Вариант № 16
Окружность с центром О вписана угол, равный 60ᵒ. Окружность большего
радиуса с центром О1 также вписана в этот угол и проходит через точку О.
а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус
первой окружности равен 2˅˅3.
а) Так как окружности вписаны в угол А, то
АО1 – биссектриса угла А. ¿>¿
∠ О1АН = 30ᵒ, ОК = R, О1О = О1Н = R1;
¿>¿ AO1 = 2R1, AO = 2R, AO1 = AO + О1О,
¿>¿ 2R1 = 2R + R1, ¿>¿ R1 = 2R.
Доказано.
б) R = 2˅˅3 , ¿>¿ R1= 4˅˅3 . ВС общая
хорда.
Точки В и С симметричны относительно биссектрисы АО1 ¿>¿ ВР = РС и ВС⊥
АО1.
Рассмотрим ∆ О1ОC.
1.
О1О = О1С = R1= 4˅˅3 ; ОC = R = 2˅˅3 , ¿>¿ OM = МС = ˅˅3 ;
О1М2 = О1О2 – ОМ2 = 48 – 3 = 45 и О1М = 3˅˅5 .
2. ∆ ОО1М и ∆ ОCР подобны (∠Р = ∠М = 90ᵒ, ∠О –
общий), ¿>¿ ОО1 : ОC = О1М : CР, ¿>¿ CР = (ОC
∙О1М) : ОО1 =
(2˅˅3 ∙3˅˅5 ) : 4˅˅3 = 1,5˅˅5 , ВР = 2СР = 3˅˅5 .
Ответ: 3˅˅5 .
Тренировочная работа 1. Задача № 16 (планиметрия) из сборника: ЕГЭ Математика./ Под редакцией В.И.Ященко. .
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.