Теория вероятностей ч1. Классическая вероятность.

Определение вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

Р (A) = m / n,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A;
n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Справочный материал

Элементарные события (исходы) – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт.

Р(А) равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.

(объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А,В

(пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.

называется противоположным событию А, если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.

Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.

.

р – вероятность успеха, q=1-p вероятность
неудачи в одном испытании

Схема решения задач:
Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события. Убедиться, что они равновероятны.
Найти общее число элементарных событий (N)
Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, и найти их число N(A).
Найти вероятность события А по формуле

Число элементарных событий: N=4

Событие А = {жребий выиграл Петя}, N(A)=1

№9. Дежурные по классу Алексей, Иван, Татьяна и Ольга бросают жребий - кому стирать с доски. Найдите вероятность того, что стирать с доски достанется одной из девочек.

Множество элементарных событий: N=16

A={команда России во второй группе}

С номером «2» четыре карточки: N(A)=4

A={ручка пишет хорошо}

Противоположное событие:

№12 . При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм.

Решение:
По условию, диаметр подшипника будет находиться в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна
1 − 0,965 = 0,035.

Ответ: 0,035.

№ 14. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 19 раз больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.
Решение:

Пусть количество пакетиков с зеленым чаем равно x, тогда пакетиков с черным чаем 19x, а всего 20x. Значит, вероятность того, что случайно выбранный пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем равно
Х 20Х Х Х 20Х 20Х Х 20Х = 0,05
Ответ: 0,05

Решение:
Сначала поместим Антона на случайно выбранное место из свободных 33. Теперь помещаем на свободное место Дмитрия. Всего имеется 32 свободных места (одно уже занял Антон), поэтому всего возможны 32 исхода. В одной команде с Антоном остаётся 10 свободных мест, поэтому событию «Антон и Дмитрий в одной команде» благоприятствуют 10 исходов.
Вероятность этого события равна P = 10 : 32 = 0,3125.

Ответ: 0,3125.

№15. Футбольную секцию посещают 33 человека, среди них два брата – Антон и Дмитрий. Посещающих секцию случайным образом делят на три команды по 11 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в одной команде.

№ 16. На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых

Решение:
Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д – Дания, Ш –Швеция, Н – Норвегия):
Д − Ш − Н
Д − Н − Ш
Ш − Н − Д
Ш − Д − Н
Н − Д − Ш
Н − Ш − Д
Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна
Р = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33 Ответ: 0,33.

Решение:
На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений.
Поэтому искомая вероятность равна: 𝟑 𝟏𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟏𝟐 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟑 𝟏𝟐 = 0,25

Ответ: 0,25.

№ 18. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,05. В некотором городе из 2000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 130 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?



Решение:
Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна
130 : 2000 = 0,065.
Она отличается от предсказанной вероятности на
0,065 – 0,05 = 0,015.
Ответ: 0,015.

№19 . Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:
Пусть х – искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x ∙ n яиц, из них 0,6 ∙ n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1 - x) ∙ n яиц, из них 0,4 ∙ (1 – x)∙ n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48 n яиц.
Отсюда: 0,6x ∙ n + 0,4 ∙ (1 – x) ∙ n = 0,48 n,
0,6x + 0,4 ∙ (1 – x) = 0,48 ,
0,6x + 0,4 – 0,4x = 0,48 ,
0,2x = 0,008,
x = 0,4.
Ответ: 0,4.

№20. На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.


Решение:
Пусть завод произвел x тарелок. Качественных тарелок 0,8x (80% от общего числа), они поступят в продажу. Дефектных тарелок 0,2x, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 ∙ 0,2x = 0,06x.
Всего в продажу поступило
0,8x + 0,06x = 0,86x тарелок.
Вероятность купить
качественную тарелку равна: 𝟎,𝟖Х 𝟎,𝟖𝟔Х 𝟎𝟎,𝟖𝟖Х 𝟎,𝟖Х 𝟎,𝟖𝟔Х 𝟎𝟎,𝟖𝟖𝟔𝟔Х 𝟎,𝟖Х 𝟎,𝟖𝟔Х = 𝟒𝟎 𝟒𝟑 𝟒𝟒𝟎𝟎 𝟒𝟎 𝟒𝟑 𝟒𝟒𝟑𝟑 𝟒𝟎 𝟒𝟑 ≈ 0,93.


Ответ: 0,93.