Тренажёр по математике " НОД и НОК" ( 6 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение « средняя общеобразовательная школа с углублённым изучением отдельных предметов № 10» Тренажё р Подготовила: учитель математики и физики МБОУ « СОШ №10» Пожидаева Г.А. г. Нефтеюганск 2017 Чтобы уметь быстро раскладывать числа на множители, необходимо знать признаки делимости. Признаки делимости: Признак делимости на 2. Число, делящееся на 2, называется четным, неделящееся ­ нечетным. Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях ­ не делится.  Например, число 52 738 делится на 2, так как последняя цифра 8 ­ четная; 7691 не делится  на 2, так как 1 ­ цифра нечетная; 1250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.  Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на  4. В остальных случаях ­ не делится.  Примеры. 31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями; 215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.  Признак делимости на 8 Признак делимости на 8 подобен предыдущему. Число делится на 8, если три последние  цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях ­ не делится.  Примеры. 125000 делится на 8 (три нуля в конце); 170 004 не делится на 8 (три последние цифры дают число 4, не делящееся на 8); 111120 делится на 8 (три последние цифры дают число 120, делящееся на 8).  Можно указать подобные признаки и для деления на 16, 32, 64 и т. д., но они не имеют  практического значения.  Признаки делимости на 3 и на 9. На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 ­ только те, у  которых сумма цифр делится на 9.  Примеры. Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1 +7 + 8 + 3 + 5 = 24  делится на 3 и не делится на 9. Число 105 499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (29) не делится ни на 3,  ни на 9. Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.  Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае ­ не  делится.  Например, 126 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.  Признаки делимости на 5. На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие ­ не делятся.  Пример. 240 делится на 5 (последняя цифра 0); 554 не делится на 5 (последняя цифра 4).  Признак делимости на 25. На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся  на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.  Пример. 7150 делится на 25 (оканчивается на 50), 4855 не делится на 25.  Признаки делимости на 10, 100 и 1000. На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 ­ только те числа, у  которых две последние цифры нули, на 1000 ­ только те, у которых три последние цифры  нули. Примеры. 8200 делится на 10 и на 100; 542000 делится на 10, 100, 1000.  Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо  равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на  11.  Примеры. Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12  равна сумме цифр, занимающих четные места 0+7+5=12. Число 9163627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9 + 6  + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между  числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и б +0 + 5=11 не равны друг  другу, а их разность 11 ­7 = 4 на 11 не делится.  Признак делимости на 7. Таким образом для делимости на числа первого десятка, кроме 7, существуют удобные  признаки; для 7 удобного признака делимости не найдено. Можно дать следующий признак делимости на 7, который недостаточно удобен.  Разобьем число справа налево на грани, по три цифры в каждой грани. Число делится на 7,  если разность суммы чисел в гранях, стоящих на четных местах, и суммы чисел в гранях,  стоящих на нечетных местах, делится на 7. Так, число 159 213 608 421 делится на 7, так  как 421 + 213=634, 608 + 159 = 767 и разность 767 ­ 634 = 133 делится на 7.  Степень числа Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое  обозначение. Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 пишут 46 и  произносят «четыре в шестой степени». 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 46 Выражение 46 называют степенью числа, где:   4 — основание степени; 6 — показатель степени. В общем виде степень с основанием "a" и показателем "n" записывается с помощью  выражения: Запомните! Степенью числа "a" с натуральным показателем "n", бóльшим 1, называется произведение  "n" одинаковых множителей, каждый из которых равен числу "a". Или : Степень числа показывает, сколько одинаковых множителей надо взять для произведения. Запись an читается так: «а в степени n» или «n­ая степень числа a». Исключение составляют записи:   a2 — её можно произносить как «а в квадрате»; a3 — её можно произносить как «а в кубе». Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:   a2 — «а во второй степени»; a3 — «а в третьей степени». Пример   1¿25  = 32,  так как  25  = 2∙2∙2∙2∙2 = 32, 2)  34  = 81,  так как  34  = 3∙3∙3∙3 = 81, 3)  52  = 25,  так как  52  = 5∙5 = 25. Зачем нужен НОД и НОК 1) Для того, чтобы сокращать дроби необходимо знать и уметь рассчитывать наибольший общий делитель (НОД). 2) Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК). Кратное числу a— это число, которое само делится на число a без остатка. Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 ... Кратные 9: 18, 27, 36, 45 ... Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество. Как найти наибольший общий (НОД) . делитель Запомните! Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым. Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя. Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные. Например, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29….. Простых чисел много, и первое среди них — число 2. Однако нет последнего простого числа. В учебнике «математика 6 класс » на форзаце ( в конце) вы можете смотреть и применять таблицу простых чисел до 997. Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа. Например:  число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;  число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36. Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа. Запомните! Делитель натурального числа a— это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным. Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел — 12. Общий делитель двух данных чисел a и b — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b. Запомните! Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b— это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка. Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так: НОД (a; b). Пример: НОД (12; 36) = 12. Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д». Пример. Д (7) = {1, 7} Д (9) = {1, , 3, 9} НОД (7; 9) = 1 Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми числами. Запомните! Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1. Их НОД равен 1. Как найти наибольший общий делитель Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно: 1. разложить делители чисел на простые множители; Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных. Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64. 28 = 22·7 ; 64 = 26 2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах. 28 = 2 · 2 · 7 64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ; НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4 Ответ: НОД (28; 64) = 4 Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку». Первый способ записи НОД Найти НОД 48 и 36. 48 = 24·3 ; 36 = 22·32 ; НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12 Второй способ записи НОД Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15. Д (10) = {1, 2, 5, 10} Д (15) = {1, 3, 5, 15} Д (10, 15) = {1, 5} НОД (10; 15) = 5 Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело. Запомните! Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел. Как найти НОК НОК можно найти и записать двумя способами. Первый способ нахождения НОК Данный способ обычно применяется для небольших чисел. 1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел. 2. Кратное числа a обозначаем большой буквой «К». К (a) = {...,...} Пример. Найти НОК 6 и 8. К (6) = {12, 18, 24, 30, ...} К (8) = {8, 16, 24, 32, ...} НОК (6, 8) = 24 Второй способ нахождения НОК Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел. 1. Разложить данные числа на простые множители. 24 = 23·3 ; 60 = 22 ·3 ·5 2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним — разложение остальных чисел. Запомните! Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное. 60 = 2 · 2 · 3 · 5 24 = 2 · 2 · 2 · 3 3. Подчеркнуть в разложении меньшего числа (меньших чисел) множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа (в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа. НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2 4. Полученное произведение записать в ответ. Ответ: НОК (24, 60) = 120 Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24). 24 = 2 · 2 · 2 · 3 16 = 2 · 2 · 2 · 2 12 = 2 · 2 · 3 Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в разложение 24 (самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из разложения числа 16. НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48 Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48 Особые случаи нахождения НОК 1. Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу. Например, НОК (60, 15) = 60 2. Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Пример. НОК (8, 9) = 72 Замечательное свойство НОД и НОК НОД ( а; в ) · НОК ( а; в ) = а · в Произведение чисел равно произведению их НОД и НОК Пример: НОК (24, 60) = 120, НОД (24, 60) = 12; НОК (24, 60) · НОД (24, 60) = 120 · 12 = 1440, 24 · 60 = 1440. Значит, НОК (24, 60) · НОД (24, 60) = 24 · 60. Проверка –тест С ПОДСКАЗКОЙ  ЗАПИШИТЕ ОТВЕТ В ПОЛЯ СНИЗУ. 1 2 НОД двух чисел записывается как НОД ( a, b ) Запиши НОД ( 6, 14) Подсказка: найди какой множитель у них общий. Это множитель ­ 2. 6  = 2 * 3 14 = 2 * 7 3 4 Посчитай НОД ( 102, 42) Подсказка: 102 = 2 * 3 * 17 42 = 2 * 3 * 7 Обрати внимание, что оба числа делятся на 2 и 3 Посчитай НОД ( 130, 110) Подсказка: 130 = 2 * 5 * 13 110 = 2 * 5 * 11 5 6 7 Посчитай НОД ( 42, 30) Подсказка: 42 = 2 * 3 * 7 30 = 2 * 3 * 5 Обрати внимание, что оба числа одновременно делятся только на 3 Посчитай НОД ( 20, 44) Подсказка: 8 20 = 2 * 2 * 5 44 = 2 * 2 * 11 Обрати внимание, что оба числа одновременно делятся на 3, а пото еще раз на 2 9 10 11 12 Посчитай НОД ( 63, 45) Подсказка: 63 = 3 * 3 * 7 45 = 3 * 3 * 5 Посчитай НОД ( 195, 75) Подсказка: 195 = 3 * 5 * 13 75 = 3 * 5 * 5 Посчитай НОД ( 357, 385) Подсказка: 357 = 3 * 7 * 17 385 = 5 * 7 * 11 Посчитай НОД ( 45, 78) Подсказка: 45 = 3 * 3 * 5 78 = 2 * 3 * 13 Посчитай НОД ( 325, 70) Подсказка: 325 = 5 * 5 * 13 70 = 2 * 5 * 7 13 Задания для самостоятельного решения: № 1 № 2 Разложить на простые Разложить на простые множители: 84 множители: 120 Найдите НОД 14 и 49 Найдите НОК 18 и 27 № 3 Разложить на простые множители:312 Найдите НОД 64и 96 № 5 Разложить на простые множители: 90 Найдите НОД 12 и 27 № 7 Разложить на простые множители: 392 Найдите НОД 81 и 108 № 9 Разложить на простые множители: 2500 Найдите НОД 144 и 300 № 11 № 4 Разложить на простые множители: 160 Найдите НОК 13 и 65 № 6 Разложить на простые множители: 695 Найдите НОК 12 и 28 № 8 Разложить на простые множители: 832 Найдите НОК 17 и 68 № 10 Разложить на простые множители: 128 Найдите НОК 32 и 48 № 12 Разложить на простые множители: 1600 Найдите НОД 161 и 350 № 13 Разложить на простые множители: 318 Найдите НОД 108 и 360 № 15 Разложить на простые множители: 354 Найдите НОД 203 и 560 № 17 Разложить на простые множители: 227 Найдите НОК 100 и 189 № 14 Разложить на простые множители: 175 Найдите НОК  27 и 36 № 16 Разложить на простые множители: 144 Найдите НОК  50 и 207 № 18 Запишите все делители числа 66. Подчеркните те из них, которые являются простыми числами. Запишите все делители числа 70. Подчеркните те из них, которые являются простыми № 19 числами. № 20 Из чисел 33, 105, и 128 выберите пары взаимно простых. Из чисел 40, 175, и 243 выберите пары взаимно № 21 простых. № 22 Выясните, являются ли взаимно простыми числа 1008 и 1225. Выясните, являются ли взаимно простыми числа 1584 и 2695. Тест №2 по теме «Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное» Вариант I 1. Наибольший общий делитель чисел a и b – это: а) натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b; б) натуральное число, которое делится без остатка на числа a и b; в) наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b; г) наибольшее натуральное число, которое делится без остатка на числа a и b. 2. Какие числа являются общими делителями чисел 24 и 16? а) 4, 8; б) 6, 2, 4; в) 2, 4, 8; г) 8, 6. 3. Какое число является общим кратным чисел 8, 12 и 6? а) 16; б) 140; в) 96; г) 2. 4. Разложите на простые множители число 280. а) 280 = 2∙2∙2∙5∙7; б) 280 = 1∙2∙2∙2∙5∙7; в) 280 = 8∙5∙7; г) свой ответ. 5. Наибольшим общим делителем чисел 45 и 60 является число: а) 5; б) 180; в) 3; г) 15. 6. Наименьшим общим кратным чисел 28 и 49 является число: а) 196; б) 14; в) 7; г) 98. 7. Какие числа являются взаимно простыми: а) 5 и 25; б) 64 и 2; в) 12 и 10; г) 100 и 9. 8. У каких из предложенных пар чисел НОД равен 4: 1) 24 и 20; 2) 24 и 30; 3) 24 и 32; 4) 18 и 32; 5) 4 и 16. а) 2, 3, 5; б) 1, 5; в) 1, 3, 5; г) у всех. 9. Числа x и y – взаимно простые. Чему равно их наименьшее общее кратное? а) х; б) y; в) xy; г) x + y. 10. Для спортивной команды купили 45 маек и 27 футболок. Какое наибольшее число  спортсменов может быть в команде, если каждый получит одинаковый набор одежды и будут использованы все вещи? 2 вариант 1. 11. Наименьшее общее кратное чисел a и b – это: а) натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b; б) натуральное число, которое делится без остатка на числа a и b; в) наименьшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b; г) наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на числа a и b. 2. 12. Какие числа являются общими делителями чисел 18 и 12? а) 9, 6, 3; б) 2, 3, 4, 6; в) 3, 2; г) 2, 3, 6. 3. 13. Какое число является общим кратным чисел 5, 10 и 15? а) 5; б) 100; в) 15; г) 300. 4. 14. Разложите на простые множители число 420. а) 420 = 2∙2∙3∙5∙7; б) 420 = 1∙2∙2∙3∙5∙7; в) 420 = 4∙3∙5∙7; г) свой ответ. 5. 15. Наибольшим общим делителем чисел 90 и 54 является число: а) 2; б) 9; в) 18; г) 270. 6. 16. Наименьшим общим кратным чисел 80 и 96 является число: а) 480; б) 8; в) 16; г) 240. 7. Какие числа являются взаимно простыми: а) 9 и 18; б) 105 и 65; в) 44 и 45; г) 6 и 16. 8. У каких из предложенных пар чисел НОД равен 6: 1) 24 и 20; 2) 24 и 30; 3) 24 и 32; 4) 18 и 30; 5) 6 и 200. а) 2, 4; б) 1, 3; в) 1, 2, 4, 5; г) у всех. 9. Число a кратно числу b. Чему равен их наибольший общий делитель? а) a; б) b; в) a + b; г) ab. 10. Какое наибольшее число одинаковых наборов можно составить из 72 ручек и  54 фломастеров, если они все должны быть использованы? Дополнительно:1. Какие из данных сумм кратны 5: 1)7316 + 97564; 2)4523 + 7415; 3) 678 + 991 + 31; 4) 230 + 179? а) 1,3; б) 1, 4; в)1; г) другой ответ 2. Какие из данных чисел не кратны 3: 1)1706; 2)12364; 3) 40215; 4) 131421; 5) 18279? а) 1 и 5; б)1 и 2; в) 1 и 4; г) другой ответ. 3. Разложите на простые множители число 420. а) 420 = 2∙2∙3∙5∙7; б) 420 = 1∙2∙2∙3∙5∙7; в) 420 = 3∙4∙5∙7; г) другой ответ. 4. У каких из предложенных пар чисел НОД равен 6: 1) 24 и 20; 2) 24 и 30; 3) 24 и 32; 4) 18 и 30; 5) 6 и 200? а) 2 и 4; б) 1 и 3; в) 1,2,4,5; г) другой ответ. 5. У каких из предложенных пар чисел НОК равно 60: 1) 30 и 2; 2) 18 и 15; 3) 4 и 15; 4) 12 и 60; 5) 10 и 6? а) 2,3,4; б)3,4; в) 2,4; г) у всех.   Тест №3. Вариант 1. 1. Найдите х из уравнения: х:23=11. A) 253; B) 323; C) 12; D) 34; E) 153.  2. Периметр прямоугольника: Р= … A) 2ab; B) a+b; C) vt; D) 2∙(a+b); E) ab.  3.  Найдите  периметр и площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см. А) 14 см и 48 см²; В) 28 см и 48 см²; С) 48 см и 48 см²; D) 28 см и 14 см²; Е) 28 см и 24см². 4. Делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое а делится … .  А) с остатком; В) и в результате получается единица; С) и получается число 5; D) не  всегда; Е) без остатка.  5. Если сумма цифр числа делится на … , то и само число делится на … .  А) 7; В) 4; С) 3; D) 11; Е) 5. 6. Назовите только те числа, которые делятся на 5 без остатка: 270; 942; 385; 4447? А) 270; 4447; В) 270; 942; С) 385; 4447; D) 942; 385; 270; E) 270;385. 7. Простыми называют натуральные числа, большие единицы, которые делятся … . А) только на 1 и на себя; В) на любое четное число; С) на любое нечетное число; D) на  число 10; Е) на составное число. 8. Разложить натуральное число на простые множители — это значит представить его в  виде произведения только простых чисел. Разложить на простые множители число 36. А) 4∙9; В) 2∙18; С) 22∙32; D) 23∙3; Е) 36∙1. 9. … данных натуральных чисел называется наибольшее натуральное число, на которое  делится каждое из этих чисел. А) наибольшим общим делителем; В) суммой; С) разностью; D) наименьшим общим  кратным; Е) произведением. 10. Нахождение наибольшего общего делителя:  раскладывают каждое из данных  чисел на простые множители;  выписывают общие простые множители; находят  произведение полученных простых множителей. Найдите НОД(18; 30).  А) 540; В) 90; С) 9; D) 3; E) 6. 11. …  данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, которое  делится на каждое из данных чисел. А) наибольшим общим делителем; В) разностью ; С) наименьшим общим  кратным; D) суммой; Е) произведением. 12. Наименьшее общее кратное данных натуральных чисел находят так:  раскладывают каждое из данных чисел на простые множители;  выписывают  множители, входящие в разложение одного из них (наибольшего), и дополняют их  недостающими множителями из разложений остальных чисел, а затем  перемножают полученные множители. Найдите НОК(25; 45).  А) 450; В) 1125; С) 9; D) 225; E) 5. Источники: 1. https://ru.wikipedia.org/wiki 2. http://calcs.ucoz.ru/publ/8­1­0­4 3. Математика 6 класс под ред. Зубаревой И.И., Мордкович А.Г.