В урне 7 белых шаров,
значит, черных шаров 3.

В квадрат со стороной, равной 1, бросают случайную точку. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата больше 0,25?

Площадь всего квадрата равна 1. Внутри данного квадрата расположен квадрат со стороной, равной 0,5. Множество точек, находящихся внутри малого квадрата – благоприятный исход. Площадь его равна 0,25. Значит вероятность
равна .

Теория вероятности- специальный раздел математики, который изучает закономерности случайных событий.

Методы теории вероятности применяются в информатике, физике, астрономии, биологии, медицине и во многих других областях знаний.

Андрей Николаевич Колмогоров и его вклад в развитие теории вероятности.
Гюйгенс и его вклад в развитие теории вероятности.
Блез Паскаль и его вклад в развитие теории вероятности.
Ферма и его вклад в развитие теории вероятности.