Тренировочная работа 1. Задача № 16 (планиметрия) из сборника: ЕГЭ Математика./ Под редакцией В.И.Ященко. .

Вариант № 16 Окружность с центром  О  вписана  угол, равный  60ᵒ. Окружность большего радиуса с центром О1 также вписана в этот угол и проходит через точку О. а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой. б)  Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен 2˅˅3. а) Так как окружности вписаны в угол А, то АО1 – биссектриса угла А.   ¿>¿ ∠ О1АН = 30ᵒ, ОК = R,   О1О = О1Н = R1; ¿>¿   AO1 = 2R1, AO = 2R, AO1 = AO + О1О, ¿>¿  2R1 = 2R + R1,   ¿>¿   R1 = 2R. Доказано. б) R = 2˅˅3 ,  ¿>¿  R1= 4˅˅3 . ВС­ общая  хорда. Точки  В и С симметричны относительно биссектрисы  АО1  ¿>¿  ВР = РС и  ВС⊥ АО1.  Рассмотрим   ∆ О1ОC. 1.  О1О = О1С = R1= 4˅˅3 ;    ОC = R = 2˅˅3 ,  ¿>¿ OM = МС = ˅˅3 ; О1М2 = О1О2 – ОМ2 = 48 – 3 = 45  и  О1М = 3˅˅5 .     2.   ∆ ОО1М и  ∆ ОCР подобны (∠Р = ∠М = 90ᵒ,  ∠О – общий), ¿>¿ ОО1 : ОC = О1М : CР,   ¿>¿  CР = (ОC  ∙О1М) : ОО1 =   (2˅˅3 ∙3˅˅5 ) : 4˅˅3  = 1,5˅˅5  ,  ВР = 2СР = 3˅˅5 .  Ответ: 3˅˅5 .