Теория вероятностей и комбинаторика

Теория вероятностей и комбинаторные правила решения задач

2

Классическое определение вероятности

Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями.

Пример: выбрасывается игральный кубик (опыт);
выпадает двойка (событие).

Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным.

Пример: В мешке лежат три картофелины.

Опыт – изъятие овоща из мешка.

Достоверное событие – изъятие картофелины.

Невозможное событие – изъятие кабачка.

3

Классическое определение вероятности

Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие.

Примеры: 1) Опыт - выбрасывается монета.

Выпадение орла и выпадение решки –
равновозможные события.

2) В урне лежат три шара. Два белых и синий.

Опыт – извлечение шара.

События – извлекли синий шар и извлекли
белый шар - неравновозможны.

Появление белого шара имеет больше шансов..

4

Классическое определение вероятности

Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других.

Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает
орел (событие А) или решка (событие В).

События А и В - несовместны.

2) В результате двух выбрасываний выпадает
орел (событие А) или решка (событие В).

События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз
не исключает выпадение решки во второй

5

Классическое определение вероятности

Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны.

Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета.

Элементарные события: выпадение орла
и выпадение решки образуют полную группу.

События образующие полную группу называют элементарными.

6

Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу .

Классическое определение вероятности

7

Для конечных множеств событий при нахождении m и n широко используют правила комбинаторики.

Задача №1: Сколько двузначных чисел можно
составить используя цифры 7; 8; 9
(цифры могут повторяться)?

В данном случае легко перебрать все комбинации.

77
78
79

88
87
89

99
97
98

9 вариантов

8

Задача №2: Сколько пятизначных можно
составить используя цифры 7; 8; 9
(цифры могут повторяться)?

Как видим, в этой задаче перебор довольно затруднителен.

Решим задачу иначе.

На первом месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

На втором месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

На третьем месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

На четвертом месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

На пятом месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

Комбинаторное правило умножения

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

14.02.2023

9

Благоприятное событие А: первой выступает
спортсменка из Канады

К-во благоприятных
событий: m=?

К-во всех событий группы: n=?

Соответствует
количеству
гимнасток
из Канады.
m=50-(24+13)=13

Соответствует количеству всех гимнасток.
n=50

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

14.02.2023

10

Благоприятное событие А: выбранный насос
не подтекает.

К-во благоприятных
событий: m=?

К-во всех событий группы: n=?

Соответствует
количеству
исправных
насосов
m=1400-14=1386

Соответствует количеству всех насосов.
n=1400

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

14.02.2023

11

Благоприятное событие А: купленная сумка
оказалась качественной.

К-во благоприятных
событий: m=?

К-во всех событий группы: n=?

Соответствует
количеству
качественных
сумок.
m=190

Соответствует количеству всех сумок.
n=190+8

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

14.02.2023

12

Опыт: выпадают три игральне кости.

Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков.

К-во благоприятных
событий m=?

331
313
133

223
232
322

511
151
115

412
421
124

142
214
241

К-во всех событий группы n=?

1-я кость - 6 вариантов
2-я кость - 6 вариантов
3-я кость - 6 вариантов

14.02.2023

13

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Условие можно трактовать так: какова вероятность того,
что все четыре раза выпадет решка?

К-во благоприятных
событий m=?

К-во всех событий группы n=?

m=1

Четыре раза выпала
решка.

1-й раз - 2 варианта
2-й раз - 2 варианта
3-й раз - 2 варианта
4-й раз - 2 варианта