Теория вероятностей, ее основа и применение.

На каждом шагу мы встречаемся с явлениями или действиями, исход которых зависит от случая. Их обычно называют случайными явлениями (испытаниями). Рассмотрим соответствующие примеры:
- жребием определяют футбольную команду, начинающую игру ударом с центра поля; его исход случаен;
- при бросании игрального кубика, какое очко выпадет;
- результат раздачи карт при карточной игре;
- при игре в лото извлечение бочонка;
- на городском перекрестке авария автотранспорта может произойти, а может и не произойти, это явление случайно;
- невозможно точно на длительный период предсказать, какой будет погода в определенном населенном пункте – метеорологические явления случайны.
Анализ подобных ситуаций, попытка обнаружить в них определенные закономерности в большей степени стимулировали возникновение такой науки как теория вероятностей и математическая статистика.
Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

Цель: познакомится с историей возникновения теории вероятности определить ее значение в современном мире.

Задачи:
1. Собрать и изучить материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;
2. Познакомиться с основной формулой теории вероятности;
3. Научиться решать задачи на определение классической вероятности
4. Провести исследование вероятности успешного написания контрольного тестирования путем угадывания правильного ответа, проанализировать результаты, сделать выводы.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (кости, рулетка).

Французский дворянин, некий господин де Мере, был азартным игроком в кости и всем сердцем хотел разбогатеть. Он потерял много времени, чтобы открыть загадку игры в кости. Он придумывал различные версии игры, полагая, что таким образом получит крупное состояние. Так, например, он предлагал бросать одну кость по очереди 4 раза и убеждал партнера, что по крайней мере один раз выпадет при этом шестерка. Если за 4 броска шестерка не выходила, то выигрывал соперник.

В тот период еще не существовала отрасль математики, которую на сегодняшний день мы называем теорией вероятностей, а поэтому, чтобы убедиться, верны ли его предположения, господин Мере обратился к своему знакомому, известному математику и философу Б. Паскалю с просьбой, чтобы он рассмотрел два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам. Вопросы были такие:

Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?
Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?

Паскаль не только сам проявил интерес, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем подтолкнул его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша.Таким образом, азарт и желание разбогатеть дали толчок началу новой математической дисциплины: теории вероятностей. наше время теория вероятности применяется почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и т. д.

XVII век. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

В разработке ее основных положений также принимали участие

Гюйгенс (1629—1695), который написал трактат «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654—1705), Муавр (1667—1754), Лаплас (1749— 1827), Гаусс (1777—1855) и Пуассон (1781—1840).

Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

А. Н. Колмогоров
Основоположник современного вида теории вероятностей

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Как наука, она возникла из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат определенные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности. Она позволяет судить о степени вероятности наступления одних событий по сравнению с другими. Например: определить однозначно результат выпадения «орла» или «решки» в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число «орлов» и «решек», что означает, что вероятность того, что выпадет «орел» или «решка», равна 50%.

Вероятность — степень возможности происхождения события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — маловероятным или невероятным.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Например: число звонков на пожарную станцию за сутки, число попадания при 10 выстрелах и т.д.

Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, то есть в данном случае подбрасывание монеты. Испытание может воспроизводиться неограниченное количество раз. Результатом испытания является событие. События бывают двух видов – случайные и неслучайные.   Случайным событием называется то событие, которое может, как произойти, так и не произойти.   Неслучайное событие – это то событие, которое может либо произойти обязательно, либо в данных условиях не происходящее.

Неслучайные события делятся на две группы – достоверные события и невозможные события.
Достоверным событием называют то событие, которое обязательно произойдет. Такое событие обозначается буквой E.

Невозможным событием называют то событие, которое в данных условиях произойти не может. Такое событие обозначается буквой U.

Вероятность достоверного события всегда равна 1. Вероятность невозможного события всегда равна 0. Например, если из урны только с черными шарами вытащить шар, то достоверным событием будет то, что вытащенный шар окажется, черным. А невозможным событием будет то, что вытащенный шар окажется белым.

Случайные события делятся на несколько групп.
Совместным событием называются два события, которые могут произойти в результате опыта одновременно. К примеру, при бросании игральной кости события «2» и «четное число» являются совместными событиями.
Несовместным событием называют два события, которые не могут произойти одновременно в результате опыта. Допустим, при однократном бросании монеты события A и B, то есть одновременное выпадение орла и решки монеты, являются несовместными.
Противоположными событиями называют те два события, которые противоположны друг другу. Например, события «Я сорву розы» и « Я не буду срывать розы» являются противоположными. Следовательно, с каждым событием A связано противоположное событие, состоящее в том, что событие A не осуществляется.

Существуют еще две группы случайных событий
Независимые события являются результатом не связанных между собой испытаний.
Зависимыми событиями называют, если вероятность появления одного события зависит от того, произошло или не произошло другое событие.
К примеру, из урны с тремя белыми и семью черными шарами последовательно извлекают два шара. Если первый вынутый шар не возвращается в урну, то события B и B1 зависимые; в случае возвращения в урну первого вынутого шара события B и B1 будут независимыми.

Классическое определение вероятности можно сформулировать следующим образом:

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для этого события исходов к числу всех равновозможных исходов. Вероятность выражают в процентах.
Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р (от французского слова probabilite, что означает – возможность, вероятность)
P(A) =m/n , где
m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию
n – число всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
Классическое определение вероятности используется для выявления благоприятных исходов теоретическим путем.

Пример:

Задача 1. В группе 25 студентов. Из них 10 девушек и 15 юношей. Наугад выбирают одного студента. Найти вероятность того, что выберут юношу.

Решение: Искомая вероятность: Р (А) =15/25=3/5.
Ответ: 0,6.

Задача 2. В кармане у Дани было пять конфет—«Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи,
Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».

Решение: Конфета «Взлётная» - одна, всего конфет – 5. Вероятность того, что выпала именно она, равна 1/5 = 0,2
Ответ: 0,2.

Суммой двух событий А + В называется событие, состоящее в появлении события А или В, или обоих этих событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
P (A + B) = P(A) + P(B).

Аналогичный факт справедлив и для большего количества несовместных событий

Пример: В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.
Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А: Р(А)=10/30=1/3
и события В: Р(В) = 5/30=1/6
События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:
Р(А)+Р(В)= 1/3+1/6=1/2

Если случайные события А и В независимые, то вероятность совместного появления событий А и В равно произведению вероятностей этих событий.

Р (А × В) = Р(А) × Р(В).

Пример
Студент должен сдать два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р1 =0,8. Вероятность сдать второй экзамен р2 =0,7. Какова вероятность, что студент сдаст два экзамена в сессию.
Решение
Событие А – сдать первый экзамен. Событие В – сдать второй экзамен. Оба события независимы. Событие А×В – сдать два экзамена. Вероятность сдать два экзамена вычисляется по формуле
Р(А × В) = Р(А)×Р(В) = р1× р2 = 0,7 × 0,8 = 0,56.


Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.
Р(А1×А2×…×Аk) = Р(А1) × Р(А2)×…×Р(Аk).

Задача 1. На борту самолёта 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны дляпассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Задача 2. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Задача 3. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха, в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

Среди учеников часто возникает вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку ?»
Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей.Я хочу проверить это на примере предмета алгебра.
По данному предмету тест включает 10 заданий с выбором ответа из 4-х предложенных. Чтобы получить положительную оценку за тест, нужно набрать не менее 5 баллов. Каждое задание имеет 4 варианта ответов, один из которых правильный. Определить вероятность получения положительной оценки на тест можно по формуле Бернулли.
Был проведен опрос среди учеников 11 класса (14 человек):
Как вы считаете, можно получить положительную оценку за тест, отвечая на вопросы методом угадывания?
• 5 человека (36 %) считают, что таким способом сдать экзамен можно.
• 9 человек (64 %) считают, что нельзя.
Мы попросили ребят попробовать наугад пройти тест по алгебре. Для того чтобы получить оценку "3" необходимо набрать не менее 5 баллов.

По результатам тестирования более пяти баллов набрали 4 человек (16 %), 10 -менее пяти баллов (84 %).

Гипотеза подтвердилась. Только тщательная подготовка позволяет получить положительную оценку за контрольный тест .

Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Выпуская на рынок определенный товар, грамотный предприниматель наверняка учтет риски, а также вероятности покупки в том или рынке, стране и т.д.
Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи километров от Земли.
Таким образом, теорию вероятностей нельзя не применять в нашей жизни. Она имеет разные области применения такие как: биологические и химические процессы, история, экономика, кораблестроение и машиностроение, статистика, медицина и большинство различной деятельности человека. Люди применяют её как сознательно, так и подсознательно, что проявляется в обычных повседневных фразах и действиях. Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей. Теория вероятностей – это одна из составляющих частей успеха. Если стремиться учитывать законы вероятностей и, в том случае, если вероятность неблагоприятная, предпринимать соответствующие контрдействия, то можно упростить себе жизнь в разы и сэкономить своё время, которое так ценно для каждого из нас.

В результате проделанной работы, была реализована поставленная задача:
Собрали и изучили материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;
Познакомились с основной формулой теории вероятности;
Научились решать задачи на определение классической вероятности.
В ходе проектной работы было проведено исследование (тестирование), которое позволило выяснить, что метод угадывания не позволяет набрать минимальное количество баллов, чтобы получить положительную оценку за тест.