Тренировочная работа 1. Задача № 16 (планиметрия) из сборника: ЕГЭ Математика./ Под редакцией В.И.Ященко. .

Вариант № 5 В параллелограмм вписана окружность. а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб. б)  Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания  окружности со сторонами ромба. а)  ABCD – параллелограмм,  ¿>¿  AB=CD, BC= AD.      ABCD – описанный  четырехугольник,  ¿>¿       AB+CD = BC+ AD,  ¿>¿       2AB = 2CD = 2BC = 2 AD,  ¿>¿     AB = CD = BC = AD,  ¿>¿       ABCD – ромб. Доказано. MNPK = ? б) AM = 3,  BM =2.  Найти:  S 1.  M, N, P, K – точки касания,  ¿>¿ ON⊥BC,  OK⊥AD; OM⊥AB, OP⊥CD.   AB//CD,  BC//AD, ¿>¿  NK и MP – диаметры,   ¿>∠ MNP ¿∠ NPK ¿∠ PKM ¿∠ KMN ¿90ᵒиS KP. MNPK = MK∙  2. Проведем  BH⊥CD. BM = BN =HK =2,  AM = AK = 3,   ¿>¿  AH = 1,  AB = 5, cos ∠ BAH =1/5, cos ∠ KDP = –1/5, так  как  ∠ A +  ∠ D =  180ᵒ. Найдем MK по теореме косинусов в  ∆ АMК:   MK2 = 32 + 32 – 2∙3∙3∙ 1/5 = 14,4;  аналогично в  ∆ DPК: PK2 = 22 + 22 – 2∙2∙2∙(–1/5) = 9,6;   ¿>¿ S MNPK = MK∙ KP =  √4.8·3·   √4.8·2   = 4.8 √6  .                                                                Ответ: 4.8 √6  .