Типы задач на касательную в школьном курсе алгебры и начала анализа

ШЕСТЬ ТИПОВ ЗАДАЧ НА КАСАТЕЛЬНУЮ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ   АЛГЕБРЫ И НАЧАЛА АНАЛИЗА       МОУ СОШ № 10 г. Новороссийск Учитель математики Волкова О.А.

Первый тип задач на касательную В задачах данного типа необходимо составить уравнение касательной в точке М (x0 ;y0) принадлежащей графику y=f(x), т.е. М(x0 ;y0) – точка касания   КАСАТЕЛЬНАЯ y M(X0;Y0) Y=f(x) х

№823г Мордкович А.Г. Составить уравнение касательной к графику функции xf )( 1) Уравнение касательной имеет вид y в точке х0 = -1.  / ( xy 0 2  x 3 x  5 y 0  x 0 ) Где y0 - значение функции в точке М(x0 ;y0) y0 ’- значение производной в точке М(x0 ;y0)  2) Найдём y0      y0 = y(x0) = y( -1) = 1+3+5 = 8 3) Найдём y’ y’ =( x2 -3x +5)’ =2x-3 y0    4) Получим уравнение касательной: y = 8+5(x+1) y = 8+5x+5 y = 5x+13 ‘ = y’(x0) =2∙(-1) -3 =5 Ответ: y = 5x+13

x  27 в точке х0 =3 №826г Мордкович А.Г. Составить уравнение касательной к графику функции xf )( 1) Уравнение касательной имеет вид: y= y0 + y0 y2) 3) ’(x-x0) )27( x  xy ( 0  11 67 32 7   /  / y )  0 y / 0  / xy ( 0 )   2  272 1  27 x x  1  x  27 1  67 1 1  1 4) Получим уравнение касательной y = 1-(x-3) y = 1- x + 3   y = - x + 4 Ответ: y = - x + 4

Второй тип задач на касательную В задачах такого типа точка касания не задана явно, ее нахождение требует дополнительных рассуждений y касательная M(X0;Y0) ? Y=f(x) х

№828 Мордкович А.Г. Напишите уравнение касательных к графику функции y = 9 –x2 в точках его пересечения с осью абсцисс 1) Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс  2 9 x 2  0 x  09 ( x  )(3 x  )3 0 x + 3=0 x -3 =0 x = -3   x =3 Получим две точки касания x0 = 3 и x0 = -3, в которых нужно составить уравнение касательной. 2) Составим уравнение касательной в точке x0 = 3, y0 = 0 ,     т.к. это точка пересечения графика с осью абсцисс y y / / 0  9(  / y x )3( /2 )   6 2 x

Получим уравнение касательной y y   (60 x   18 6 )3 x 3) Составим уравнение касательной в точке x0 = -3 y y y 0 / / 0 Получим уравнение касательной  0  2 x  / )3( y 6  )3 y y  (60 x  18 x 6 Ответ:   18 y x  6 18 y 6 x

№ 829 Мордкович А.Г. Напишите уравнение касательных к параболе y = x2 -3x в точках с ординатой 4. 1) Найдём точки касания x x x 2 2    3 x x 3 ;1  4  4 0  4 x   Получим две точки касания с абсциссами x0 = -1 и x0 = 4, в которых нужно составить уравнение касательных. 2) Составим уравнение касательной в точке касания (-1; 4) / 2 0 /   3 2 x  3)1(2  4  ( x )3 x  )1( y y y Получим уравнение касательной y y y  )1 5 5  (54 x   54 x   5 1 x Ответ:  5 y x  5 y x  1 16

Третий тип задач на касательную – это геометрический смысл производной функции в точке. Вспомним геометрический смысл производной в точке, т.е. если прямая y= kx+ b является касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x=x0, то величина угла φ между этой прямой и положительным направлением оси Ох           удовлетворяет соотношению k=tgφ = f’ (х0) y M(X0;Y0) φ x

Из соотношения tg φ = f ’(x0) находим, что Φ = arctg f ’(x0), если f ’(x0) ≥ 0 π - arctg f ’(x0), если f ’(x0)< 0

№ 814г Мордкович А.Г. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = в точке x0 = 1 1) y ’ = = = 2) y0 ’ = y’(1) = 3) k = y0 ’ = Ответ: 0,75

Задача. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке х0=1 y = 1) 2) 3) = y0’ = y(1) = tg φ= y0’ =1 Ответ: tg φ = 1 Правило.   Углом между графиком функции y=(f) в точке x0 и осью 0х называется угол между положительным направлением оси 0х и касательной к графику функции в точке х=х0 такой, что f(x0)=0.   y х

Задача. Под каким углом график функции y=sinx пересекает ось абсцисс в точке х0=0?   1) y’=cos x  2) y’0 = y’(0) = cos  0 = 1  3) tgφ = y0’ =1  4)  tgφ = 1 φ =450             Ответ: 450 y x y=sin x

Задача. Найти координаты точек пересечения с осями координат тех касательных к графику функции y = , у которых угловой 1) Пусть (х0; f(x0)) – точка графика функции y = , коэффициент равен 4. в которой касательная к ее графику имеет угловой коэффициент,  равный 4, а y = kx + b уравнение этой касательной.   2) Тогда k = f ‘(x0) = 4 f ’(x) = = 3) f ’(x0) = = 4

4) f ’(x0) = = 4 5б) x0+1= -1 x0= -2   5) (x0+1)2=1   5а) x0+1=1 x0=0 6) Составим уравнение касательной в каждой точке х0      Пусть х0=0 f(x0)=-2, тогда получим уравнение касательной у = -2+4(х-0) у = 4х-2 Пусть х0=-2 f (x0) = = 6, тогда получим уравнение касательной у = 6 + 4(х+2) у = 4х + 14

7) Найдем координаты точек пересечения касательной у=4х-2 с осями координат x=0, y =0 y =-2 x =0,5   получим точки (0;-2); (0,5 ;0) 8) Найдем координаты точек пересечения касательной у=4х + 14 с осями координат х=0 у = 0 у=14 х= -3,5   получим точки (0; 14); (-3,5; 0)   Ответ: (0; -2); (0,5; 0); (0; 14); (-3,5; 0)

№ 830 Мордкович А.Г.   На графике функции y = x3 -3x2 +4x +1 найдите точку, в которой касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 450. Составьте уравнение этой касательной. 1) Пусть (xо;f(xо)) - точка графика функции y =x3-3x2+4x+1,     в которой касательная к ее графику образует с положительным направлением     оси Ox угол 45о, а y=kx+b – уравнение этой касательной,     тогда k=f’(xо)=tg45о =1   2) Найдем f’(x) =(x3-3x2+4x+1)’ =3x2-6x+4   3) Получим уравнение   f’(xо) =1 3x2-6x+4 =1 3x2-6x+3 =0 x2-2x+1 =0 (x-1) 2 =0 x-1 =0 x =1   4) Составим уравнение касательной   yо = y(1) =1-3+4+1=3 y = 3+1(x-1) y = 3+x-1 y = x+2   Ответ: xо = 1; y = x+2

Правило:   если даны две прямые y = k1x+b1 и y = k2x+b2 , (k ≠ 0, k2 ≠ 0), то величина угла φ ( 0 ≤ φ ≤ ) между этими прямыми находится из соотношений:   tgφ = если k1 ∙ k2 ≠ -1 φ = , если k1 ∙ k2 = -1

№ 527. Алимов Ш.А. Под каким углом пересекаются графики функций y = ln (1+x) и y = ln (1-x) ?   1) Найдем точки пересечения графиков     ln (1+x) = ln (1-x) 1+x = 1-x       x = 0   2) Составим уравнение касательной к y = ln (1+х) в точке хо = 0 уо = ln1 = 0 1 у’ = х1 у’о =х 1 = 1 Получим уравнение касательной у = 0+1(х-0) у = х k = 1

3) Cоставим уравнение касательной к кривой у = ln (1-x) в точке xо = 0            уо = ln1 = 0 у’ =  1 х 1 у’о = = -1 4) Получим уравнение касательной: у = 0+1(х-0) у = -х k = -1 5) Найдем угол между касательными k1 ∙k2 = -1 φ = Ответ:

Задача: Прямая у  = -  х - является касательной к линии, заданной уравнением у = х4 – х. Найти координаты точек касания. 3 32 3 4 3 4 3 32 1) Найдём точки касания х4 – х = - х  -    16х4 – 32х = -24х -3    16х4 – 8х + 3 = 0 Корнем этого уравнения является х = 1 , проверим это по схеме Горнера 2 16 5.0 16 00 48 48   8 2 6   3 3 0 1 xо = 2

2) Это сложное уравнение можно заменить более простым решением.      Из условия задачи следует, что у’(xо) = - получим уравнение 3 4    1 ∙4 xо 3 2 3 -1 = - 4 1 = 2 xо 3 4 1 xо = 3 8 xо = 0,5 3) Найдем уо уо = 4 - = - 15 32 1 2 Значит точка касания 15   ; 32 1 2       Ответ:    1 2   ; 15 32   

Правило: для того, чтобы прямая y = kx+b была касательной к графику функции y = f(x), необходимо и достаточно существования хотя бы одного числа xо, для которого выполняется система :

Задача: При каких значениях параметра а , прямая у = ах + 2 является касательной к кривой у = ln х ? Для того, чтобы прямая y = ax+2 ,была касательной к кривой y= lnx, должна выполняться система 4)     1  а  3 х ln 0 a 5)    a x 0   e  e 3  3 1 x 0  0  a ax 0  2 x 0   a 2 1) 2)          ln x ln 1 a 3)     x 0 ln   a 1 a 1 2 1 a  3 Ответ: а=е-3