Топология

Из истории топологии.                                   «Не многие ветви геометрии развивались   в     последнее   время   так быстро и плодотворно, как топология; редко   случается,   чтобы   незаметный вначале   отдел   какой   –   нибудь   науки приобрёл такое основное значение для большого   ряда   совершенно   различных областей знания, как топология».                             Д. Гильберт.     Многие считают, что математика – это наука о числах или величинах.  Можно привести не один аргумент против этого определения и к числу  разделов математики, которые не являются науками о числах и величинах,  принадлежит топология. Топология успешно обходится без арифметизации и  служит сильным доводом против отождествления математики с арифметикой  и вычислениями.     Топология стала отдельной областью математики примерно 90 лет назад, но само её развитие, приходится на последние 70 лет. Топология, как одна из  самых новых ветвей науки геометрии, имеет великое будущее. Она  образовалась из потребности анализа, но ни в коем случае не является  отделом анализа, а принадлежит геометрии (хотя содержит теоремы,  связанные с алгеброй). Однако интересно то, что идеи топологии проникают  почти во все области математики.     Топология даёт важные понятия, которые используются для доказательства некоторых основных предложений – теорем существования. (Теорема  существования – это теорема, которая утверждает, что каждая из широкого  класса задач имеет решение специального вида).     В настоящее время предложения топологии применяются в различных  областях знания – в дифференциальных уравнениях, оптимальных процессах,  в космогологии, в теоретической физике, в алгебраической геометрии и  теории чисел.    Что же такое топология?     ТОПОЛОГИЯ – это часть геометрии, посвящённая изучению феномена,  непрерывности. Разнообразности проявления непрерывности в математике и  широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению  единой топологии на ряд отделов, различных по предмету и  методу изучения.     ТОПОЛОГИЯ – есть наука о топологических свойствах точечных множеств  и функций. ТОПОЛОГИЯ – это наука, дающая математическую форму интуитивным  понятиям, выраженным словами «быть соседним», «мало отличаться»,  «стремиться  к…»     Эти понятия, взятые из разных источников, а все они вместе дают полное  определение топологии.     Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в 18­ 19 веках. К этому периоду принадлежат: теорема Эйлера о выпуклых  многогранниках, теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая  замкнутая линия разбивает плоскость на две части. Первые сведения по  топологии (до 1930 г. она называлась «analytit titut») можно найти в работах  Карла Вейерштрасса(60­е годы прошлого века). Он даёт понятия пределу  функции и реконструирует систему действительных чисел. Появляются  исследования Георга Катора (немецкого математика) по теории точечных  множеств (1874­1895годы).     Первое направление топологии (называемое теоретико­множественной  топологией) было утверждено Ф. Хаусдорфом и другими математиками  (начало ХХ века).     Второе направление топологии (называемое комбинаторной или  алгебраической топологией) начало развиваться в 90­х годах прошлого  столетия. В этом направлении имеются работы А. Пуанкре, которые  посвящены интегральному исчислению для высших размерностей.     Объединил теоретико­множественное и комбинаторное направления  Л.Брауэр (1908). Он же изучил понятие размерности. Дальнейшее развитие  объединённой теории было продолжено Д. Лефшецом (С. Левшец первый  использовал термин «топология») и другими.     С 1930 года топология двигалась более ускоренным шагом. Огромнейший  вклад внесли в эту науку М. Морс (теория критических точек), Х. Уитни  ( расслоенное пространство), Ж. Де Рама (дифференциальные формы).     Топология дала новый толчок дифференциальной геометрии и развила  новую ветвь алгебры (называемой гомологической алгеброй) и  алгебраическую геометрию.     Советские математики, начиная с 20­х годов, тоже внесли большой вклад в  топологию. Особенно важные результаты принадлежат П.С. Александрову,   А.Н. Колмогорову,  Л.С. Понтрягину,  П.С. Урысону.      В последние годы успешно работают в этой области математики  В.А.Рохлин, М.М. Постников, С.П. Новиков, А.В.Чернавский и другие.     Топология превратилась в одну из основных граней математики и стала  необходимой для многих её областей. «Резиновая геометрия».                                                                     Геометрические фигуры имеют различные свойства:  а) МЕТРИЧЕСКИЕ – зависят от размеров и формы фигур.   Сохраняются при изотермических преобразованиях (сохранение расстояний,  длин линий) или при преобразованиях подобия (неизменные  углы и пропорции частей фигуры). ; ; б) ПРОЕКТИВНЫЕ – (более качественные свойства) прямолинейность или  искривлённость, выпуклость или невыпуклость.   Сохраняются при деформациях, не искривляющих прямых линий.  ; в) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ – гладкость или негладкость.   Сохраняются при любых преобразованиях. ; г) БЛИЗОСТИ – ограниченность или неограниченность.   Сохраняются при любых равномерно­непрерывных преобразованиях.      В математике имеются свойства, которые не нарушаются ни при каких  непрерывных деформациях фигур. Это и есть ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ  СВОЙСТВА. Топологию называют резиновой геометрией. Чтобы это хорошо понять,  нужно представить, что некоторая фигура сделана из резины. Её можно  растягивать, сжимать, закручивать, но не разрывать и не склеивать.  Например, маленький шарик можно раздуть в большой, потом его можно  превратить в эллипс, потом в гантель. Также можно поверхность шара  превратить в поверхность куба, тетраэдра, призмы, пирамиды, конуса и т.д.       Но никак нельзя из шара сделать непрерывной деформацией бублик.  Аптечную резинку можно представить как окружность, эллипс,  многоугольник, любую замкнутую кривую, но при этом резинка не должна  разрываться или склеиваться. Разрывание и склеивание не являются  топологическими преобразованиями. ; ;                          ;                     .     Множества, которые можно продеформировать друг в друга без разрывов и  склеивания называются топологически эквивалентными. Так как эти  множества имеют в точности одни и те же свойства, то тополог считает их  одинаковыми, неразличимыми топологически. Тополог – это тот человек,  который не видит разности между шаром и призмой, бубликом и кружкой … Кажется, что может роднить стакан с ложкой, но…      Фигуру можно мять, пропускать через игольное ушко, как угодно  искривлять. С точки зрения топологии спелая груша равносильна сухой.     Какими бы жестокими ни казались нам эти преобразования, каким бы  чудовищным деформациям ни подвергали мы тела и фигуры, всё – таки есть  такие геометрические свойства, которые остаются неизменными.     Все топологические свойства у фигур, которые могут быть топологически  преобразованы друг в друга, одинаковы. Для тополога все гомеоморфные  фигуры представляют собой одну и ту же фигуру.     С гомеоморфными фигурами мы встречаемся ежедневно и ежечасно.  Например, на уроке геометрии учитель изобразил на доске призму:  В тетрадях учеников появляются топологически преобразованные призмы:     Также любые два треугольника топологически эквиваленты; любая  окружность эквивалентна любому эллипсу:     И ещё нужно сказать, что как бы ни расплющивать, ни раскатывать ком  пластилина, не имеющую толщины, т.е. он сохранит свою размерность. А тот  факт, что запрещено разрывать этот ком или склеивать, даёт связность.      Размерность и связность – одни из наиболее фундаментальных свойств  геометрических фигур. Пояс Мёбиуса     Все знают, что поверхность имеет две стороны лицевую и изнаночную, но  при более глубоком рассмотрении дела оказывается, что это не всегда так. Возьмем полоску бумаги и склеим её концы, предварительно перекрутив их.                                                                                                   А                                   Д                                                                                                 В                 Д   В С                          С   А              В этом случае нельзя отличить лицевую сторону  от изнаночной. Они  непрерывно переходят друг в друга. Эта поверхность называется поясом  Мёбиуса (по имени немецкого математика, который один из первых указал на  существование этой поверхности, односторонне  расположенной в  пространстве). Покрасить у обычного пояса разные стороны разными цветами  не вызовет  никакого затруднения. Но как быть с поясом Мёбиуса. При  непрерывной  покраске обе стороны (вернее одна) будут одинаково  покрашены. Если двигаться по краю пояса Мёбиуса, то через полный оборот  мы окажемся на другом краю пояса и придем с противоположной стороны.  Пояс Мёбиуса – это такая « река», у которой один берег служит  продолжением другого. Если обычный пояс разрезать вдоль средней линии, то получится два кольца. Если разрезать вдоль средней линии пояс Мёбиуса, то мы увидим, что он не распадается на два кольца, а будет одно кольцо, но в два раза длиннее  (полученное кольцо имеет двустороннюю поверхность)      А, что, если разрезать пояс Мёбиуса по линии, лежащей недалеко от края .  Чтобы придти в начало разреза, нам придется проделать путь  вдвое длиннее,  чем в случае с разрезанием ленты по средней линии. Как ни странно,   получается два сцепленных кольца, причем одно большое и узкое, а другое  маленькое  и широкое. И что самое интересное: большое кольцо получилось с  односторонней поверхностью, а маленькое с двусторонней.     Поверхность пояса Мёбиуса обладает и другими неожиданными  свойствами: если, например, обычный пояс имеет две средние линии (лицевую и изнаночную, то пояс Мёбиуса только одну). Свойства пояса Мёбиуса не  нарушаются при топологических преобразованиях поверхности в нашем  пространстве. Эти свойства являются Т О П О Л О Г И Ч Е С К И М И   Топология– это часть геометрии, посвящённая изучению феномена,  непрерывности. Топология одна из самых молодых наук  и стала отдельной  областью математики примерно 90 лет назад, но само её развитие, приходится на последние 70 лет.  В математике имеются свойства, которые не нарушаются ни при каких непрерывных деформациях фигур. Это и есть топологические свойства.           Некоторые топологические свойства  наглядно демонстрирует Пояс  Мёбиуса. Пояс Мёбиуса – это такая « река», у которой один берег служит  продолжением другого. Свойства пояса Мёбиуса не нарушаются при  топологических преобразованиях поверхности в нашем пространстве. Эти  свойства являются топологическими.               И теперь, познакомившись, с топологией и её свойствами я убедился, что это такая наука, которая полезна всем. И ещё нужно сказать, что в настоящее  время топология переживает период бурного развития и рамки топологии   раздвигаются одновременно в нескольких направлениях. IV СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ: 1. «Большая советская энциклопедия» том №26, «Топология», Москва,  из­во «Советская энциклопедия», 1977 год, Постников М.   «Задачи и размышления», Москва, из­во «Мир», 1974 год,  2.       Штейнгауз Г.  3. « Математика без формул», Москва, из­во «Знание», 1978 год,  Пухначёв Ю. и Попов.  4. «Первые понятия топологии», Москва, из­во «Мир», 1967 год,  Ю.Стинрод И. и Чинн У. 5. «Что такое топология?», «Наука и жизнь» №8, Москва, 1970 год,  6. Делоне Б. и Ефремович В.  «Элементарная математика в современном изложении», Москва. Из­во  «Просвещение», 1967 год, Люсвен Феликс.